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1相空間重構(gòu)理論和延遲時間

一般認為，混沌就是一種低階確定性的非線性動力系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的復雜行為。從數(shù)學上講，對于確定的初始值，由動力系統(tǒng)就可以推知該系統(tǒng)的長期行為，甚至追溯其過去形態(tài)。

1．1相空間重構(gòu)理論相空間重構(gòu)是根據(jù)有限的數(shù)據(jù)來重構(gòu)吸引子，以研究系統(tǒng)動力行為的方法。其基本思想是:系統(tǒng)中任一分量的演化都是由與之相互作用的其他分量所決定的，這些分量的信息隱含在任一分量的發(fā)展過程中。上述定理簡而言之就是把具有混沌特性的時間序列重建為一種低階非線性動力學系統(tǒng)，通過相空間重構(gòu)，可以找出混沌吸引子在隱藏區(qū)的演化規(guī)律，使現(xiàn)有的數(shù)據(jù)納入某種可描述的框架之下，從而為時間序列的研究提供一種方法和思路。

1．2延遲時間的確定對于無限長的時間序列，可以任意選擇延遲時間τ，但實際時間序列一般是有限長的，因此在相空間重構(gòu)過程中τ值的選取很重要，筆者采用自相關(guān)函數(shù)法計算延遲時間，自相關(guān)系數(shù)定義。一般取自相關(guān)系數(shù)衰減到一個較小的值時所對應的τ值作為延遲時間，而這個較小值不能選擇太小，否則對應的時間延遲會很大。文獻［10］中給出了一個合理的經(jīng)驗值為1/e，約為0．4。根據(jù)采集到的交通噪聲時間序列，參照式(5)，得到采樣時間分別為20，40s時自相關(guān)系數(shù)，如圖2。由圖2可知，當延遲時間為τ=12s時，自相關(guān)系數(shù)衰減為0．4左右，因此選擇τ=12s為重構(gòu)交通噪聲系統(tǒng)的延遲時間。

2城市道路交通噪聲的混沌判定

2．1關(guān)聯(lián)維數(shù)關(guān)聯(lián)維數(shù)是判別吸引子類型以及復雜程度的表征量，它可以描述系統(tǒng)在整個變化中穩(wěn)定性和確定性的程度，同時也確定了描述系統(tǒng)所需獨立變量的個數(shù)。顯然，C2(r，m)是一個累計函數(shù)，它描述了吸引子上兩點距離小于r的概率，表明某點(參照點)距離小于r的相點的聚集程度，所以稱C2(r，m)為關(guān)聯(lián)函數(shù)。一般r的選取要保證0＜C2(r，m)＜1。考察C2(r，m)和r的關(guān)系，給定一個微量δ，用它來探測吸引子的結(jié)構(gòu)。如果吸引子是一維線性的，則與參照點相關(guān)聯(lián)的點數(shù)正比于r/δ，如果吸引子是二維的，則相關(guān)點數(shù)正比于(r/δ)2，依此類推。由式(11)可得，D2(m)是嵌入維數(shù)的函數(shù)，一般稱為關(guān)聯(lián)維數(shù)的估計值。在求解時，一般增加嵌入維數(shù)的值，求出不同嵌入維數(shù)下關(guān)聯(lián)維數(shù)的估計值，直到估計值不再隨嵌入維數(shù)的增大而改變?yōu)橹梗藭r的嵌入維數(shù)稱為飽和嵌入維數(shù)mc。這在lnC2(r，m)－lnr圖中表現(xiàn)為斜率不再發(fā)生變化，此時的斜率就是所要求的關(guān)聯(lián)維數(shù)D2=D2(mc)。如果估計值隨m的增長而增長，并不收斂于一個穩(wěn)定的值，則表明所考慮的系統(tǒng)是一個隨機時間序列。而關(guān)聯(lián)維數(shù)的存在表明系統(tǒng)具有混沌特性，并為相空間重構(gòu)中嵌入維數(shù)的選擇提供了依據(jù)。

2．2混沌特性的判定采樣時間為20s(360個噪聲值)時，利用前300個時間序列值作為訓練集來構(gòu)造初始相空間，余下的60個值(檢驗集)用于檢驗模型精度。將m值由1依次遞增至6，分別獲得lnC2(r，m)與lnr關(guān)系圖。限于篇幅，只列出m=6時二者的關(guān)系(圖3)。由圖3可知，當嵌入維數(shù)為6時，曲線的斜率接近不變，即關(guān)聯(lián)維數(shù)保持為5．34468E－08，從而可以確定20s采樣時間交通噪聲序列的飽和嵌入維數(shù)為6。在混沌預測時，一般選取飽和嵌入維數(shù)的1/2作為系統(tǒng)的嵌入維數(shù)(當飽和嵌入維數(shù)為奇數(shù)時，選取飽和嵌入維數(shù)1/2的下一位整數(shù)作為系統(tǒng)的嵌入維數(shù))，因此確定系統(tǒng)的嵌入維數(shù)為3。由此可判定，交通噪聲時間序列存在混沌現(xiàn)象。同理，采樣時間為40s時，交通噪聲時間序列的飽和嵌入維數(shù)也為6，系統(tǒng)的嵌入維數(shù)為3。

3城市道路交通噪聲的混沌預測

3．1混沌預測理論如果在重構(gòu)的相空間中，將交通噪聲時間序列由式(12)，如果能夠得到f(δ)，就可以對未來時刻的相空間點做出預測。在高維的相空間中，軌跡擬合較難，且非線性函數(shù)擬合誤差較大。局部預測是在N個狀態(tài)點中挑選出與預測點鄰近的k個點(X1，X2，…，Xk)對函數(shù)f(δ)局部擬合，這種擬合可以是線性的，也可以是非線性的。筆者采用線性回歸的方法進行局部擬合。擬合求得A，B后，通過X(j+1)=A+BX(j)得到相空間中軌跡的趨勢，從而求出交通噪聲時間序列中x(j+1+(m－1)τ)的預測值。

3．2交通噪聲的混沌預測根據(jù)計算結(jié)果，選擇重構(gòu)相空間的嵌入維數(shù)m=3，延遲時間τ=12，對20s采樣時間的交通噪聲時間序列進行相空間重構(gòu)，得到維數(shù)為3的相空間，其中相點個數(shù)k=N－(m－1)τ=276。對檢驗集中的60個點進行預測。假設(shè)當前的狀態(tài)點為X(270)，分別計算各點與X(270)的歐氏距離ρ=(X(270)－X(i))(0＜i＜276)，近鄰相點數(shù)p選擇5。經(jīng)過計算，最近鄰相點分別為X(5)，X(32)，X(133)，X(172)，X(204)。由圖4，實際值和預測值相差不大，城市道路交通噪聲時間序列混沌預測結(jié)果平均相對誤差為8．56%，精度較高。同理，對于40s采樣時間的交通噪聲時間序列進行混沌預測，平均相對誤差為9．33%。

4結(jié)語

城市道路交通噪聲與多因素相關(guān)，筆者采集了交通噪聲時間序列值，應用相空間重構(gòu)理論獲得了關(guān)聯(lián)維數(shù)和嵌入維數(shù)，證明了噪聲序列具有混沌特性。最后利用混沌模型對短時城市道路交通噪聲進行預測和比對，預測精度較高。城市道路交通噪聲的混沌行為是否存在與采樣時間關(guān)系不大，但與混沌預測的精度有關(guān)。隨著樣本量的增加，相空間中相點的密度相應增加，近鄰相點的選擇會更加合理，預測精度也會提高。

作者：張文會羅文文李卓徐慧智單位：東北林業(yè)大學交通學院北京交通運輸職業(yè)學院汽車工程系