前言：我們精心挑選了數(shù)篇優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)中的反證法文章，供您閱讀參考。期待這些文章能為您帶來啟發(fā)，助您在寫作的道路上更上一層樓。

第1篇

何 昊

（江蘇省南京市第十三中學(xué)鎖金分校）

摘 要：系統(tǒng)地介紹了理論基礎(chǔ)，對反證法的邏輯形式，唯一的負(fù)命題，命題，肯定命題三用反證法適用的命題類型進(jìn)行了詳細(xì)討論。

關(guān)鍵詞：反證法；否定性；唯一性

在數(shù)學(xué)的諸多方法中，反證法是一種重要的證明方法，尤其在數(shù)學(xué)證明中，它是一種間接的證據(jù)，被稱為“一個最先進(jìn)的武器”的數(shù)學(xué)家.反證法經(jīng)常被用來證明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命題.用反證法證明命題成立的基本步驟可以簡單地概括為“否定―推理―反駁―肯定”四個步驟.一個數(shù)學(xué)問題的解決方案，如果你覺得不足或沒有啟動的“條件”，不妨考慮反證法的使用.反證法的應(yīng)用范圍很廣，比如代數(shù)、數(shù)論、幾何、組合等方面的應(yīng)用.

一、反證法的概念及類型

反謂反證法，就是在要證明“若A則B”時，可以先將結(jié)論B予以否定，記作，然后從A與出發(fā)，經(jīng)正確的邏輯推理而得到矛盾，從而原命題得證.

反證法大致可分為以下兩種類型：

歸謬法：論題結(jié)論的反面只有一種情況，只要把這種情況就達(dá)到了目的.

窮舉法：論題結(jié)論的反面不止一種情況，要一一駁倒，最后才能肯定原命題結(jié)論正確.

二、反證法常用于以下幾種命題的證明

1.存在性命題

例1：證明A，B，C，D，E五數(shù)之和等于5，則其中必有一個不小于1.

分析：這個問題似乎很簡單，但直接的證明是不容易的.因此，應(yīng)用反證法，它可以很容易地證明.

證明：假設(shè)A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E

所以5個數(shù)都小于1不成立，故必有一個數(shù)不小于1，即原命題是正確的.

2.否定性命題

例2：設(shè)平面上有六個圓，每個圓的圓心都在其余各圓的外部.試證明：平面上任一點(diǎn)都不會同時在這六個圓的內(nèi)部.

分析：直接證明某點(diǎn)在哪些圓的內(nèi)部，在哪些圓的外部，有些困難，故最好用反證法來證明.

證明：假設(shè)平面內(nèi)有一點(diǎn)M同時在這六個圓的內(nèi)部，為了方便，我們把繞M的六個圓心從某個開始按順時針方向分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，連結(jié)MA，MB，MC，MD，ME，MF.

考慮AMB，M在A內(nèi)，B在A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在AMB中，AB大于其他兩邊.

由“大邊對大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.

所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°.

同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.

但是，很顯然，這個角圍成了一個周角，它們的和不可能大于360°，出現(xiàn)矛盾.

故而假設(shè)不正確，所以原命題成立.

3.唯一性命題

例3：求證方程x=sinx+a（a為常數(shù)）的解唯一.

分析：直接解或證明是非常困難的，作為唯一的命題往往采用反證法證明.

所以原方程的解是唯一的.

從上面的例子中，我們可以看到，最大的優(yōu)勢是反證法――超過一個或幾個條件，從相反的結(jié)論來看，與一些已知的條件下，原出口的沖突，從而達(dá)到負(fù)的假設(shè)、肯定原命題的目的.從上面，我們應(yīng)該充分利用反證法，必須正確把握靈活運(yùn)用“反設(shè)”“歸謬”這兩個反證步驟.反設(shè)是反證法的第一步，能否正確否定結(jié)論，對論證的正確性有著直接的影響.

反證法是很巧妙的，它的應(yīng)用是很廣泛的，但究竟怎樣的命題證明才適于用反證法，卻很難回答，這是一個經(jīng)驗(yàn)問題.

參考文獻(xiàn)：

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[3]張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.

第2篇

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 反證法 使用條件

在生活中，我們都有這樣的常識，去掉大米中的砂粒，有兩種方法.一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地揀出來；一種是用間接的方法――淘洗法，把砂粒殘留下來.這兩種方法雖然形式不同，但結(jié)果卻是一樣的，都能達(dá)到去掉砂粒的目的.有時用直接方法很困難，而用間接方法卻容易得多.牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”當(dāng)一些命題不易從正面直接證明時，就可考慮用反證法.

一、反證法的基本概念

1.反證法的定義

法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對反證法的實(shí)質(zhì)做了如下概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾.”這是對反證法的極好概括.其實(shí)反證法也稱作歸謬法。反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較簡單的題目，在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛，在解決一些較難問題的時候，反證法能體現(xiàn)其優(yōu)越性.

2.反證法的基本思想

反證法的基本思想就是否定之否定，這種基本思想可以用下面的公式表示：

“否定推理矛盾肯定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定.

3.反證法的邏輯依據(jù)

通過以上三個步驟，為什么能肯定原命題正確呢？其邏輯根據(jù)就在于形成邏輯的兩個基本規(guī)律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假.再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的.

二、反證法的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1.反設(shè).假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；

2.歸謬.從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

3.結(jié)論.由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確.

即：否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾結(jié)論成立.

三、反證法的種類

1.歸謬反證.結(jié)論的反面只有一種情形，只要把它駁倒，就能達(dá)到證題目的.

2.窮舉反證.結(jié)論的反面不止一種情形，必須將它們逐一駁倒，才能達(dá)到證題目的.

四、反證法的典型例題

例1：已知：AB，CD是圓內(nèi)非直徑的倆弦（如圖），求證：AB與CD不能互相平分.

證明：假設(shè)AB與CD互相平分與點(diǎn)M，則由已知條件AB，CD均非圓O直徑，可以判定M不是圓心O，聯(lián)結(jié)OA，OB，OM.

因?yàn)镺A=OB，M是AB中點(diǎn)，所以O(shè)MAB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.同理可得：OMCD，從而過點(diǎn)M有兩條直線AB，CD都垂直于OM.這與已知的定理相矛盾.故AB與CD不能互相平分.

五、反證法的使用條件

任何方法都有它成立的條件，也都有它適用的范圍.離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，問題解決也就沒有那么容易.因此，我們應(yīng)該學(xué)會正確使用反證法解題.

雖然用反證法證明，邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)而清晰，論證自然流暢，可謂是干凈利落，快速而可行，是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優(yōu)點(diǎn)：如思想選擇的余地大、推理方便等.但是并不是什么題目都適合用反證法解決.

例2：如果對任何正數(shù)p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實(shí)數(shù)，則系數(shù)a=0，試證之.

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實(shí)第三步，即肯定原結(jié)論成立的論證錯了.因?yàn)椋绢}的題設(shè)條件為對任意正數(shù)p，y=0有兩個正實(shí)數(shù)根，結(jié)論是a=0，但本題的題設(shè)條件與結(jié)論是矛盾的；當(dāng)a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數(shù)p，它只有一個根；在b=0時，僅當(dāng)p=-c>0的條件下，它有無數(shù)個根，否則無根，但總之不會有兩個根.題設(shè)條件和結(jié)論矛盾.因此，本題不能反證法來處理.若原題改為“如果對于任何正數(shù)p，只存在正實(shí)根，則系數(shù)a=0”，就能用反證法證明.

因此，對于下列命題，較適用反證法解決.

（1）至多至少型命題；（2）唯一性命題；（3）否定型命題；（4）明顯型命題；（5）此前無定理可以引用的命題.

例3：設(shè)a，b都是正數(shù)，求證：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

證明：反設(shè)ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有l(wèi)n（a/b）≥（a-b）/b，由對稱性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0這一矛盾說明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交換位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反證法是數(shù)學(xué)中的一種重要的證明方法.牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”它是從命題的否定結(jié)論出發(fā)，通過正確的邏輯定理推理導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性的一種重要方法.反證法之所以有效是因?yàn)樗鼘Y(jié)論的否定實(shí)際上增加了論證的條件，多一個條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的.對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，通過逆向思維，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題就能迎刃而解.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一.

參考文獻(xiàn)：

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[3]耿素云.離散數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1998.

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[5]路從條.“反證法”思想在中學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用.福建教育學(xué)院學(xué)報，2003，（3）.

第3篇

關(guān)鍵詞：反證法；證明；矛盾；命題；假設(shè)

有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨(dú)有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃.在數(shù)學(xué)里這種方法叫反證法.

反證法不但在實(shí)際生活和初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在高等數(shù)學(xué)中也具有特殊作用.數(shù)學(xué)中的一些重要結(jié)論，從最基本的性質(zhì)、定理，到某些難度較大的世界名題，往往是用反證法證明的.即：提出假設(shè)――推出矛盾――肯定結(jié)論.

“反證法”雖然是在平面幾何教材中出現(xiàn)的，但對數(shù)學(xué)的其他各部分內(nèi)容，如代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何中都可應(yīng)用.下面通過具體的例子來說明其應(yīng)用。

一、否定性命題

證明：假設(shè)AB，CD不平行，即AB，CD交于點(diǎn)P，則過P點(diǎn)有ABEF，且CDEF，與“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線垂直于已知直線”矛盾.假設(shè)錯誤，則AB∥CD

否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測的，也沒有一個機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn)，有的甚至是捉摸不定的.一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（例如，平面幾何問題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點(diǎn).因此在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾.只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束.

反證法推理過程中出現(xiàn)的矛盾是多種多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質(zhì)）相矛盾，可能與臨時假設(shè)矛盾，或推出一對相互矛盾的結(jié)果等.