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第1篇

關鍵詞：Archimedean Copula；金融市場；尾部相關性

隨著各國金融市場的進一步開放，金融市場相依性的研究受到越來越多的重視。Copula（拉丁語中“連接”的意思）函數，是把多維隨機變量的聯合分布用其一維邊際分布連接起來的函數。A.Sklar在研究概率度量空間中首次提出了Copula函數，此后Nelson、Joe等進一步發展了Copula理論。Copula的應用以及滲透到了金融中的各個領域。而Archimedean Copula是最為常見的一Copula，其良好的性質（對稱性、可結合性等）使之成為金融研究，特別是尾部相關性分析的重要工具。尾部相關性刻劃的是當小概率事件發生時變量之間的相關性，在某種程度上與蝴蝶效應有一定的相似性。尾部相關性強，則變量間共同發生極端事件的概率大。以股市為例，若各支股票的尾部相關性較強，那么其中一支股票的猛漲或暴跌就極有可能導致整個股市的巨大震蕩。

（一）預備知識簡介

Archimedean Copula是最為常見的一Copula，其自身的良好性質（對稱性、可結合性等）使之成為金融研究的重要工具。而常見的Copula有Ali-Mikhail-Haq Copula、Clayton Copula、Frank Copula、Gumble Copula、Joe Copula等。這些Copula各有特點，因此在刻劃尾部相關性時也有不同的作用。

Ali-Mikhail-Haq Copula的優勢在于能夠較好的刻畫變量間同向變化的相關性特征，即可以描述正相關和負相關的隨機變量；Clayton Copula僅適用于描述正相關的隨機變量，它具有的是下尾相關的性質，因此對變量在分布下尾部的變化十分敏感，能夠敏銳地捕捉到下尾相關的變化，能夠較好刻劃兩個金融市場收益同時下跌時的情形；Gumbel Copula和Joe Copula與Clayton Copula正好相反，具有的是上尾相關性，適合描述兩個金融市場收益同時上漲的情形；Frank Copula可以擬合上尾、下尾相關，適于兩個收益波動相同的金融市場之間尾部相關性的描述，但對稱性使其在研究隨機變量間的非對稱關系上無能為力。

（三）總結

尾部相關性研究的是兩個變量的聯合極值運動，即當一個變量大幅度增減時，另一個變量也同向運動的概率。而Copula是研究尾部相關性的重要工具。Archimedean Copula作為一種性質良好的Copula函數已經在這方面有了廣泛的應用。從文中的介紹我們也看到由于不同Copula具有不同特點，因此針對不同的金融市場等研究對象就應該選擇相對應的Copula來描述。單一種類Copula只能刻劃相關性的某個方面。不過由于通常情況下兩個（或多個）Copula的凸組合依然是Copula，因此存在著形式更多靈活功能更為強大的混合Copula，可以更為全面地刻劃金融市場的尾部相關性。（作者單位：廈門華廈職業學院）

參考文獻

[1]Schweizer.B.，Sklar，A. Probabilistic Metric Spaces[M]. New York/North-Holland： Elsevier， 1983.

[2]Fischer，M.，Klein，I.. Some results on weak and strong tail dependence coefficients for means of copulas[J]. Lehrstuhl für Statistik und konometrie， 2007.

[3]LIU Weiwei，GUO Tiexin. Methods for constructing Archimedean Copula functions[J]. 中國科技論文在線精品論文，2010，3（1）：87-91.

第2篇

【關鍵詞】POT；APARCH-M；動態風險；杠桿效應

近年來，由美國次貸危機引發的金融危機使得各國金融市場產生大幅波動，讓人們廣泛意識到對金融機構等實施金融風險管理的重要性。因此，對金融市場極端情形下的損失風險的估計和預測是研究者和各投資者關注的焦點。VaR(Value at Risk)技術正是這樣一種定量工具，目前已受到業界的廣泛認可，為全球金融市場、電力市場及石油市場廣泛采用[1-2]。但是VaR只是市場處于正常變動下市場風險的有效測度，它不能處理金融市場處于極端價格變動的情形，如股市崩盤等，并且它自身不是一致性風險度量工具[3]。而ES(Expected Shortfall)是度量損失超過VaR的期望損失，能較好度量極端風險，并且它是一致性風險度量[3-4]，于是論文將ES作為VaR的一個補充。在傳統的風險度量模型中一般考慮的是整個收益率的分布，常用正態分布、t分布、混合正態分布、Laplace分布等來描述。而極值理論(Extreme Value Theory)描述的是分布的尾部行為，故而近年來熱衷于將極值用于風險度量研究中[2-7]。

目前，國內外對極值的研究主要集中在條件極值的風險度量和應用上[3-7]。條件極值模型主要是將極值理論中的POT(Peaks Over Threshold)模型與波動模型結合。在國內，極值理論的研究起步較晚，但發展迅速，余力[5]和陳守東[6]等的研究結果表明動態VaR比靜態VaR度量更準確；但上述文獻中都沒考慮金融資產收益率波動的杠桿效應，即非對稱性。林宇[7]則通過非對稱波動模型與極值模型結合度量風險，測試結果較準確。但他們的研究都忽略了金融資產收益中包含了對風險的補償，即金融資產收益率與資產風險具有密切的關系。為了反映出這種關系，Engle等1987年提出了GARCH-M模型[9]。陳澤中[9]將GARCH-M模型和EGARCH模型結合起來，分析了我國股市波動的特點。實證結果表明，我國股市存在明顯的杠桿效應，且收益率與波動性存在顯著的正相關關系。

為了更準確地度量金融市場風險，論文采用更一般的APARCH模型來描述收益率序列的波動，并充分考慮了金融市場的收益率與風險的正相關關系。將極值理論中的POT模型與APARCH-M模型結合，提出了基于POT-APARCH-M的風險度量模型。

1.APARCH-M模型與極值理論中的POT模型

1.1 APARCH-M模型

在針對金融時間序列波動性的建模中，Bollerslev在ARCH模型的基礎上提出了廣義自回歸條件異方差模型，這正是我們目前研究比較多的GARCH模型。GARCH模型是ARCH模型的重要擴展，然而GARCH模型并不能完全反映金融市場波動的特征，特別是其中的杠桿效應。于是Ding，Granger和Engle在1993提出了一個非對稱的GARCH模型，即APARCH(asymmetric power ARCH)模型[11]。該模型是個歸納性較強的模型，它將多種ARCH模型和GARCH模型作為其特例，其中包括了TS-GARCH模型，GJR-GARCH模型，Log-GARCH模型，TARCH模型，NARCH模型等[10]。APARCH模型不僅包含了一般GARCH模型的特點，而且還可以捕捉金融市場的杠桿效應。設是股票每日價格的對數收益率序列，滿足嚴格平穩性，且服從APARCH(p,q)過程，則可以由下式表達：

(1)式為均值方程，其中為條件均值，為殘差；(2)式中的為條件方差，為標準化殘差，是服從均值為0，方差為1的獨立同分布序列；(3)式為波動方程，其中參數，，，，，，反映沖擊的杠桿效應。

由于金融資產風險的變化對收益的影響，高的收益往往伴隨著高的風險，即是資產的收益率會依賴于它的波動。為刻畫這種現象，1987年，Engle、Lilien和Robins提出了GARCH-M模型，其中“M”表示收益率的條件均值為GARCH[8]。此時，條件均值可以表示為：

上式中的和為常數，參數叫做風險溢價參數，為正值意味著收益率與它的波動正相關。

于是將(4)式代入到(1)式中，就可以得到APARCH-M模型，即

3.算例分析

3.1 模型參數估計及動態VaR和ES估計

論文選取深證綜合指數從2003年12月10日到2011年1月20日的每日收盤價，共1729個數據。取2003年12月10日到2010年1月7日的每日收盤價共1479個數據，用來估計模型的參數；2010年1月8日以后共250個數據用來后驗測試。數據來源于大智慧股票軟件。深證綜指的日損失序列定義為，其中為時收盤價。論文所有的數據處理和分析都在Eviews5.0和R軟件下進行的。

通過Eviews5.0軟件計算得到損失序列的基本統計特征見表1，括號內為p值。

從表1中可以看出該損失序列尖峰厚尾，且不對稱，呈現右偏情形；單位根ADF檢驗結果表明在1%的置信水平下該序列不存在單位根，即損失序列是平穩的；Ljung-Box統計量Q(5)、Q(10)表明該序列有一定的自相關性，Q2(5)、Q2(10)表明損失序列的平方自相關，從而該損失序列具有很強的ARCH效應。根據前面的分析使用APARCH(1,1)-M-t模型對深證綜指樣本內損失序列建模，并用最大似然估計對參數進行估計，估計結果見表2。

模型擬合后，對其殘差進行ARCH檢驗，其檢驗統計量LM(6)的p值為0.99，從而可以判定殘差沒有異方差性。標準化后的殘差序列均值幾乎為0，方差也十分接近于1，基本可以看成是標準殘差序列。然后對其進行相關性檢驗，Q(5)=24.301(0)，從而可以認為其是獨立序列。標準化后的殘差序列的閾值，MEF(超額均值函數)確定如下圖1所示。從圖1中可以看出閾值在1.8左右，然后結合McNeil和Frey對比Hill方法、歷史模擬法等方法，發現選擇5%左右的極值數據使用GPD估計效果較好，于是閾值可以確定為1.806，接下來對超過閾值的部分進行GPD擬合，結果如圖2所示。從圖上看出擬合效果相當好，并且作出其QQ分位圖，如下圖3所示。于是可以用GPD分布對極值建模，參數估計結果為，。

3.2 模型檢驗

為了考察風險度量模型的預測效果，常采用Kupiec的失敗次數檢驗方法。其基本思想是：在置信水平為P的條件下，在第t日估計出第t+1日的風險值和，對于第t+1日的實際損失，如果估計出的，那么就認為風險估計值在第t+1日是失敗的，并計數一次。最后將失敗次數比上考察的總次數得到失敗率。對于ES的估計也是采用同樣的方法。如果失敗率遠大于，則認為是低估了風險，反之則是高估了風險。只有失敗率接近，風險度量方法才被認為相對可靠。論文還將此模型檢驗結果與EGARCH-M-POT模型，APARCH-POT模型檢驗結果進行了對比，從而可以看出此模型的優越性。

從上表2深證綜指的后驗測試結果可以看出，在99%置信水平下，這三種模型預測的效果是一樣的，但在97%置信水平下，基于POT-APARCH-M和POT-EGARCH-M模型預測效果是一樣地優于基于POT-APARCH的，從而表明了考慮收益與風險正相關對于金融市場風險的度量更加合理。在95%的置信水平下，基于POT-APARCH-M模型預測的效果是最好的，因為它是失敗率是最接近5%，從而表明考慮更一般的APARCH模型來描述收益率的波動比EGARCH更合理。而通過計算ES的失敗率結果在高置信水平下，ES的失敗率都為零，從而表明ES相比VaR是更為保守的風險度量。

4.結論

論文建立了基于極值理論的POT-APARCH-M-t的動態風險度量模型，用來度量金融市場風險。在描述金融市場波動特征時，采用更一般的APARCH模型。結果表明它比EGARCH模型更優越。在金融市場中往往高的收益伴隨著高的風險，即收益與風險是負相關的，從而將APARCH模型與GARCH-M結合。經過深證綜指風險度量結果表明損失與風險是負相關的，并且更準確地度量風險。而在度量空頭風險時，通過檢驗表明，在高置信水平下，ES過于保守，從而可以看出收益率的右尾較薄。論文只是對收益率分布上尾極端風險進行了度量，當然還可以對下尾極端風險進行度量，論文在閾值選取時，帶有一定的主觀性，閾值準確的選擇方法一直是現在要解決的問題。

參考文獻

[1]王春峰.金融市場風險管理[M].天津:天津大學出版社,1999.

[2]Bekiros S.D.,Georgoutsos D.A.Estimation of Val-ue-at-Risk by extreme value and conventional method:a comparative evaluation of their predictive performa-nce[J].Int.Fin.Markets,Inst.and Money,2005(15):209-228.

[3]Artzner P.,Delbaen,Eber J.M.,and Heath D.Coher-ent Measures of Risk[J].Mathematical Finance,1999(9):203-228.

[4]Bhattacharyya M.,Ritolia Conditional VaR using EVT-Towards a planned margin scheme[J].Internatio-nal Review of Financial Analysis,2008(17):382-395.

[5]余力,張勇.應用極值分布理論的VaR和CVaR估計[J].求索,2010(4):64-66.

[6]陳守東,孔繁利,胡錚洋.基于極值分布理論的VaR與ES度量[J].數量經濟技術研究,2007(3):118-124.

[7]林宇,魏宇,黃登仕.基于GJR模型的EVT動態風險測度研究[J].系統工程學報,2008,23(1):45-51.

[8]Ruey S.Tsay.金融時間序列分析[M].北京:人民郵電出版社,2009.

[9]陳澤忠,楊啟智,胡金泉.中國股票市場的波動性研究――EGARCH-M模型的應用[J].決策借鑒,2000,13(5):24-27.

[10]張世英,樊智.協整理論與波動模型[M].北京:清華大學出版社,2009.

第3篇

關鍵詞： 混沌；lyapunov指數；重構相空間；wolf方法

一、引言

金融市場本質上是一個開放型的復雜系統，而金融危機是金融市場混沌特征的一種表現，其爆發根本原因在于以有效市場、隨機游走與理性投資等線性范式假設為前提的，并且認為金融市場所呈現出來的特征是各個部分特征的簡單相加；另一方面，這些方法采用的是靜態均衡的觀點去解決金融市場問題，因而當市場的外部環境發生變化時，先前制定的解決方法極有可能成為解決問題的阻礙[1]。因此，經典金融學理論在認識金融市場的本質規律、提供有效的風險控制方法的思路存在許多局限性。

因此，要想從根本上解決這個問題，我們要首先認識到金融市場本身作為一個“復雜系統”，它具有一種演化特征的非線性的方式對外界的作用做出反應。因而，金融市場會隨著時間的演化而改變自身的發展規律。隨著外部環境的不斷變化，金融市場將會從一個穩定而有序的模式逐漸的陷入混沌之中，然后通過內部的相互作用達到平衡或者是產生金融危機。

因此，單刀直入的直接研究金融市場的非線性特征往往會為解決根本問題提供思路。因此，這篇論文的主要目的就在于，通過研究金融市場的一個指標――上證指數，利用lyapunov指數來判斷金融市場本身是否具有混沌的特性。如果其具有這樣的一種特性，那么我們必須從這方面著手，研究金融市場的混沌特征。從而找到金融市場的內部規律。

（一）研究方法

要想研究金融市場的混沌特性，我們以股票市場為例，選取了上證指數作為研究混沌現象的指標，利用lyapunov指數來判斷指標是否具有混沌的特征。本文首先表述了混沌時間序列分析的主要研究方法：重構相空間的方法，這種方法能夠重構高維相空間中的混沌吸引子，構造完成之后，我們就可以恢復時間序列數據的非線性特征。重構相空間需要知道時間序列數據的嵌入維數與延遲時間，我們分別利用了自相關函數法計算出序列的延遲時間以及利用Cao方法計算出時間序列的嵌入維數。利用構造好之后的相空間，我們就可以求得時間序列的lyapunov指數，根據lyapunov指數的大小判斷上證指數的波動性是否具有混沌的特征。

二、理論依據

（一）重構相空間

為了恢復“混沌吸引子”，我們需要做的第一件是是“重構相空間”。所謂“混沌吸引子”，本身指的就是混沌系統具有某種規律性，它既不向一點靠近，也不遠離這一點，而是在一定的軌道內變化。該混沌系統的一部分的演化過程與其他部分有著密切的聯系。每一部分的信息都包含在另一部分的發展之中。這樣，我們就可以從某一部分的時間序列數據中得到并模擬該混沌系統的規律。可以這樣說，一個混沌系統的軌道經過一定時間的變動，最終會產生一種有規則的軌道，這也就是“混沌吸引子”。但是這種軌道在轉化成時間序列時表現出一種復雜并且混亂的特征。因為混沌系統的各個部分之間是相互影響的，在時間序列上產生的數據也具有相關性的特征。[2] 我們利用Packad等人的坐標延遲相空間重構法，對于一維時間序列[WTBX]

{x（t）}，t=1，2，…，N可以構造m維的向量

Xn={x（n），x（n+τ），…，x（n+（m-1）τ）}，

n=1，2，…，N-m-1）τ

其中：m為嵌入維數，τ為延遲時間。相空間重構的關鍵在于嵌入維數與延遲時間的確定。Takens定理[3]表明：我們可以從一個一維混沌時間序列中模擬一個與原來的動力系統在拓撲意義下相同的相空間，這樣就可以模擬時間序列的規律。混沌時間序列的性質各方面的分析都是基于相空間重構之上的，因此，相空間重構是混沌時間序列研究的關鍵。[4]下面我們將討論延遲時間與嵌入維數的確定方法 。

1延遲時間τ

延遲時間的選擇關鍵在于使x（n）與x（n+τ）表現出獨立性，但又不能使其在統計學角度上完全不相關。確定延遲時間的方法主要有：自相關函數法與互信息法。下面我們主要闡述的是自相關函數法，因為我們后面也會用到這種方法。

自相關函數法[5]主要考察觀測量x（n）與x（n+τ）與平均觀測量的差之間的線性相關性。其定義用數學方法表示為：

C（τ）=[SX（]1/N∑Nn=1（x（x+τ）-x[TX-]）（x（n）-x[TX-]）[]

1/N∑Nn=1（x（n）-x[TX-]）2

[SX）]