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第1篇

【關(guān)鍵詞】 群體決策； 多目標(biāo)優(yōu)化 ； 聯(lián)合有效解；最優(yōu)性條件

【中圖分類(lèi)號(hào)】O221 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

引 言

設(shè)有決策群體G={DM1，DM2，…，DMl}，其中DMr是第rr=1，…，l，l≥2個(gè)決策者.考慮群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（GMP）：

G-V-minx∈Xf1（x），…，V-minx∈Xfl（x），（GMP）

其中XRn是供選方案集，fr：XRmrmr≥2是DMr（r=1，…，l）的向量目標(biāo)函數(shù).

記群體目標(biāo)函數(shù)為fG=f1，…，fl，第r個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題V-minx∈Xfr（x）的有效解集和弱有效解集分別為E（fr，X）和Ew（fr，X），（r=1，…，l）.

由文獻(xiàn)[1]群體多目標(biāo)優(yōu)化（GMP）關(guān)于x∈X的有效數(shù)和弱有效數(shù)的定義可知，每個(gè)決策者對(duì)同一個(gè)方案所起的作用是相同的，即對(duì)同一個(gè)方案，每個(gè)決策者的偏愛(ài)是相同的.但是在現(xiàn)實(shí)世界中，每個(gè)決策者的偏愛(ài)是不可能一致的.對(duì)于同一個(gè)方案，每個(gè)決策者根據(jù)他們自己的經(jīng)驗(yàn)、所接受教育的程度、對(duì)方案的了解深度、個(gè)人所研究的方向等不同，對(duì)同一個(gè)方案所起決定作用或重要性是不同的.因此，本文假設(shè)各個(gè)決策者對(duì)同一個(gè)方案的作用或重要性已排好序（第一個(gè)決策者的作用最大，第二個(gè)次之，依次下去），即按照作用的大小已經(jīng)排序.從而相當(dāng)于對(duì)于不同的決策者，都有相應(yīng)的權(quán)序.記這個(gè)權(quán)序?yàn)镠.

在這個(gè)假設(shè)條件下，我們來(lái)定義群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題權(quán)序α度聯(lián)合（弱）有效解.

一、基本概念

設(shè)共有l(wèi)個(gè)決策者，且這l個(gè)決策者已經(jīng)排好序.并把他們分成兩組，把決策作用大的l/3個(gè)人分到第一組，其余的l-l/3個(gè)人分到第二組.

根據(jù)上述的分組方案給出以下定義：

是群體多目標(biāo)問(wèn)題（GMP）關(guān)于x的權(quán)序弱滿意度.

定義1.3 設(shè)α∈[0，1]，x～∈X，μHx～和μHwx～分別是群體多目標(biāo)問(wèn)題（GMP）關(guān)于x～的權(quán)序滿意度和權(quán)序弱滿意度.

（1）若μHx～≥α，則稱(chēng)x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（GMP）的權(quán)序α度聯(lián)合有效解，其解集記作EHα（fG，X）.

（2）若μHwx～≥α，則稱(chēng)x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（GMP）的權(quán)序α度聯(lián)合弱有效解，其解集記作EHαw（fG，X）.

由定義1.3易知，如果X是凸集，fr：XRmr（r=1，…，l）是嚴(yán)格凸向量函數(shù)，則有EHα（fG，X）=EHαw（fG，X）.

定義1.4 設(shè)X≠φ，x∈X，

（1）若μH（x～）=1，則稱(chēng)x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（GMP）的群體一致聯(lián)合有效解.

（2）若μHw（x～）=1，則稱(chēng)x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（GMP）的群體一致聯(lián)合弱有效解.

定義1.5 設(shè)X≠φ，x∈X，α～=0.5，

（1）若μHx～≥0.5，則稱(chēng)x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（GMP）的可接受聯(lián)合有效解，其解集記作EHα～（fG，X）.

（2）若μHwx～≥0.5，則稱(chēng)x～是群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（GMP）的可接受聯(lián)合弱有效解，其解集記作EHα～w（fG，X）.

二、結(jié) 論

本文定義了群體多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的權(quán)序α度聯(lián)合有效解和權(quán)序α度聯(lián)合弱有效解這一新的概念.今后還將給出解的最優(yōu)性條件和解的算法等.

第2篇

0 引言

生活中，許多問(wèn)題都是由相互沖突和影響的多個(gè)目標(biāo)組成。人們會(huì)經(jīng)常遇到使多個(gè)目標(biāo)在給定區(qū)域同時(shí)盡可能最佳的優(yōu)化問(wèn)題，也就是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化問(wèn)題存在的目標(biāo)超過(guò)一個(gè)并需要同時(shí)處理，就成為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題在工程應(yīng)用等現(xiàn)實(shí)生活中非常普遍并且處于非常重要的地位，這些實(shí)際問(wèn)題通常非常復(fù)雜、困難，是主要研究領(lǐng)域之一。自20世紀(jì)60年代早期以來(lái)，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題吸收了越來(lái)越多不同背景研究人員的注意力，因此，解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題具有非常重要的科研價(jià)值和實(shí)際意義

1 普通多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

普通多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題也稱(chēng)為向量數(shù)學(xué)規(guī)劃。對(duì)設(shè)計(jì)者或決策者而言，普通多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題幾個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)可能存在重要性的差別，但是不存在優(yōu)先權(quán)的差別。

比如，欲把直徑為d的圓木加工成矩形截面的梁，如何設(shè)計(jì)其截面尺寸，使其強(qiáng)度大且重量輕？

分析研究：設(shè)截面的寬和高分別為 。由于其強(qiáng)度取決于截面的慣性矩 ，其重量取決于截面面積 ，因此該問(wèn)題可看作是兩個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題：

該數(shù)學(xué)模型就可歸結(jié)為一個(gè)普通多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：

在這個(gè)問(wèn)題中，梁的強(qiáng)度大可能與重量輕同等重要，也可能比重量輕更重要。但是在把它作為普通多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解的時(shí)候，并不因強(qiáng)度大比重量輕更重要，而先考慮強(qiáng)度指標(biāo)后考慮重量指標(biāo)。 的極小化將同時(shí)進(jìn)行。

2 目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題

目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題與普通多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的不同之處在于：它雖然有多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)，但是每個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)并不是使目標(biāo)函數(shù)極小化，而是使每個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)逼近各自的預(yù)定目標(biāo)值。

比如，某工廠生產(chǎn)n種產(chǎn)品，第i種產(chǎn)品的生產(chǎn)能力為ai噸/小時(shí)，其利潤(rùn)為ci元/噸，預(yù)測(cè)第i種產(chǎn)品下月的最大銷(xiāo)售量為bi噸。該工廠下月的工時(shí)能力為t小時(shí)。在避免開(kāi)工不足的條件下，如何安排下月計(jì)劃才能使：1）工廠所獲利潤(rùn)最大；2）員工加班時(shí)間盡量少；3）盡可能多地滿足市場(chǎng)對(duì)第1種產(chǎn)品的需求？

分析研究：設(shè)下月計(jì)劃用xi小時(shí)生產(chǎn)第i種產(chǎn)品，并用 三個(gè)函數(shù)分別表示工廠所獲利潤(rùn)、員工的加班時(shí)間以及第1種產(chǎn)品的產(chǎn)量，該問(wèn)題就可看作是三個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題：

假設(shè)此例的問(wèn)題對(duì)工廠利潤(rùn)、加班時(shí)間以及第一種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別有預(yù)定的目標(biāo)值 ，該問(wèn)題就歸結(jié)為下列目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題與普通多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題也有相同之處，它們都有多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)，各個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)可能存在重要性的差別，但是不存在優(yōu)先的差別。

3 分層多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

分層多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題與上述兩種多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的不同之處在于：它的幾個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)不僅可能存在重要性的差別，而且存在優(yōu)先權(quán)的差別。也就是說(shuō)，設(shè)計(jì)者優(yōu)先考慮某些設(shè)計(jì)目標(biāo)，在這些設(shè)計(jì)目標(biāo)已經(jīng)達(dá)到的前提下，才考慮其它設(shè)計(jì)目標(biāo)。這類(lèi)問(wèn)題的設(shè)計(jì)目標(biāo)被分成不同的優(yōu)先層次，在對(duì)它求解的時(shí)候，先對(duì)優(yōu)先層次較高的設(shè)計(jì)目標(biāo)求解，后對(duì)優(yōu)先層次較低的設(shè)計(jì)目標(biāo)求解。

假設(shè)m個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)被分成L個(gè)優(yōu)先層次，各層次的目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)依次為 。如果以各層次的目標(biāo)函數(shù)作為該層次的向量目標(biāo)函數(shù)

的分量，即

第一優(yōu)先層次：

第二優(yōu)先層次：

……

第L優(yōu)先層次：

那么分層多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為

式（3）可被縮寫(xiě)為更簡(jiǎn)潔的形式：

在第二個(gè)問(wèn)題中，假設(shè)計(jì)劃制定者在首先考慮工廠如何獲得最大利潤(rùn)之后，才去考慮減少加班時(shí)間和增加第一種產(chǎn)品產(chǎn)量，該問(wèn)題就是一個(gè)具有兩個(gè)優(yōu)先層次的分層多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：

4 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解

求解優(yōu)化問(wèn)題的目的是為了獲得最優(yōu)解，然而多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題有多個(gè)不同的設(shè)計(jì)目標(biāo)，設(shè)計(jì)目標(biāo)之間可能發(fā)生沖突，這時(shí)一個(gè)可行解對(duì)某一個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)是最優(yōu)的，對(duì)另外的設(shè)計(jì)目標(biāo)卻不是最優(yōu)的，這就造成多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解概念的復(fù)雜化。

第3篇

1、多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題概述

多目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)的思想起初由法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家V.帕雷托提出，他由政治經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度將不可比較的多個(gè)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)的最優(yōu)問(wèn)題，涉及到了多目標(biāo)規(guī)劃的概念。上世紀(jì)40年代末，J?馮?諾伊曼和O?莫根施特恩又基于對(duì)策論又提出了在多個(gè)決策人相互矛盾的前提下引入多目標(biāo)問(wèn)題。50年代初，T?C?庫(kù)普曼斯從生產(chǎn)和分配的活動(dòng)中提出多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題，引入有效解的概念，并得到一些基本結(jié)果。同時(shí)，H?W?庫(kù)恩和A?W?塔克爾從研究數(shù)學(xué)規(guī)劃的角度提出向量極值問(wèn)題，引入庫(kù)恩-塔克爾有效解概念，并研究了它的必要和充分條件。自70年代以來(lái)，多目標(biāo)規(guī)劃的研究越來(lái)越受到人們的重視。至今關(guān)于多目標(biāo)最優(yōu)解尚無(wú)一種完全令人滿意的定義，所以在理論上多目標(biāo)規(guī)劃仍處于發(fā)展階段。

2、多目標(biāo)規(guī)劃方法優(yōu)化投資組合的應(yīng)用分析

某生產(chǎn)車(chē)間計(jì)劃在10天內(nèi)安排生產(chǎn)甲類(lèi)和乙類(lèi)兩種商品。已知生產(chǎn)甲類(lèi)商品需要A號(hào)配件5組，B號(hào)配件3組；生產(chǎn)乙類(lèi)商品需要A號(hào)配件2組，B號(hào)配件4組。在十天的計(jì)劃期內(nèi)該生產(chǎn)車(chē)間僅提高A號(hào)配件180組，B號(hào)配件135組。同時(shí)，我們還知道該生產(chǎn)車(chē)間沒(méi)生產(chǎn)一個(gè)甲類(lèi)商品可獲取利潤(rùn)為20元，生產(chǎn)一個(gè)乙類(lèi)商品可獲取利潤(rùn)15元。那么，通過(guò)以上條件甲乙兩類(lèi)商品分別生產(chǎn)多少可實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大呢？下面我們將各項(xiàng)數(shù)據(jù)列表如下表1所示：

表1

我們假設(shè)，X1和X2分別為甲乙兩類(lèi)商品的生產(chǎn)數(shù)量，Z為總利潤(rùn)，以此可以線性規(guī)劃描述此問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是：

（1）

（2）

其中，X1和X2均為整數(shù)。理想狀態(tài)下，可以利用圖解法即可得出公式（1）的最優(yōu)解為Z=775，X1=32，X2=9。但是，站在車(chē)間生產(chǎn)計(jì)劃人員的角度上將，問(wèn)題往往比較復(fù)雜。

首先，這是一種單一目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。但通常來(lái)講，一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題需要滿足多個(gè)條件。例如，例如財(cái)務(wù)部門(mén)的利潤(rùn)目標(biāo)：利潤(rùn)盡可能大；物資部門(mén)的節(jié)約資金：消耗盡可能小；銷(xiāo)售部門(mén)的適銷(xiāo)對(duì)路：產(chǎn)品品種多樣；計(jì)劃部門(mén)的安排生產(chǎn)：產(chǎn)品批量盡可能大。規(guī)劃問(wèn)題其本質(zhì)上是多目標(biāo)決策類(lèi)問(wèn)題，只是因?yàn)槔镁€性規(guī)劃模型處置，致使生產(chǎn)計(jì)劃人員不得已從諸多目標(biāo)中硬性選擇其中的一種作為線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。這樣一來(lái)，由數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)得到的結(jié)果可能會(huì)違背部分部門(mén)的根部意愿，從而導(dǎo)致生產(chǎn)過(guò)程受阻，又或者是從生產(chǎn)計(jì)劃開(kāi)始階段就因?yàn)槟承┟芏荒軓闹T多目標(biāo)中選取一個(gè)最優(yōu)目標(biāo)。

其次，線性規(guī)劃問(wèn)題存在最優(yōu)解的必要條件是可行解集合非空，也就是說(shuō)各個(gè)約束條件之間彼此相容。但在優(yōu)化投資組合等實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中有時(shí)候也未必能完全滿足這樣的條件。如因設(shè)備維修養(yǎng)護(hù)、消耗能源或其他產(chǎn)品自身原因?qū)е律a(chǎn)計(jì)劃期內(nèi)不能提供足夠的工時(shí)而無(wú)法滿足計(jì)劃生產(chǎn)的進(jìn)度和產(chǎn)量，又或者因投資資本有限的束縛生產(chǎn)原材料的供應(yīng)不能滿足計(jì)劃產(chǎn)品的需求等等。

第三，線性規(guī)劃問(wèn)題的可行解和最優(yōu)解具有非常明確的價(jià)值，這些可行解和最優(yōu)解都依數(shù)學(xué)函數(shù)模型而定。在實(shí)際的投資組合應(yīng)用當(dāng)中，決策人發(fā)出決策后往往還需要對(duì)其決策進(jìn)行某種修正，主要原因就在于數(shù)學(xué)函數(shù)模型與實(shí)際問(wèn)題之間不盡相同，具有一種近似性，也就是建立數(shù)學(xué)模型時(shí)應(yīng)對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化且不考慮新情況的發(fā)生。

計(jì)劃人員為決策人提供的數(shù)學(xué)可行解并不是嚴(yán)格意義上的最優(yōu)解，僅作為決策實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的一種參考性計(jì)劃方案。上世界六十年代初期，由查恩斯（A?Charnes）和庫(kù)柏（W?w?CooPer）提出的目標(biāo)規(guī)劃（Goalprogramming）直接已得到了重視和推廣，該法在處置實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題方面承認(rèn)諸項(xiàng)決策條件存在的合理性，即便多個(gè)決策條件是相互沖突的、相互影響的都具有合理性，在做出最終決策中不會(huì)強(qiáng)調(diào)絕對(duì)的最優(yōu)性。由此看來(lái)，多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題可以認(rèn)為是一種較之于線性規(guī)劃問(wèn)題更切合于實(shí)際應(yīng)用的決策手段。

3、多目標(biāo)規(guī)劃方法優(yōu)化投資組合的常見(jiàn)途徑

（1）加權(quán)法（或效用系數(shù)法）。

加權(quán)法（或效用系數(shù)法）將投資問(wèn)題中所有的目標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)一度量（例如以錢(qián)或效用系數(shù)度量）。本方法的的基本原理是將多目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)模型。多個(gè)目標(biāo)，有主次不同和輕重緩急不同等區(qū)別，最重要的一個(gè)目標(biāo)我們將之賦予為優(yōu)先因子P1，次重要的目標(biāo)依次賦予優(yōu)先因子P2，P3，P4，…，同時(shí)約定PK>>PK+1（PK比PK+1擁有更好的優(yōu)先權(quán)）。如果非要將擁有相同優(yōu)先因子的目標(biāo)加以區(qū)別，我們可以將其分別賦予不同的權(quán)系數(shù)wj。它的優(yōu)點(diǎn)在于適用于計(jì)算機(jī)運(yùn)算求解可行解和最優(yōu)解（如線性函數(shù)模型可用單純形法求解），而缺點(diǎn)則在于難以找到合理的權(quán)系數(shù)（如某高速公路建設(shè)投資，在減少建設(shè)投資和保證施工質(zhì)量降低交通傷亡事故率之間難以衡量人的生命價(jià)值）。

（2）序列法（或優(yōu)先級(jí)法）。

序列法（或優(yōu)先級(jí)法）并不是對(duì)每一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行加權(quán)，它主要是按照目標(biāo)的輕重緩急不同將其分為各個(gè)不同等級(jí)后再行求解。它的優(yōu)點(diǎn)在于可規(guī)避權(quán)系數(shù)的困擾，適用范圍比較廣，各種決策活動(dòng)幾乎都可使用。例如，某公司在決定提拔人員，很多單位主要根據(jù)該人員的工作積極性、工作能力和對(duì)單位的貢獻(xiàn)價(jià)值等幾個(gè)方面予以考慮，這幾個(gè)方面也會(huì)按照先后順序依次評(píng)定，等級(jí)不同參考評(píng)定的比重也會(huì)有所不同。它的缺點(diǎn)在于難以區(qū)分各個(gè)目標(biāo)的輕重等級(jí)，難以排定優(yōu)先順序無(wú)法保證最終的求解結(jié)果是最令人滿意的。

（3）有效解法（或非劣解法）。

有效解法（或非劣解法）與上兩種方法不同，它拜托了加權(quán)法（或效用系數(shù)法）和序列法（或優(yōu)先級(jí)法）具有的一定局限性，利用本法可找到所以的有效解集，也就是非劣解集，眾多非劣解可供決策人從中挑選最為滿意的解。它的缺點(diǎn)則在于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中非劣解數(shù)量很多，為決策人提供的非劣解集范圍過(guò)于寬泛。