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《數學雜志》2015年第六期

摘要:

本文中,我們將人口年齡結構引入經典的Solow-Swan模型,探討人口年齡結構變動對經濟增長的影響.利用比較定理證明當人口趨于穩定的人口結構時刻劃模型的微分方程的解是漸近穩定的.通過數值仿真,我們看到經濟增長在少年撫養下降時加速,在老年撫養上升時減緩.在人口轉變時期存在“人口紅利”,人口老齡化導致的勞動力人數占人口的比重下降會使經濟增長減緩甚至下降.

關鍵詞:

Solow-Swan模型;微分不等式;漸近穩定性;人口年齡結構;數值仿真

1引言

近年來,人口年齡結構變動對經濟增長的影響引起了人口學家和經濟學家的廣泛重視[14].Bloom等人[57]作的經驗分析表明當少年撫養比下降而老年撫養比上升之前存在“人口紅利”.Wei與Hao[8]建立一個計量模型探討中國人口年齡結構的變動及對經濟增長的影響.Blanchard[9]構造一個最優經濟增長模型研究人口年齡結構對政府赤字的動態影響.Hippolyted’Albis[10]給出一個連續世代交疊模型探討人口年齡結構對經濟增長的影響.然而,在文獻[9]和[10]中,人口結構年齡結構是穩定的,即不隨時間而變動.這與世界絕大多數國家的人口年齡結構實際的變動情況是不相符合的.在經濟增長的文獻中,人口增長率通常簡單地假設為一個常數或隨時間單調下降的函數[1112].本文中,我們將隨時間變動的人口與勞動力人數引入經典的solow-swan模型,探討人口年齡結構變化導致的人口與勞動力人數變化對經濟增長的影響.利用比較定理證明當人口與勞動力人數趨于穩定時,刻劃模型的微分方程的解是漸近穩定的.通過數值仿真,我們看到經濟增長在少年撫養下降時加速,在老年撫養上升時減緩.在人口轉變時期存在“人口紅利”,人口老齡化導致的勞動力人數占人口的比重下降會使經濟增長減緩甚至下降.

2模型的建立

假定生產函數為F(K(t),L(t)),滿足新古典主義生產函數的條件,其中K(t),L(t)為t時刻的總資本和勞動力人數.設儲蓄率和資本折舊率分別為s和δ。

3比較定理與收斂性

由假設1和假設2,人口增長率n(t)和勞動力人口占人口的比重在[0,∞)上有界.記則由引理1和微分不等式[13]。

4數值仿真

人口轉變時期總出生人口變化的顯著特征為由低出生人口轉變到高人口出生,然后下降的過程.當高人口出生時期人口進入生育期后會出現第二次人口生育高峰.因而,通常總出生人口數在呈現出兩次生育高峰后才進入一個穩定的狀態.為此,我們用分段函數B(t)對人口出生過程進行數值仿真(表達式見附錄).其圖形見圖1.為了反映人口存活率隨時間增長的過程,我們首先給出基準的人口存活率L(a)=l(60,a),即t=60時的人口存活率.其中,a為年齡.L(a)的函數表達式也由分段光滑函數給出(表達式見附錄),其圖形見圖2.t時刻的人口存活率設為l(t,a)=L(a(1h(t)).對于給定t時刻的總出生人口函數B(t)與人口存活率函數l(t,a)得出t時刻年齡為a的人口數為p(t,a)=B(ta)l(t,a).人口年齡結構圖見圖4.對于上述指定不同時刻的存活率,人的最大壽命小于Ω=130.因此,t時刻的人口總數與勞動力人數。生產函數給定為Cobb-Douglas生產函數AKαL1α.經濟的初始資本、儲蓄率、技術水平、資本份額和資本折舊分別設定為K0=1,s=0.3,A=1.2,α=0.25,δ=0.05,則由(2.1)和(2.2)式分別得到資本與人均資本的隨時間的增長過程(見圖13與圖14).

5結論

由定理2,當人口年齡結構趨于穩定,進而人口增長率與勞動人數占人口比重趨于穩定時,經濟增長最終也趨于穩定.而由數值仿真我們看到人口轉變時期的人口增長率的變化與人口年齡結構變動導致的勞動人數占人口比重的變化使得經濟增長出現波動.比較圖1、圖4與圖5,我們看到,隨著總出生人口數經歷一次高峰及后續的次高峰后,人口總數的增長達到一個高峰出現下降.圖6顯示的人口增長率則由加速增長轉變為低速增長,最后出現下降.但總人口的下降則較為緩慢.這是人口存活率上升的結果(見圖3).

隨著高人口出生時期人口進入勞動年齡人口,勞動年齡人數呈現快速上升的情況,但勞動年齡人口的下降顯著地先于人口總數的下降,下降的幅度也大于總人口的下降,這是由于生存率上升導致的人口老齡化產生的結果.相應地,高人口出生時期的人口進入勞動年齡人口,少年撫養比下降,勞動力人數占總人口比重快速上升,經濟出現了一個“人口紅利”時期.隨著高出生人口進入老年,這一比重開始下降,最后漸近地趨于穩定(見圖8).

對應于人口出生高峰與跟隨其后的次高峰,少年人口數也出現高峰和次高峰,其后少年人口數下降并趨于一個穩定的水平(見圖9).少年撫養比呈現出類似的形態(見圖11).老年人口的迅速上升則是高出生時期的人口進入老年時開始的，隨著人口存活率的上升,老年人口總數快速上升,最后穩定在一個較高的水平(見圖10).老年撫養比在經歷了一短暫的下降后也呈現出類似的形態(見圖12).

通過數值仿真我們看到,人口年齡結構的變化與存活率的上升對經濟增長有著本質的影響.在經典的Solow-Swan模型中,人均資本隨著人口增長率下降是上升的.其原因在于模型中將經濟中所有人口當作勞動力考慮的,沒有區分勞動年齡人口及他們占總人口的比重的問題.而將人口年齡結構的變化及存活率上升導致勞動年齡人口數和他們占總人口的比重的變動引入經典的Solow-Swan模型后,情況則發生了本質的改變.在“人口紅利”時期,總資本和人均資本都迅速上升,伴隨著總出生人口、勞動年齡人口占總人口比重的波動變化,人均資本也出現波動的變化,并在人口老齡化嚴重的時期出現下降(見圖14).

作者：蔡東漢 葛夫夫 陳忠斌 單位：武漢大學數學與統計學院 武漢大學經濟與管理學院