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1理論模型

兩自由度阻尼器抑制單自由度主結構原理如圖1所示，其中主結構質量為m0，阻尼器質量為md，轉動慣量為Jd=mdρ2（ρ為平均矢徑）。假定阻尼器截面形狀為矩形，密度均勻分布，通過兩個位置對稱的彈簧-阻尼單元安裝在主結構上。因此主結構與阻尼器組成一個三自由度的系統，其動力學方程為。在上述模型的基礎上，可利用Matlab計算出阻尼器取不同參數時主結構振動的頻響函數及沖擊激勵下的時間響應，以此作為下文數值尋優的目標。

2仿真與優化

依據H∞、H2和最大穩定三種優化準則，針對單自由度、兩自由度、兩重及三重阻尼器，分別進行參數優化。H∞優化目標是將主結構振動幅值A的最大值Amax（無量綱）降至最小，一般適用于主結構受簡諧激勵力的情況。最大穩定優化的目標是使主結構最快達到穩定狀態，從控制理論的角度，即要求頻響函數極點在復平面內到實軸的最短距離Λ達到最大，一般適用于主結構受沖擊激勵的情況。依據上述三種優化準則，對阻尼器的抑振性能進行對比分析，數值尋優過程利用Matlab的優化函數fminimax完成。為簡化仿真過程，定義無量綱量如表1所示。分析過程假定μ=0.05，ζ0=0，為避免贅述，阻尼器類型分別用以下編號表示：Ⅰ——單自由度阻尼器；Ⅱ——兩自由度阻尼器；Ⅲ——兩重單自由度阻尼器；Ⅳ——三重單自由度阻尼器。各阻尼器在三種準則下的優化結果如表2和圖2所示。圖2a中，主結構附加Ⅱ型阻尼器之后頻響函數的最大幅值Amax最低，抑振效果最好。相比而言，Ⅳ型阻尼器高出1%，Ⅲ型阻尼器高出6.7%，而Ⅰ型阻尼器高出19.7%，是抑振效果最差的情況。圖2b中，Ⅳ型阻尼器和Ⅱ型阻尼器的目標函數值I較接近，而I型阻尼器的目標函數I值高出11.5%，III型阻尼器高出2.4%。因此兩自由度阻尼器抑制隨機振動的性能較好，與三重單自由度阻尼器接近。圖2c中，Ⅱ型阻尼器目標函數值Λ最大，表明系統相對最穩定，而I、Ⅲ、Ⅳ型阻尼器的Λ分別降低了16.8%、12.9%、14.5%。因此在沖擊激勵作用下，兩自由度阻尼器能在最短時間內將主結構振動降至平穩范圍內，具有很好的穩定性。綜合以上，在相同質量比的條件下，兩自由度阻尼器整體性能優于其他類型阻尼器。具體到數控銑削加工，由于工件在切削過程中受到周期性的切削力激勵，激勵頻率為刀齒切削頻率，因此采用H∞優化準則對兩自由度阻尼器進行優化時效果最優。

3兩自由度阻尼器設計及分析

根據物理模型（如圖1），設計了如圖3a所示的兩自由度阻尼器，包括質量塊、薄板、摩擦盤、螺栓及支架等。其中，質量塊及支架材料為不銹鋼，薄板材料為鋁合金，摩擦盤材料為石棉。鋁合金薄板剛性較弱，可作為彈性元件；振動過程中摩擦盤與質量塊間產生摩擦力，可提供阻尼；剛度與阻尼的大小均可通過相應的螺栓螺母來調整。支架底部有通孔，可以用螺釘固定在主結構上。阻尼器主要部件的尺寸如表3所示。圖3b為隱藏質量塊后單個支架上各部件的結構圖：薄板兩端通過螺釘固定在支架上，上下兩側通過滑塊與質量塊壓緊，長螺栓貫穿三者并由螺母固定。因此，通過改變滑塊在薄板上的位置，即可改變薄板與質量塊的有效壓緊長度L，從而使等效剛度發生變化。該阻尼器可通過螺釘或膠粘固定在工件支撐結構上，安裝、調試方便，對具備單模態或分散模態的工件抑振效果明顯。但作為被動阻尼器的一種，兩自由度阻尼器抑振頻帶雖優于其它類型的阻尼器，但在抑制具備密集模態的工件時效果有限。

3.1剛度變化規律分析如前所述，阻尼器剛度由薄板提供，通過有限元軟件對單個支架上薄板剛度調節過程進行仿真。通過多次改變L并計算薄板剛度，可得兩者之間的關系，如圖4所示。隨著L的增加，薄板剛度不斷增加且增幅略有上漲；但在小區間內，可以近似地認為剛度與L成線性關系。

3.2固有頻率變化規律分析在阻尼器的參數調節過程中，由于固有頻率與剛度有一定的對應關系，且更易觀察與測量，一般通過調整其固有頻率來達到最優剛度。兩自由度阻尼器物理模型比單自由度阻尼器復雜，因此固有頻率與剛度的關系也有所不同。通過建立兩自由度阻尼器動力學方程，并經過拉氏變換，可以得到其自由振動的特征方程為。根據表3中的尺寸參數，可知阻尼器質量塊質量為md=0.246kg，矢徑比a3/2，因此固有頻率完全由剛度k1和、k2決定，其變化關系如圖5所示。根據圖4，k1和k2變化區間為[2.74×104N/m，6.09×104N/m]，為使結果更加直觀，圖5(a中k1取最小值，k2變化；而圖5b中k2取最大值，k1變化。由圖5可知，當k1保持不變，k2逐漸增加時，ω1基本不變，ω2隨k2增加且趨勢基本為線性；類似的，當k2保持不變，k1逐漸增加時，ω2基本不變，而ω1隨k1近似線性增加。此規律能夠應用到阻尼器參數調節過程中。

3.3阻尼器設計驗證兩自由度阻尼器兩端各有一個剛度調節模塊，剛度值k1、k2可通過改變對應的L1和L2來進行調節，且兩者互相獨立，因此可以保證阻尼器固有頻率的連續變化。結合圖4與式(6)，可用解析方法得到阻尼器固有頻率ω1、ω2隨L1、L2變化的關系；而通過有限元方法對阻尼器整體結構進行動力學仿真，也可以求出不同L1、L2下的ω1、ω2。選取若干組L1、L2組合，分別用解析法及有限元法計算ω1、ω2，結果對比(如表4)表明兩種方法算出的固有頻率較接近，說明此種結構方案與理論模型較吻合。

4切削實驗

按照圖3及表3設計兩自由度阻尼器，并安裝于“工字型”工裝的側壁（如圖6）。工件與工裝用螺栓固定，為待抑振結構，通過錘擊試驗獲取其動力學參數如表5所示。加工過程中，測試安裝阻尼器前后的切削振動信號，以驗證阻尼器的抑振效果。切削加工過程中，在不同條件下，工件振動形式有所不同：當刀齒切削頻率f在工件及工裝組合體的固有頻率附近時，受迫振動最明顯，即共振；當f在顫振頻率附近時，則發生顫振，二者均對加工過程有較大危害。為使阻尼器在兩種振動情況下均有抑制作用，選取H∞準則對其參數進行優化。根據第2章數值優化獲得的阻尼器無量綱最優參數，并結合表5的主結構參數，得到優化后的阻尼器最優頻率為ω1=89.3Hz、ω2=106.7Hz。根據表4有限元仿真結果，取L1=13mm、L2=15mm，考慮到阻尼器制造安裝中的誤差，在此基礎上進行微調，直至阻尼器達到最優的抑振效果。由理論計算得到在轉速n=4000r/min時，工件易發生顫振，在n=3000r/min時，易發生共振。因此分別在兩種轉速下切削工件，對比安裝阻尼器前后切削振動的信號如圖7所示，其中切深ap=1mm，切寬ae=3mm，每齒進給量fz=0.1mm。實驗結果表明兩自由度阻尼器對加工中的顫振(如圖7(a)與共振(如圖7b)均有明顯的抑制作用，能分別將振動幅度降低34.7%和56.4%。

5結束語

本文根據H∞、H2和最大穩定優化準則，采用數值方法分別研究對比了單自由度、兩自由度、兩重及三重阻尼器的抑振性能。提出了參數可調的兩自由度阻尼器結構設計方案，并將其應用于數控銑削中。得出結論如下：（1）通過對比H∞、H2和最大穩定三種優化準則下四類被動阻尼器的最優目標函數，表明兩自由度阻尼器抑振性能最佳；（2）就本文所設計的兩自由度阻尼器而言，其薄板剛度與有效接觸度L、阻尼器固有頻率與薄板剛度之間均具有接近線性的變化關系；（3）采用解析法與有限元法可分別計算出不同L1、L2組合下阻尼器的固有頻率ω1、ω2，且兩種方法的計算結果相近，表明理論建模準確；（4）切削實驗表明，兩自由度阻尼器抑振效果明顯，以顫振和共振切削為例，振動幅度分別降低了34.7%和56.4%。

作者：楊毅青代巍單位：北京航空航天大學機械工程及自動化學院