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《機械工程學報》2014年第十二期

1對角修形齒面的設計

修形齒面可通過漸開線齒面與法向修形曲面疊加表示，因此確定對角修形齒面的關鍵是確定法向修形曲面。斜齒輪對角修形如圖1所示，僅對嚙入嚙出端進行修形，中間部分不修或者少修，修形區域為Δabc和Δdef(圖1a)，其I為沿接觸線上修形量相等，其II為沿接觸線修形量不相等。為了便于測量和確定修形齒面，修形曲面通常用旋轉投影面數據法向修形量(x,y)表示，將旋轉投影面分別沿齒高、齒長方向均勻劃分為mn個網格點陣，通過修形曲線如1b所示，計算網格節點上的修形量，經過3次B樣條擬合，便可得到光滑的修形曲面(x,y)。對角修形曲面設計的關鍵是確定修形量，修形量的大小與齒輪承受的載荷及齒輪的誤差有關，理想的修形量是齒輪在進入嚙合時沒有沖擊，平穩接觸，可通過TCA、LTCA計算得到。設a點到bc距離為lpm，d點到ef距離為lqn，修形區域Δabc中沿mp方向修形量可按照2次拋物線曲線增大，設M為修形區域內網格上一點，其到bc或ef距離為lM，則修形量為

2CNC平面砂輪磨齒數學模型

2.1六軸聯動CNC機床數學模型根據齒條與齒輪嚙合原理，為了便于加工大型漸開線圓柱齒輪，又要保證機床有足夠的剛度，建立圖2a所示立式6軸聯動數控機床模型。按照圖2b、2c)所示平面砂輪展成漸開線齒面原理按照圖2d所示CNC機床坐標系，K1、K2為機床常參數，坐標系定義同圖2c；根據齒輪嚙合原理，考慮到平面砂輪邊界，磨削后的齒面位矢、法矢為。從傳統型機床向Free-Form型機床的運動等效轉換原則是保證刀具與工件的相對位置和姿態在任意時刻都相同[17]，通過式(3)~(4)可得。式中，C0k(k=x、y、z、a、b、c)為各軸運動表達式(理論齒面)，可見齒條展成運動分解在三個移動軸上，磨削大螺旋角寬斜齒輪時，砂輪直徑只要適當大于瞬時接觸線，不用慮齒寬，但此時平面砂輪模擬齒條時，砂輪應有齒向運動見圖2c，其中Cs為砂輪沿齒向運動速度的常參數，增加Cs可以減小砂輪直徑，當Cs=0時，加工時的最小砂輪直徑為最大值。

2.2CNC平面砂輪磨削對角修形齒面計算磨削過程中平面砂輪與斜齒輪瞬時接觸線為直線，為了從嚙入到嚙出磨出整個齒面，砂輪外徑應不小于最長的瞬時接觸線長度如圖2c所示式中，βj為基圓螺旋角；ra、rb分別為齒頂圓、基圓半徑；ls為接觸線長度；q齒條接觸線沿齒向夾角，at為端面壓力角，hs徑向進給富余量常數。為了不至于劃傷齒根，平面砂輪外徑應徑向進給到過度曲線，且有一定的富余量hs，根據圖2b、2c砂輪位矢表示為修形曲面(法向偏差)為微調各軸運動參數所致，選取理論展成角φ1為各軸之間的聯系參數，實由網格節點i(i=1,2,…,p,p為齒面網格點個數取9×15=135)處各軸敏感系數組成的行矢量Si構成；(ui,θi)為齒面網格節點i處修形量，通過對角修形曲面得到。

2.3機床運動各軸參數求解式(9)為一個超定線性方程組，目前,對超定線性方程求解的方法有線性規劃方法、投影下降法、極小l1范數法、Gram-Schmid正交化法、Levenberg-Marquard法等，但是實際上由于圓柱齒輪隨著的齒面網格點數的增加，方程組的高度病態使其求解精度較低，工程應用受到限制。粒子群算法(PSO)[18]且具有全局收斂性，可以求解非凸、不連續、或具有多個局部極值的非線性優化問題，其結構簡單，易于實現，本文通過粒子群優化算法求解。圓柱齒輪磨齒加工屬于減材料加工，因此對砂輪是否與齒面接觸做出判斷：①Siζ<0表示平面砂輪嵌入齒面i點進行磨削；②Siζ>0表示砂輪遠離齒面i點進行磨削；為了使加工誤差最小應使齒面誤差平方和最小即。

3算例與分析

以表1標準安裝齒輪副為例，取K1=K2=0,hs=2mm、Cs=0時，Rw>320mm，取Rw=350mm。式(12)為CNC加工各軸0~6階系數的齒面誤差敏感矩陣；圖3為機床直線軸、回轉軸運動0階、1階系數分別變化±0.010、±0.001引起的齒面法向偏差：①軸向進給(Cx)、徑向進給(Cy)、齒厚方向進給(Cz)與壓力角軸(Ca)的0階參數變化表明，遠離工件時無誤差，嵌入工件時引起齒厚修正(見a0,a1,b0,c0,d0,f0)，1階參數變化引起沿齒向方向靠近齒根或齒頂分別不等的修正(見a2,a3,b1,b2,c1,c2,e1,e2,f1,f2)，且各軸校正敏感性程度依次降低；②螺旋角軸(Cb)0階參數的變化引起齒向方向修正(見e0,e1)，1階參數變化引起不同部位對角的校正(見e2,e3)；③各軸0階參數均較1階參數對齒面影響更大。圖4中某工況下優化設計的對角修形曲面(見圖4a~4b)，其中齒面劃分為9×15個點見(圖4c)，PSO優化后的解在50代后趨于穩定(圖4d)，CNC磨削后的修形曲面較為光滑(圖4e)，磨削最大誤差<2µm(圖4f)；各軸運動曲線接近直線(圖4g)，便于數控編程；與磨削理論齒面相比，對角修形各軸運動變化(圖4h)：①沿齒向方向：ΔCx、ΔCy、ΔCz基本趨于常數，這表明對角修形主要由其他3個軸完成加工；②ΔCa變化趨勢與圖3(d1,d2)一致，壓力角減小則齒面節圓至齒根部分被修去，壓力角增大則節圓至齒頂部分被修去；③同樣ΔCb變化趨勢與圖3(e2,e3)一致，表明靠近嚙入端螺旋角是逐漸減小的，主要修形部位為嚙入端，靠近嚙出端螺旋角是逐漸增大，主要修形部位為嚙出端；④ΔCc變化趨勢與圖3(f1,f2)一致，表明嚙入至嚙出過程中，實際展成角數值上總是超越理論展成角，則主要修形部位為嚙入、嚙出端；⑤|ΔCa|,|ΔCb|,|ΔCc|變化趨勢與修形量變化趨勢基本一致。表2為修形前后各軸運動方程，與修形前相比對應0階或1階系數有微小變化，起主要校正作用。

4結論

(1)設計對角修形曲線，計算齒面修形法矢量，通過3次B樣條擬合為對角修形曲面。(2)根據齒條展成漸開線齒面，建立平面砂輪磨削斜齒輪6軸聯動Free-Form型數控機磨齒模型，通過齒條與砂輪位矢等效轉換推導各軸運動關系。(3)建立漸開線圓柱齒輪齒面校正模型，分析各參數對齒面誤差的影響，表明Ca、Cc、Cz、Cy、Cx軸0階參數影響齒厚變化、1階參數引起齒廓與齒向方靠近齒根或齒頂不同程度校正，且校正敏感性程度依次降低；Cb軸0階參數變化引起齒向的線性校正、1階參數可引起齒面對角的校正。(4)建立磨削齒面的誤差模型，以齒面誤差平方和最小為目標函數，通過PSO優化方法，得到機床各軸運動參數，該方法計算結果穩定且精度較高；(5)沿齒向方向壓力角、螺旋角、展成角微調可分別實現一定的對角修形加工；6軸聯動平面砂輪磨削對角修形齒面時，有效降低了磨削誤差，沿齒向方向、徑向進給方向、齒厚進給方向的運動基本趨于常數，壓力角、螺旋角、展成角的變化規律與修形量變化規律基本一致；按照齒條展成漸開線齒輪原理分析壓力角、螺旋角、展成角沿齒向變化對齒面影響也可得到同樣結果。

作者：蔣進科方宗德賈海濤單位：西北工業大學機電學院中國船舶重工集團公司第703研究所