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編者按：本文主要從背景；建立新數學課程的原則；新中學數學課程設計中的幾個問題，進行講述。其中，主要包括：現代社會發展對公民數學修養的要求有很大改變、科學技術的迅速發展，特別是信息時代的到來，要求人們具有更高的數學修養、數學及其應用有很大變化、數學方法越來越多地被用于環境科學、自然資源模擬、經濟學和社會學，還有心理學和認知科學，在這些新領域里，數學提供了理解、數學科學現在是自然科學、社會科學和行為科學的基礎，由計算機和世界范圍的數字式交流的支持，商業和工業都越來越不僅依靠傳統的而且依靠現代數學的分析方法、、數學科學現在是自然科學、社會科學和行為科學的基礎，由計算機和世界范圍的數字式交流的支持，商業和工業都越來越不僅依靠傳統的而且依靠現代數學的分析方法、計算機的發展導致對數學和數學活動包括什么的看法有所改變、計算機改變了師生之間的關系、計算器和計算機還影響到數學應當如何教。它們把困難的變得容易，使不可行變得可行，使一些現實問題、大量數據處理問題可能成為教學內容、對學生學習的理解有變化、我國中小學數學教學的現狀、中小學數學教材要立足現實，面向新世紀、中小學數學課程自始至終都應當充分使用計算器和計算機，等。具體材料請詳見：面向新世紀的挑戰，中小學數學課程將面臨重大改革。

經濟和社會的發展，經濟體制的轉軌，對教育體制、教育結構、教學內容的改革提出了新的要求。改革呼喚著新的基礎教育數學課程方案盡快出臺。教育部《面向21世紀教育振興行動計劃》提出了實施“跨世紀素質教育工程”，建立新世紀基礎教育現代化課程體系的任務。正組織制訂新的數學課程標準。借此機會想提出新世紀基礎教育數學課程改革的構想。

一、背景

1．現代社會發展對公民數學修養的要求有很大改變。隨著信息時代的到來，每個部門的工作人員都需要懂得計算機控制過程。現在大多數職業都要求從業人員有分析能力而不單純是機械的操作技能，所以絕大多數學生需要更多更強的數學能力作為普通職業的準備。同樣，在每天的報紙和公眾的政策討論中都廣泛使用圖表、統計數據。為了更好地參加社會生活，不能不要求普通公民具有更高標準的數量意識。市場經濟需要人們掌握更多有用的數學，隨著承包制、股份制、租賃制的進一步推行，市場經濟的進一步完善，無論是城市還是廣大農村，生產者也是經營者，因而，成本、利潤、投入、產出、貸款、收益、股份、市場預測、風險評估等一系列經濟詞匯頻繁使用，買與賣、存款與保險、股票與債卷…，幾乎每天都會碰到。相應地，與這些經濟活動相關的數學，例如，比和比例、利息和利率、運籌與優化以及系統分析與決策，就應當成為中小學要學的數學了。

科學技術的迅速發展，特別是信息時代的到來，要求人們具有更高的數學修養。現代技術越來越表現為一種數學技術。高科技的發展、應用，把現代數學以技術化的方式迅速輻射到人們的日常生活的各個領域。智能機器人、辦公自動化以及計算機儲蓄、售貨和個人電腦等電子產業將高速發展，到新世紀，一個普通老百姓要是“計算機盲”將會象現在的文盲一樣不適應現代生活。

生活中需要越來越多的數學語言。各種統計圖表、數學符號向各行各業普通老百姓傳遞著大量的信息。

2．數學及其應用有很大變化。最近

二、三十年數學的性質及其應用的領域與途徑發生了巨大變化。不僅發展了許多新的數學領域而且應用數學的問題類型以空前的速度增長了。當然，最顯著的是計算機應用的爆炸性的增長，這些計算機的應用的絕大多數都要求發展新的數學。數學本身在過去三十年里經歷了一場脫胎換骨的變革，其創新性和激動人心的程度絲毫不亞于生物學和計算機革命。這些新發現不論對于理論還是應用都有重大影響，改變了數學原來的面貌。比如：

●數論計算的數學特點把數論重新推到了數學舞臺的中央，對于經典問題的新處理在計算理論、數理邏輯以及對數據傳輸的保密性研究領域中都取得了出人意料的成果。

●統計科學隨著從經濟、遙測、實驗室等不同渠道的大量數據涌入科學，統計方法就成了外部世界的信息運用數學方法加以分析的主要工具。

●最優化以線性規劃單純形算法為開端，直至最近的卡瑪卡（Karmarkar）方法，數學最優化的難題（尋找最優解）和富有成效的應用（提高效益、降低消耗）都使它成為數學的前沿方向之一。

●直觀化在對感覺過程、計算機圖象學和幾何學的研究中得出一些共同思想正在產生新的認知理論，它引起了諸如微分幾何、組合算法、數據結構以及工程學等各專業的注意。

●動力系統新近關于分形（Fractal）的研究已經顯示了迭代序是怎樣常常導致混沌的，混沌系統模型已經在各學科中被普遍使用，并為數學研究開辟了許多新領域，其應用范圍則從圖象儲存中的數據壓縮技術直到不穩定性的理論模型。

●決策理論分析的連續模型給自然科學提供了合適的模型。與此相對，搏奕論、社會選擇函數和專家系統中的離散模型為人文科學提供了更加適當的工具，這些學科并不依賴于連續的變化，而是靠決策、投票和選擇。

與數學新領域發展的同時，數學的新的應用也有很大的擴展。工程核物理已經不再是數學應用的基本領域了。比如在生物科學領域，微分方程被用于生理學，組合方法被用于發生鏈，紐結理論被用于模擬DNA。與此同時，在神經心理學中要使用圖論，蛋白質工程要使用數學模型，臨床實驗要用統計方法，而概率論則被用于流行病學，數學生物學是今天應用數學最振奮人心的前沿之一，它充分顯示了數學的威力和多方面的實用性。這些數學工具幫助人們把生物學的研究推到了科學的前沿—了解生命和了解智力，這是我們這個時代的科學挑戰，而數學在其中發揮著中心的作用。

類似地，數學方法越來越多地被用于環境科學、自然資源模擬、經濟學和社會學，還有心理學和認知科學，在這些新領域里，數學提供了理解。數學甚至在進入藝術領域，例如，計算機工具已被畫家、電影制片人和音樂家采用。

新的應用毫無疑問會改變數學學科的特征，不僅怎樣用數學發生了變化，而且連數學家研究的問題也起了變化。

在過去三十年里，數學已經變形為一個豐富的數學科學的集合體。其內部的各分支通過相互制約的理論緊密相聯，同時通過不斷增長的應用網絡與科學和商業世界保持聯系，所以數學是一門朝氣蓬勃、富有生命力的學科，它能幫助學生用自己的智慧和精力去迎接當代的那些令人振奮的挑戰。

數學的發展使人們對“數學是什么”的認識有了變化。數學是一門科學，觀察、實驗、發現、猜想等數學的實踐部分和任何自然科學是一樣多的。嘗試和錯誤、假說和調研以及度量和分類是數學家常用的部分技巧，學校應當教。實驗室作業和實習作業對理解數學是什么及如何使用不但是適宜的而且是必需的。

像生物是有機體的科學，物理是物和能的科學一樣，數學是模式的科學。這種表述至少可以追溯到笛卡兒，他把數學稱作“序的科學”。后來物理學家斯梯文（Steven）、溫伯格（Weinberg）用它去解釋數學預測自然的神奇能力時作了改進，類似地把數學看成“模式與關系的科學”，形成了在《美國大眾科學》（ScienceforallAmericans）中表述數學的基礎。通過它的所有表現形式—數、數據、形、序，甚至模式本身來劃分、解釋、和描述模式。數學確信科學家遇到的任何模式都可以在某處解釋為數學實踐的組成部分。

數學也是一種交流形式，它是自然語言的補充，所以數學不僅是一門科學，而且數學也是一種語言，不僅是自然所說的語言，而且也是商業、貿易的合適語言。

數學科學現在是自然科學、社會科學和行為科學的基礎，由計算機和世界范圍的數字式交流的支持，商業和工業都越來越不僅依靠傳統的而且依靠現代數學的分析方法。數學可以作為商業和科學的語言，準確的是因為數學是描述模式的語言。用它的符號和句法、詞匯和術語，數學語言是交流關系和模式的通用工具，它是一種每個人都必須學習、使用的語言。

如果說數學是模式的科學和語言，那么要學懂數學就是要去研究和表示模式之間的關系；在復雜、模糊的環境中能辨明模式；理解并變換模式間的關系；對模式分類、編碼、描述；用模式的語言讀、寫；并使用模式的知識去達到各種實際目的。要掌握模式的多樣性，數學課程需要介紹和發展多種不同類型的數學模式，數學要研究的模式不限于算術法則，所以中學數學里研究的模式必須打破人為的限制。比如除了數的運算體系外，高中還應有向量運算系統，集合、邏輯運算系統，微積分運算系統等。

一個搞數學的人，他要搜集、發現、創造或表達關于模式的事實和思想。數學是一種創造性的、活躍的過程，這和被動地掌握概念和程序很不相同。事實、公式和信息有多大價值只有看它在多大程度上支持有效的數學活動。雖然有些基礎的概念和程序所有學生都必須知道，但是教學應當堅定地強調，學數學是要追求去理解、去交流，而不僅僅是去計算。通過展開模式的基本原理，數學可以使腦子成為處理現實世界問題的有效工具。從這些觀點能夠為新世紀導出有效的、能動的中學數學課程。

3．新技術的作用有很大的變化。計算器和計算機已經深刻地改變了數學

世界。它們不僅影響到什么數學重要，而且影響到如何“做數學”。現在在袖珍計算器上能夠做幾乎從幼兒園到兩年制大學教的數學技術，僅僅這一事實就必定會大大影響數學課程。

首先，計算機的發展導致對數學和數學活動包括什么的看法有所改變。比如更加突出了數學中的實驗方面，把發現和探索看作數學教學過程的重要組成部分，因為探索和發現可以使學生更好地保持和理解數學知識，更加自信；有助于教學生思維；可以提供對數學的最大美感；是使學生看到數學如此有用的最好途徑；可以使學生把握數學的威力。計算機這個現代化手段可以用各種方法來輔助數學探索與發現。比如，用計算機的圖象使各種二維和三維對象形象化，可以幫助學生自己去探索問題、發現結果；通過數據分析、圖象和數值探測，用簡單函數逼近復雜函數；通過符號數學系統去發現諸如二項式定理等數學公式等。這樣可望保證為學生提供準備去獲得技能、經驗，去觀察、探索、形成頓悟和直覺，做出預測，驗證假說，建立實驗，控制變量、模擬等，當我們強調上述活動的時候，需要保證諸如證明、一般化和抽象化等等傳統活動不被忽視或取消，我們需要在“實驗的”和“正統的”數學之間找到一種恰當的平衡。

如果我們這樣來圍繞和加強數學的“過程”，而不是只注意數學活動的結果，那么當然有必要去選擇那些能鼓勵和促進實驗方法的數學課題和領域。

這里應注意兩個要點：第一，絕大多數學生不能成為數學家，他們許多人可能學實驗科學；第二，數學中的實驗與物理和其他自然科學的實驗有所不同，數學中有“證明”這個重要成分，數學還不是實驗科學，必須看到思維訓練和思維方式之間的區別。

除了實際使用計算機外，算法在課程中也要起突出的作用。在過去

二、三十年中，計算復雜度、動力系統，科學計算和圖象數據分析等方面蓬勃興起，但是在目前的課程中卻幾乎不為人知，即使不真用計算機，在盡早介紹這個課題方面仍然是大有可為的，但是大多數教師不去做這些努力。

其次，計算機改變了師生之間的關系。計算機能夠影響學生的行為，而且提出了學生、知識、計算機和教師之間的相互作用和相互關系問題，在這種情況下教師的作用就要認真考慮了：要更強調學生的主動性，如果學生能夠主動地學習數學，那么他們能學得更好，而且能發展自主的行為模式，增強數學思維能力。把學生從被動中引導出來去主動地思考數學實非易事。一種方法是利用計算機提供有利而新鮮的體驗，以激發這種行為。他們還能用計算機來探索和發現，用計算機提供的機會可以激勵學生去實踐發現過程。要強調需要把探索和發現看作基本的數學活動。傳統數學教學只是數學事實的傳授與接受。有了計算機可以快速處理事例，可以比較容易找到猜想和概括的模式，也容易探究反例，或者由機器輔助證明。此外計算機可以幫助擴大學生活動的廣度和加深深度，或者自制軟件，或者使用現成軟件，二者都有很大價值。

在課堂上使用計算機有兩種方式：一種是作為教師的輔助工具，一塊電子黑板。這種使用方法不會打破傳統的課堂形式；另一種是允許和希望學生使用計算機，這樣必然導致方法的變革，教師不再能控制一切；他們的作用不再限于講解，布置作業和評分，而必須擴充，這種變革會引起課堂中的革命性變化，要求教師不僅要獲得新知識、技能和使用硬件和軟件的信心，而且還應當根本改變他們現在的目的和重點并且減少控制程度。在課堂上可以用計算機繪制圖象；做自我評價和個別化訓練；評價和計分；糾正學生的錯誤。

計算器和計算機還影響到數學應當如何教。它們把困難的變得容易，使不可行變得可行，使一些現實問題、大量數據處理問題可能成為教學內容。

4．對學生學習的理解有變化。學習不是一種被動地吸取知識，并通過反復練習、強化儲存知識的過程，而是學生用原來的知識處理各項新任務，同化新知識，并構建他們自己的意義。再者，一些思想、概念在記憶里不是孤立的，而是有組織的并且和他過去用的自然語言及遇到過的情況相聯系。這種對學習的積極的、創造性的觀點必須在教數學的途徑中反映出來。

5．我國中小學數學教學的現狀。我國的中小學數學教學具有重視基礎知識和基本技能的優點，這使我國的中小學學生普遍具有較扎實的基本功。同時，我國中小學數學仍然存在著比較嚴重的問題，急待認真研究解決。首先，缺少新的教學內容，不大適應時代的要求，與很多國家相比，我國的教學內容是最老的。在現行大綱必學、必選內容中，除集合思想有所滲透外，都是傳統內容。在其他國家課本里占有重要地位的概率、導數與微分等只列為任何考試均不要求的選學內容。而向量、矩陣、統計等有用的內容，則連任選內容也未列入。其次，學習的知識面狹窄。目前我國高中數學課本里的內容，比1956年、1963年、1968年大綱里的內容都少。例如，與1963年大綱相比，現在少了高次方程、概率、行列式等內容。可以說，與我國歷史上比，現行課本里的內容是最少的。第三，具有一定彈性的課程結構并未真正落實。1990年以來，雖然要求各校實行必修課、選修課、活動課組成的三個板塊的課程結構，但是由于考試指揮棒的影響等原因，很多學校的選修課實際上變成了以應考為目標的必修課的延伸，數學課外活動也難以開展，因此通過選修課和活動課來促使學生學的更加生動活潑、發展其個性特長的想法并未實現。課本統得過死，沒有選擇余地。在1990年以前尚有甲種本和乙種本可供選擇。可是1990年以后則規定一律只許使用相當于原乙種本的必修本，原甲種本停止供應。“高考”嚴重歪曲了學校教學工作。考什么學什么，不考的則不學。學習難度提高，學習進度加快，復習時間拉長，學生的思維被禁錮在一個狹小的“應考”圈子里，興趣特長受到壓抑。

我們認為，積極貫徹鄧小平同志“三個面向”的指示精神，以培養新世紀的合格人才的需要出發，下大力氣研究解決上面存在的問題，正是我們考慮中小學數學課程改革的出發點。

上面講的社會需要、數學及其應用的發展、教育的發展這樣一個背景下，預示著數學課程改革應實現一些重大的改變。

二、建立新數學課程的原則

前面已經談了新世紀的數學課程改革的背景。新的數學課程的形式可以多種多樣，但它應當遵循一些基本原則。

原則1：數學教育必須著眼于發展數學能力

數學能力使學生理解數學概念和方法，并且在各種情況下辨明數學關系。它幫助學生邏輯地推理，解決各種常規的和非常規的問題。數學能力要求學生能夠用數學方法閱讀文獻，能夠用口頭和書面形式表達數學關系，進行邏輯分析。

數學能力強的學生能夠在他的職業和日常生活中運用數學。他們是數學思想的明智使用者，接受或者拒絕表面上有數學論證的主張。他們會數學地看問題，知道什么時候數學的分析有助于解釋清問題。他們有充分的數學知識去選擇職業和進一步學習要求精通數學的學科。

數學能力還包括交流數學的才能。除了知道如何解決問題外，學生還必須會閱讀并理解數學課本，并會口頭和書面把數學研究和問題解決的結果向別人表達。因此，數學課程必須提供適當的情景，使學生能夠學習讀數學、寫數學、談數學。

原則2：中小學數學教材要立足現實，面向新世紀

中小學數學教材要充分反映未來社會發展的需要，應精選那些未來社會廣泛應用的、最基礎且適合學生發展水平的數學知識作為數學課程內容。中小學數學課程教材應當是算術、代數、幾何、分析、概率統計這幾科基礎部分恰當配合的整體，適當增加應用數學、離散數學的內容，具有一定的系統性和邏輯嚴密性，突出數學思想和數學方法。

原則3：中小學數學課程自始至終都應當充分使用計算器和計算機

新課程教材的設計必須考慮到科學技術的進一步發展而不斷改革。在數學教學中，充分使用計算器和計算機等現代化教學手段，促進學生積極參與數學活動：猜想與論證、探索與推理、問題的提出與分析解決、計算與檢驗，以加深對數學概念、思想、方法的理解，培養提出問題、分析問題、解決問題的能力。

原則4：恰當的應用應當是課程的有機組成部分

學生需要在自然地產生數學思想的情境（從簡單的計算和度量到商業和科學中的應用）中體驗數學思想。計算器和計算機能使在課程中引進實際應用。

一項應用是否恰當，重要的標準是看它能否引起學生的興趣，能否激發他們的數學思維。有吸引力的數學應用應當取自兒童生活的世界，取自社會事件，或課程的幾何部分，不僅取自自然科學，也要取自商業、地理、藝術和其他科目。

教學的基本目的應當是使學生在反映實際應用的情境中使用數學工具。數學思想應在有意義的數學活動的情境中呈現和發展。

原則5：各級的數學教學都應當促進學生積極參與

恰當使用新技術要求有新的數學教學方法，使學生成為更積極的學習者。除了使用新技術之外，對于學生如何學習的研究提出了更多的教數學的有效方法數學教學必須適應這兩方面的發展。大多數的數學教學不再不再適于傳統的教師講學生被動地聽的模式。

沒有單獨的一種教學方法，也沒有單獨的一類學習經驗能夠發展各種數學能力。需要的是各種活動，包括學生之間的討論，實習作業，重要技術的實踐，問題解決，日常的應用，調查研究以及教師講解。此外，課堂活動應當給學生提供充分的機會，用口頭和書面的數學語言彼此交流。

教師應當是催化劑，他幫助學生學會自己思考。他們不應當只扮演教育者。只是告訴學生正確方法。教師應當是一個明智的輔導員，不同的時間，要求教師充當以下幾個不同的角色：

模特兒。他不僅演示正確的途徑，而且也演示錯誤的開端和高級的思維技能，引導去解決問題；

顧問。他幫助個人、小組或全班決定他們的工作是否緊扣主題，進展是否合理；

仲裁人。他提出問題讓學生考慮，但把決定留給全班去做；

對話者。他支持學生在班上發表意見，鼓勵他們靠自己的活動去做出反應，靠自己去探索數學；

詢問者。他鞭策學生弄清楚他們做什么才是合理的、有目的的，使學生確信他們能夠捍衛自己的結論。

三、新數學課程的構造性框架

中學數學課程的教學目的是，使學生掌握從事現代社會生產和進一步學習所必需的代數、幾何、概率統計、微積分初步、離散數學的基本事實、基本理論、基本方法、基本應用，并形成基本技能。進一步培養學生的思維能力、運算能力、空間想象能力、數學應用能力、數學交流能力。進一步培養良好的思想品德和辯證唯物主義觀點。

中學數學的基本事實是指從實際中獲得的事實和現象、背景材料；基本理論是指其中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想和方法；基本方法是指搜集信息、處理數據、繪制圖表、從簡單實際問題抽象出數學問題和用數學知識解決實際問題的一般方法；基本應用是指數學在相關學科、生產和日常生活中的應用。

思維能力主要是：會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；理解數學概念、思想和方法，能在各種情況下辨明數學關系；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；形成良好的思維品質。

運算能力是：不僅會根據法則、公式正確地進行運算、處理數據，而且理

解算理、能夠根據問題條件尋求、設計合理、簡捷的運算途徑。

空間想象能力是：能夠由實物形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀；能夠熟練地從繁雜的圖形中區分出基本圖形，并能分析出其中的基本元素及其關系；能夠根據條件做出或畫出圖形；會形象地揭示問題本質。

數學應用能力是：能夠解決相關學科、生產和日常生活的簡單實際問題，會搜集信息、處理數據、繪制圖表；會數學地提出問題，把實際問題抽象成數學問題，數學地分析問題和解決問題；懂得數學的價值，形成用數學的意識。

數學交流能力是：能夠順暢地使用數學語言、符號和圖表口頭或書面表達數學問題，能夠閱讀數學書刊。

數學教學中，發展思維能力是培養能力的核心。

這里要談的目的是前面所述的一般原則的具體化，它們可以為新的數學課程提供一個構造性的框架。

1．中學數學應當強調實踐的數學能力

如果說教學是要給學生數學能力，那么在各年級都必須始終強調問題解決。學生需要領會比教師教的更多的數學。推理訓練能使學生接觸并解決日益困難和復雜的問題。在整個數學課程中重要的是強調問題而不是練習。

擴充小學數學課程的含義就是進入中學數學。但中學各年級不應看成鞏固的階段或者暫停歇息的階段，而應看成是兒童數學發展的基本部分。中心應當是日常生活中的數學。一個富有激發性的主題，可以自然地導出許多重要的數學課題（如數據分析、幾何度量、利率、電子數據表分析）。理解小學數學的概念對于學習中學數學是根本的，然而，不應當把筆算的熟練程度作為評定學生進一步學習的準備程度的標準。

2．應當加強學校數學與其他科目的聯系

數學發展的動因與科學有關，在學校里數學和它的應用之間有著可貴的純樸的聯系。數學的應用已經遠遠超過了自然科學的范圍，已擴展到社會科學、地理、各種職業以及商貿領域。在探索的情景中兒童可以學到很多數學。中學生需要在數學課上自己去體驗應用，也需要在其他課上運用數學。

數學是科學的語言，是模式的科學，數學和科學之間的特殊關系遠比理論和應用之間的聯系多。數學和科學研究的方法都集中注意探索、調研、猜想、證明和推理。科學與數學之間的學校這條紐帶應特別幫助加強學生對這兩個領域的掌握。

3．中學數學課程的重要目的之一是發展符號意識

從具體對象轉向抽象符號是小學過度到中學的一個特征。發展正確而熟練地使用符號和其他抽象名稱（可能是幾何的、代數的或算法的）的能力是中學數學課程的中心目的。學生有效地使用符號進行推理的能力要求有以下體驗

表達—用符號形式表達數學問題并在關系、式子和方程中使用這些符號表達式的能力；

操作—確定適當的符號程序并選擇適當的方法解決用符號形式表達的問題的能力；

解釋—用符號系統推理、得出結論并檢驗所得結果的準確性和合理性的能力。

計算器和計算機在發展符號意識中起著重要作用。在中學應從強調操作技能轉到強調理解和問題解決。新技術對中學課程的影響將是發展高級軟件，使學生能夠發現模式而不僅僅是符號操作。

4．中學數學應當引進整套數學科學

中學數學要為學生就業、升學、為作公民做準備，課程應當包括充分反映數學科學威力的廣泛的課題，例如：

（1）代數：包括一般算法和各類函數（多項式函數，三角函數，指數函數，對數函數）；

（2）幾何：包括變換幾何、向量幾何、立體幾何和解析幾何；

（3）數據分析：包括不確定性的度量、概率和抽樣分布、推理論證；

（4）微積分：包括極限、導數、積分；

（5）離散數學：包括組合論、圖論、遞推關系、遞歸，它們都要強調算法思想；

（6）最優化：包括數學建模、系統思想和網絡流程圖。

5．學生應該領悟在數學中推理論證是確立真理性的準則

學會理解和建立邏輯的、首尾一貫的數學論證是學校數學的主要目的之一。應該看到，歐幾里得幾何不是教學生推理的唯一載體，代數和離散數學都為論證提供了很好的機會，甚至流程圖和電子數據表也能用來說明數學論證的邏輯性質。

比熟練的形式證明更重要的是，從各種基本例子理解數學真理是邏輯的而不是經驗。少年兒童能夠從算術的基本經驗中培養邏輯意識。一旦理解了符號，許多基本思想就可以證明，并且常常可以用多種方法證明。

6．所有學生在校期間每年都應當學習數學

數學應當對所有學生（并不僅僅是升學的那些學生）的教育中發揮重要作用。正如《人人關心數學教育的未來》中援引懷特（M．White）的話說“在美國教育管道中，數學應成為泵，而不是過濾器。”

核心的中學數學對所有學生基本上應當是一樣的，盡管表述的深度可以不同。核心以外的擴充自然是不同的，要考慮到學生的不同志向和可能的后繼教育。學生能夠學會應用數學，他們常常能夠在與數學有聯系的學科（如自然科學、地理、商業）中學到新的數學。和語文一樣，數學應是一門“跨課程”教學的科目。

四、新中學數學課程設計中的幾個問題

1．關于教學內容

教學內容的變革是數學課程演變與革新的重要方面之一。各國的大綱在教學內容上存在很大程度的一致性，特別是在算術、度量、代數方面沒有很大的差異。1985年ICMI（國際數學教育委員會）在斯特拉斯堡（Strasbourg）召開會議，在討論“計算機和信息論對數學及其教學的影響”時認為，“在中學數學課程中代數仍然處于極其重要的地位。然而值得注意的是不應使學生完成大量的代數運算訓練（例如在多項式代數中），而應使學生懂得在許多場合下代數是解決問題的自然工具。但是運用公式和其他代數表達式的能力仍然是必需的”。

在學校課程里，沒有哪個數學領域像幾何那樣引起數學家的廣泛關注。近30年來，幾何教學經歷了一次總體的轉變，這種關注也得到了許多數學教育工作者的響應。對于新數學課程幾何內容的設計，1986年ICMI科威特會議提出：人們大致會面臨三種可能的選擇：

第一種選擇：放棄那種幾何應該或能夠在學校中作為一個知識體系來處理（演繹地或非演繹地組織）的想法，在這種體系中，各種概念和結論之所以要學，僅僅是因為它們屬于這個體系。代之以把幾何與空間看作在各種水平上為多種創造性活動提供極好話題的來源，還應通過提供代數方法使幾何教學服務與生活。

第二種選擇：仍然試圖在修改過的歐幾里得幾何或變換幾何的基礎上進行公理化或擬公理化的學校幾何課程教學。

第三種選擇：在普通課程中給有些學生至少提供幾何的孤島，即局部的演繹系統（例如關于圓的角的單元，關于初等射影幾何的單元）。

計算器在新的數學課程中應起重要作用，計算機將帶來數學課程重點的改變，特別值得注意三點：一是算法，它需要更加強調，雖然計算的復雜性的理論不能進入學校，但要注意比較解決同一問題的不同算法的效率；二是離散數學，對離散數學—布爾代數、差分方程、圖論—的興趣已經有了很大的增長，要求在中學課程中引入更多的離散數學，甚至使得傳統上對微積分的強調，無論在中學或大學中都成了問題。雖然這這未必會導致取消微積分教學，但是微積分教學必定要改革；三是符號操作，現在有些微機用的軟件可以有效地進行學校所教的全部微積分的運算—微分、分部積分、換元法、展開成冪級數—并且還能處理學校所教的多項式代數的大部分內容，那么是否仍有必要教學生去做那些計算機能做的事呢？

教學內容的另一個問題是“為大眾的數學”（MathematicsforAll）的研究。從1984年開始，大力研究把中小學數學同“民族數學”（Ethnomathematics）結合起來，搞面向大眾的“為大眾的數學”運動。要回答的一個主要問題是數學是否應該保持在為大眾的中小學課程中的核心地位？可能有四種選擇：一是否定的回答，認為不能對每個人都教“純數學”；二是肯定的回答，但必須設計好；三是肯定的回答，但未必所有的人都學懂；四也是肯定的回答，但要設計區分的課程，對不同水平的學生區別對待。

從我們20多年《中學數學實驗教材》的實驗研究中體會到，中學數學教學內容應當精選傳統數學那些普遍實用的最基礎部分，這就是理論上、應用上和思想方法上都是最基本的、長期起作用的通性、通法。對于那些理論上雖有一些作用但發展余地不大，或沒有普遍意義和使用價值。或不必要的重復與過于繁瑣的內容，作了較大精簡或刪減。基礎數學可以歸結為四套簡樸好用的運算和運算律。代數學的基礎在于數的運算和運算律；幾何學的基礎在于向量的運算和運算律；邏輯學（即思維法則）的基礎在于命題的運算與運算律（與集合的運算同構）；分析學的基礎在于微分、積分運算與運算律。中學數學應當是代數、幾何、分析、概率統計和離散數學幾科恰當配合的整體。應當從這幾科中精選內容。代數的重要內容主要是數系：有理數系、實數系和復數系，最普遍有用的是數系的運算律；多項式運算：多項式的加、減、乘和單元多項式除法，綜合除法，余式定理；解代數方程：解低次方程主要用運算律、配方法，解高次方程主要采用函數觀點，不等式，線性方程組，行列式，矩陣；待定系數法。幾何的重要內容是教學生學習演繹法，重點在于讓學生逐步體會空間基本性質的本質和用法。例如等腰三角形定理的本質在于平面的軸對稱，其基本用場在于邊等與角等的互相轉換；平行四邊形定理是歐氏平面具有平移的具體表現；相似三角形定理是相似形的基本定理而相似變換是歐氏平面上常用的特性；而勾股定理則是把邊角數量化的基礎。這四大定理是平面幾何的重點，它們也是把空間結構全面代數化的理論基礎，用向量把幾何學全面代數化，向量幾何，解析幾何及其原理，這就是整個幾何課的重點，幾何選了向量（二維、三維）、平面三角、立體幾何、坐標幾何。分析的重點內容，除函數（含指數函數、對數函數、三角函數）、極限、連續等分析學的基本概念之外，變率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法，微積分選了極限、導數、積分。概率統計選了概率初步與數理統計初步。

2．關于課程的結構

課程改革不僅是內容問題，還有課程的結構問題，即要回答“如何構建課程才能不僅易學，而且符合教學目標？”“是只學結果呢，還是要學過程？”數學課程應該以數學過程為基礎，而不是像現在這樣以學科內容為基礎來重新編制。數學是一系列的過程，學校的任務是幫助學生去“數學化”，因此，不僅要確定那些課題對于中學生是必不可少的，而且更重要的是選擇哪些過程可能會更好地為提高公民素質服務，以及什么學校實踐可以幫助學生學習這些過程。

在一個計算機化的社會里，這些過程也包括：比較、分類、排序、符號化、一般化、…等等。所有這些都可歸入“數學化”這個術語之中。如何才能發展數學化的功能呢？過程能夠作為數學課程建構的實際可能的基礎嗎？等等仍然是值得研究的課題。

從《中學數學實驗教材》的實驗研究中我們體會到，要從歷史發展程序和認識規律出發，自然地處理課程教材，力求順理成章、深入淺出。注意提前滲透后面的重要概念和思想，為后面的學習預先作好準備，使學生易于接受。同時兼顧分析、綜合、歸納、演繹幾種方法，使學生真正掌握數學的精神實質和思想方法，培養學生的思維能力。數學的歷史發展經歷過若干重要轉折，學生的認識過程與歷史發展過程有一致性，教材與教學也要著力采取措施引導學生合乎規律地實現那些重大轉折。使學生的數學學習由一個高度發展到另一個新的高度。中學數學中突出了五個轉折。

由算術到代數是第一個重大轉折。關鍵在于靈活運用運算律，整個代數學的基本主題就是以通性求通解。從算術進化到代數，關鍵性的突破點就是發現了如何運用數系通性（運算律）去解簡單的代數方程這個原理。多項式的產生則是后來進一步把上述解方程的原理加以形式化的結果。實現這個轉折，重要的是要向學生講清代數的基本精神是靈活運用運算律謀求問題的統一解法。由實驗幾何到論證幾何是第二個重大轉折，要對空間的基本概念和基本性質加以系統的觀察、分析與實驗，建立“空間通性”的一個明確體系，達到“探源、奠基和啟蒙”三個教學目的，然后引進集合術語并借助集合和描述集合的特征性質之間的關系來說明性質之間的邏輯關系，即以集合作工具，講清一些基本邏輯關系、推理格式再轉入歐幾里得的推理幾何。第三個轉折是從定性幾何到定量幾何，即從綜合幾何到解析幾何。要對幾何謀求統一解法，出路在代數化。用代數工具去研究幾何問題是數學史上一個創造性的成功。首先要把一個幾何量代數化，位移是基本的幾何量，加以抽象就得到向量的概念，然后運用歐氏空間特有的平移、相似與勾股定理等基本性質引進向量的加法、倍積與內積這三種向量運算。這樣就把空間的結構轉化為向量與向量運算這種代數體系。向量運算律也就是代數化了的幾何公理，這樣就把空間的研討徹底地推進到有效能算的水平，實現定性幾何到定量幾何的轉折。第四個轉折是從常量數學到變量數學。從常量數學到變量數學，在概念和在方法論方面都有相當大幅度的飛躍，需要早作準備，初中二年級已有三角函數的初步概念，初三正式研究各種函數，到高

一、高二的代數與解析幾何中，就逐步地討論到連續性、實數、切線等概念。數列、逼近的思想也早有滲透，到高三進一步突出逼近法研究極限、連續、微分、積分等變量數學問題，實現到變量數學的轉折。第五個轉折是從確定性數學到隨機性數學的轉折。通過排列組合引進古典概率計算，過渡到隨機性數學的初步研究。這樣，既遵循歷史發展的規律，又突出了幾個重大的轉折關頭，縮短了認識過程有利于學生掌握數學思想的脈絡，提高數學教學的思想性。

3．關于數學的應用

近年來，對于應用，對于使數學教學結合實際，對于數學模型的教學已經引起人們的關注與討論。在歷史上，數學教學幾乎總是與各行各業聯結在一起的。只有隨著中學和大學的學院化，數學與現實的聯系才被忽視或受到歪曲。

教應用和使用現實生活例子的問題，仍然是有待解決的問題。應用在數學教育中有許多解釋，正如知識有許多水平一樣。應用能夠為各種目的服務，在設計新的數學課程時，對這些應用加以區分是重要的。有些問題并不真正是現實生活的問題，但是它可能具有重要的教育價值，也可能養成學生應用數學的技能，不能一概否定。還有一類傳統的例子是過分現實的，是直接從職業中拿過來的，如稅收、簿記、聯系特殊工業的數學，如“三機一泵”這樣的例子，這就提出了一個誰的實際的問題。這些例子只是社會的一些特殊的需要，不足取。就算排除了這類實例，還會有多種形式體現應用。比如守門員如何站位才能縮小對手的射角？攻球員應當把球帶到離球門多遠射球能取得最大的射角？這些問題把數學與實際問題聯系在一起，對某些學生有吸引力，能引起他們的興趣，但這并不是真用數學去解決問題，沒有哪個球員會這樣去計算他們站立的位置去守門或攻球。這種例子提供了數學與現實世界的聯系，在一定意義下，使所學的數學合理化，但它們未必能激發學生學習數學的動機。數學的重要性并不在于這種應用。

更重要的是，這種聯系不可能總是結合學生實際的。正如卡森（Carson）所說：“現實是主體和時間的函數，對我是現實的，對別人未必是現實的；在童年時代上現實的，在現在就不再是現實的了。”這就表明，要使課程有應用性是一個復雜而長期的任務。

前面說的都是用來為數學教學服務的現實例子。當數學用來為現實服務時，情況就完全不同了。它是用數學去描述、理解和解決學生熟悉的社會現實問題，這種問題不僅有現實意義，而且不局限于數學一科，還要用到學生多方面的知識。

現在有一種愿望，希望在中小學引進跨學科的，以社會為基礎的設計。在這種設計工作中，學生會看到數學如何才能用到真正的現實生活問題上去，并且可望獲得進一步學習的動力，自然地產生建立數學模型的機會。

新時期的數學課程不僅要求提供適合于學校里進行教學的應用的實例，而且要求更深入地研究各類應用的教育目的與正確性。教會學生如何應用，是新時期數學課程的一個主要目標。這里有三種可能的選擇值得考慮：第一，數學應用在數學課內，這種應用可以直接引起動機，但要求學生具有數學以外的知識；第二，數學應用在其他課內，它能使數學與其他學科如物理、生物、地理等聯系起來，但會出現能否協調和配合的問題；第三，數學應用于跨學科的設計中，它有利于實現長遠的教學目標，但由于要求協同工作，往往會與傳統的課程組織形式發生矛盾。

4．關于問題解決

問題解決是數學教育改革的一個熱門話題，研究范圍也在日益擴大。美國的課程標準曾把問題解決作為一切數學活動的組成部分，應當成為數學課程的核心，整個數學課程都要圍繞問題解決來展開；日本已把問題解決納入“指導要領”；英國也把問題解決作為一種數學教學模式和指導思想來對待，SMP還為A水平數學專門設計一個單元“問題解決”，并編出了教材。面對文化壓力的增大和新技術的挑戰，問題解決越來越顯得重要，要通過教育中更大問題的解決方法去開發學生的智力，以滿足迅猛發展的技術革命的要求。這里的原則是：如果我們不能預測明天需要什么，那么最好的回答是用思想武器武裝下一代去面對新的挑戰，當然不能低估實現這種措施的困難。和60年代“新數”運動不同，“新數”至少是受過大學訓練的教師是了解其內容的，而問題解決對絕大多數人來說是全新的課題。

有些研究建議通過數學建摸把更多的問題解決因素引入高中數學：“我們確實要學生能把數學技能用到實踐中去，而且只有通過活躍的問題解決才能做到這一點，問題可以是現實的，也可以是純數學的，其共同點都是要為學生提供這樣的機會：應用他們的數學技能；小組活動；表現創造性、想象力、革命精神和批判性；激勵進一步的數學學習。”

新晨