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《斷塊油氣田雜志》2016年第4期

摘要：

目前大部分試井?dāng)?shù)學(xué)模型將表皮系數(shù)視為常數(shù)，然而這僅是一種簡(jiǎn)化的處理。在實(shí)際生產(chǎn)過程中，注入或產(chǎn)出的流體可能沖刷巖石顆?；蛘邤y帶雜質(zhì)顆粒進(jìn)入地層，因此表皮系數(shù)是隨時(shí)間變化的。文中將受影響區(qū)域的平均滲透率定義為一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，利用經(jīng)典表皮系數(shù)的定義，建立了表皮系數(shù)與時(shí)間的關(guān)系式，稱之為變表皮系數(shù)；將該變表皮系數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)試井解釋模型內(nèi)視為常數(shù)的表皮系數(shù)，建立變表皮系數(shù)試井解釋數(shù)學(xué)模型；利用拉普拉斯變換求解出該模型在拉氏空間內(nèi)的解，并利用Stehfest數(shù)值反演計(jì)算出實(shí)空間的解；做出無量綱井壁壓力和壓力導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間變化的雙對(duì)數(shù)圖，并分析了變表皮系數(shù)表達(dá)式中各參數(shù)對(duì)無量綱井壁壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響。文中利用勝利油田勝2區(qū)塊一口井的實(shí)測(cè)試井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析，說明了該模型的適用性。

關(guān)鍵詞：

試井解釋；變表皮系數(shù)；污染區(qū)域滲透率；典型曲線；模型

0引言

表皮系數(shù)是用來表征近井地帶受到污染程度大小的參數(shù)，由此引起近井地帶產(chǎn)生的附加壓力降稱為表皮效應(yīng)［1—3］。引起表皮效應(yīng)的因素有很多，包括鉆井過程中鉆井液的侵入、射孔的不完善、壓裂、酸化等［4—5］。在現(xiàn)今的試井解釋數(shù)學(xué)模型中，通常將表皮系數(shù)視為常數(shù)［6—7］，對(duì)于大部分生產(chǎn)井，這樣做可以滿足工程計(jì)算要求。然而，對(duì)于某些高滲井和儲(chǔ)層膠結(jié)程度不高的井，在生產(chǎn)過程中近井地帶壓力梯度大，流體流速快，可以將鉆井過程中侵入的鉆井液及未膠結(jié)的砂粒沖刷帶入井筒，此過程增大了近井地帶的滲透率，降低了表皮系數(shù)［8］；對(duì)于某些低滲透井，在生產(chǎn)和注水過程中，由于流體流動(dòng)速度較慢，地層中的微粒逐漸堆積在近井地帶，隨時(shí)間推移，表皮系數(shù)逐漸增大。因此，在上述這些情況下，表皮系數(shù)往往是隨時(shí)間變化的，且變化較明顯，將表皮系數(shù)視為常數(shù)是不合適的，可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的試井解釋結(jié)果［9—10］。本文將近井地帶的滲透率視為時(shí)間的函數(shù)，從表皮系數(shù)的定義出發(fā)，建立起變表皮試井解釋數(shù)學(xué)模型，并對(duì)該模型求解，繪制了無量綱壓力以及無量綱壓力導(dǎo)數(shù)圖版，補(bǔ)充了試井理論中表皮系數(shù)的內(nèi)容。

1定義變表皮系數(shù)

將污染區(qū)域的平均滲透率視為時(shí)間的函數(shù)，其變化規(guī)律為：早期，因?yàn)檩^細(xì)的顆粒容易被沖刷帶入井筒中或堆積在近井地帶，污染區(qū)域平均滲透率變化速度較快；隨時(shí)間推移，這種顆粒越來越少，滲透率的變化也越來越慢；最后，污染區(qū)域平均滲透率趨近于常數(shù)。借鑒Fair［11］對(duì)于變井筒儲(chǔ)集系數(shù)的處理，該規(guī)律為KsiKs=-β（1-e-vit）+1（1）式中：Ks為污染區(qū)域平均滲透率，μm2；Ksi為污染區(qū)域初始（t=0）時(shí)刻平均滲透率，μm2；vi為滲透率初始遞變速率，d-1；t為時(shí)間，d；β為常數(shù)（β<1）。則污染區(qū)域滲透率變化趨勢(shì)如圖1、圖2所示。由圖1可知，當(dāng)vi為定值時(shí)，β控制了Ksi/Ks的極限值，即：limt→+∞KsiKs=1-β（2）當(dāng)β值為正值時(shí)，代表Ks逐漸增大；β為負(fù)值時(shí)，代表Ks逐漸降低；且β的絕對(duì)值越大，代表Ks最終變化程度越明顯。由圖2可知，當(dāng)β為定值時(shí)，vi決定了Ksi/Ks趨近極限值的時(shí)間，vi越大，Ksi/Ks趨近極限值1—β的時(shí)間越短，曲線越陡，說明Ks的遞變速度越快。式（1）中通過定義β和vi參數(shù)來描述污染區(qū)域的滲透率恢復(fù)特征，表皮系數(shù)的定義：S=KKs→-1→lnrsrw（3）式中：S為表皮系數(shù)；K為地層平均滲透率，μm2；rs為污染區(qū)域半徑，m；rw為井筒半徑，m。假設(shè)污染區(qū)域半徑不變，即rs為定值，不妨定義初始時(shí)刻（t=0）的表皮系數(shù)Si為Si=KKsi→-1→lnrsrw（4）Si為常數(shù)，而S是時(shí)間的函數(shù)（因?yàn)镵s是時(shí)間的函數(shù)），可以利用Ks與Ksi的關(guān)系建立起S與Si的關(guān)系，聯(lián)立式（1）、式（3）和式（4），得到：S+lnrsrwSi+lnrsrw=KsiKs（5）

2建立并求解數(shù)學(xué)模型

2.1模型假設(shè)條件

假設(shè)平面無限大，厚度為h的均質(zhì)地層中有一口生產(chǎn)井以q的速度生產(chǎn)，原始地層壓力為pi，井底流壓為pwf，儲(chǔ)層滲透率為K，孔隙度為準(zhǔn)，井筒半徑為rw，流體黏度為μ，流體體積系數(shù)為B，綜合壓縮系數(shù)為ct，表皮系數(shù)為S，井筒儲(chǔ)集系數(shù)為C，儲(chǔ)層中發(fā)生達(dá)西徑向滲流。所有參數(shù)單位均為SI制。

2.2數(shù)學(xué)模型建立定義

如下無量綱量：pD=Kh（pi-p）1.842×10-3qμB，rsD=rsrw，pwD=Kh（pi-pwf）1.842×10-3qμB，tD=3.6Kt準(zhǔn)μctrw2，rD=rrw，viD=準(zhǔn)μctrw23.6Kvi，CD=0.1592C準(zhǔn)cthrw2。其中：pD為無量綱壓力；pwD為無量綱井壁壓力；tD為無量綱時(shí)間；rD為無量綱半徑；CD為無量綱井筒儲(chǔ)集系數(shù)；viD為無量綱滲透率初始遞變速率；rsD為無量綱污染半徑。流動(dòng)早期，井筒儲(chǔ)集效應(yīng)明顯，地面產(chǎn)出液全部或大部分是由井筒內(nèi)儲(chǔ)集的流體供應(yīng)的，這時(shí)的流動(dòng)并未完全波及到儲(chǔ)層，此時(shí)可將表皮系數(shù)視為常數(shù)Si；當(dāng)井筒儲(chǔ)集效應(yīng)逐漸減弱，地層滲流速度增大，流動(dòng)完全波及到儲(chǔ)層，此時(shí)的表皮系數(shù)應(yīng)為變量S。

3計(jì)算結(jié)果分析

由計(jì)算結(jié)果繪制的無量綱井壁壓力與無量綱時(shí)間的雙對(duì)數(shù)圖見圖3—5。各圖中所取的Si值為相同的4組值，分別為1，5，10，20。由圖3—5可知，Si的值越大，無量綱井壁壓力曲線簇的值越大，無量綱壓力導(dǎo)數(shù)的峰值也越高。

3.1β對(duì)無量綱井壁壓力的影響取lnrsD=40，viD=0.00001，CD=10，畫出實(shí)空間pwD及dpwD/dlntD與tD的雙對(duì)數(shù)圖（見圖3）。圖3a中共取了3組β值，分別為-0.5，0，0.5。β值的大小反映了污染區(qū)域平均滲透率最終的恢復(fù)程度，β越大，Ksi/Ks越小，最終的表皮系數(shù)S越小。在圖3中，β為正值時(shí)，pwD先減小，待S穩(wěn)定后緩慢增加，壓力導(dǎo)數(shù)曲線會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，故在雙對(duì)數(shù)圖上不連續(xù)，且Si越大，出現(xiàn)負(fù)值的范圍越大，曲線“開口”越大；β為負(fù)值，pwD先快速增加，待S穩(wěn)定后緩慢增加，壓力導(dǎo)數(shù)曲線會(huì)出現(xiàn)第2個(gè)峰值，且Si越大，曲線峰值越高；β為0時(shí)表示表皮系數(shù)為常數(shù)，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在出現(xiàn)第1個(gè)峰值后逐漸趨于0.5。當(dāng)取lnrsD=40，β=-0.3，CD=10時(shí)，畫出實(shí)空間pwD及dpwD/dlntD與無量綱時(shí)間tD的雙對(duì)數(shù)圖（見圖4）。圖4取了3組viD值，分別為0.0001，0.00001，0.000001。viD的大小反映了Ks變化速度的快慢，viD越大，則Ks變化速度越快，S的變化速度也越快。在圖4中，則為viD越大，pwD上升速度越快，壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)第2個(gè)峰值（β為負(fù)值）或“開口”（β為正值）的時(shí)間越早，但當(dāng)Si和β值不變時(shí)，不同viD值的壓力曲線最終匯聚成為一條曲線，壓力導(dǎo)數(shù)曲線最終也會(huì)回歸到0.5。

3.2rsD對(duì)pwD的影響當(dāng)取viD=0.00005，β=-0.3，CD=10時(shí)，畫出實(shí)空間pwD及dpwD/dlntD與tD的雙對(duì)數(shù)圖（見圖5）。圖5取了3組rsD值，分別為10，100，1000。rsD的值反映了污染區(qū)域面積的大小，rsD越大，污染區(qū)域越大，在地層中可被流體沖刷或堆積的污染顆粒越多，最終的表皮系數(shù)S變化也越明顯。在圖5中，rsD越大，pwD上升幅度越大，且最終pwD的值也越大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線的第2個(gè)峰值（β為負(fù)值）或“開口”（β為正值）也越大。由圖5中還可以知道，rsD對(duì)于pwD的影響程度較小，尤其對(duì)于較大的Si的影響更小。這是因?yàn)槲廴景霃揭话悴粫?huì)超過6m［14］，故污染半徑的變化范圍較小，在進(jìn)行實(shí)例分析時(shí)，可以忽略污染半徑的影響。

4實(shí)例分析

以勝利油田勝2區(qū)ST2—0—608井11—5小層進(jìn)行的壓力降落試井?dāng)?shù)據(jù)為例，油層厚度h為5.6m，原油黏度μ為4.2mPa•s，體積系數(shù)B為1.10m3/m3，井筒半徑rw為0.1m，日產(chǎn)油量q為450m3，綜合壓縮系數(shù)ct為8.9×10-4MPa-1。試井過程中井底流壓始終大于原油泡點(diǎn)壓力，故生產(chǎn)過程為單相油流。用本文提出的模型制作的典型曲線與試井實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果見圖6。典型曲線中參數(shù)分別為：viD=0.001，β=0.7，CD=100，Si=9.0，rsD=40。選取某一擬合點(diǎn)在2張圖中對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為（18，4.66）和（106，5.12）。計(jì)算儲(chǔ)層的參數(shù)分別為Ksi=1.842×10-3qμBhpDΔpppfitting=0.75μm2準(zhǔn)cth=3.6Khμrw2ttDppfitting=7.26×10-3m/MPaC=2π準(zhǔn)cthrw2CDppfitting=7.26×10-2m3/MPaSi=pSpfitting=9.0根據(jù)圖6計(jì)算的污染區(qū)域初始滲透率為0.75μm2，該儲(chǔ)層的滲透率應(yīng)為0.75/（1-β）=2.5μm2，與后期經(jīng)過反復(fù)認(rèn)識(shí)得到的結(jié)果2.8μm2基本一致，說明此次的計(jì)算結(jié)果基本正確。從圖6及以上計(jì)算的數(shù)據(jù)可以看出，由于試井時(shí)流體流速較快，且地層滲透率較大，產(chǎn)生清潔效應(yīng)導(dǎo)致井周圍污染物被沖刷進(jìn)入井筒［8，15］，表皮系數(shù)降低，表皮系數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖7所示。從圖7及滲透率的計(jì)算結(jié)果可知，該井Ksi僅為0.75μm2，表皮系數(shù)高達(dá)9.0，然而隨生產(chǎn)時(shí)間增加，滲透率逐漸恢復(fù)到2.5μm2，表皮系數(shù)也趨近于0。若是后續(xù)對(duì)該井進(jìn)行配產(chǎn)及相關(guān)作業(yè)，如果沒有考慮井周圍表皮系數(shù)變化，可能會(huì)導(dǎo)致油井配產(chǎn)過小或造成一些不必要的施工作業(yè)，造成經(jīng)濟(jì)損失。

5結(jié)論

1）本文建立了考慮變表皮系數(shù)的滲流數(shù)學(xué)模型，該模型通過定義2個(gè)參數(shù)β和viD來刻畫表皮系數(shù)與時(shí)間的關(guān)系，實(shí)例分析證明應(yīng)用該參數(shù)是合理的。

2）利用拉普拉斯變換求解本文模型，做出無量綱井壁壓力和壓力導(dǎo)數(shù)隨無量綱時(shí)間變化的雙對(duì)數(shù)圖，并分析了變表皮系數(shù)表達(dá)式中各參數(shù)對(duì)無量綱井壁壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響。

3）井筒儲(chǔ)集效應(yīng)在早期段考慮，此時(shí)的流動(dòng)沒有完全擴(kuò)展至地層，故可近似將此時(shí)段的表皮系數(shù)視為常數(shù)，當(dāng)井筒儲(chǔ)集效應(yīng)結(jié)束后，將表皮系數(shù)視為變量。

4）利用勝利油田一口井的實(shí)測(cè)試井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析，說明該模型的適用性。本文提出的數(shù)學(xué)模型在繪制壓力導(dǎo)數(shù)圖版時(shí)，因?yàn)槔绽菇馐且粋€(gè)分段函數(shù)，且存在無量綱壓力下降的情況，故壓力導(dǎo)數(shù)曲線會(huì)出現(xiàn)不光滑以及出現(xiàn)負(fù)值的情況，但并不影響應(yīng)用。

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作者:李文會(huì) 劉鵬程 李中超 單位:中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院 中國(guó)石化中原油田分公司勘探開發(fā)研究院