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《電子與信息學(xué)報》2014年第七期

1現(xiàn)有自適應(yīng)波束形成方法回顧

自適應(yīng)波束形成方法可以分為向量加權(quán)自適應(yīng)波束形成和矩陣加權(quán)自適應(yīng)波束形成，本文首先討論向量加權(quán)自適應(yīng)波束形成方法。本文主要討論Capon波束形成方法[11]：其中0q表示目標(biāo)所在方位角，這個準(zhǔn)則對系統(tǒng)誤差、指向誤差比較敏感，并且該方法只有在大樣本條件下才能有效估計(jì)信號功率。針對上述問題，文獻(xiàn)[12-15]提出了穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，此類方法在出現(xiàn)上述誤差時可以有效估計(jì)信號功率。由于此類方法約束了指向誤差范圍，它對大于陣列零點(diǎn)半波束寬度的指向誤差是無效的。向量加權(quán)類方法的優(yōu)化代價函數(shù)與式(16)相似，它們是非凸優(yōu)化模型，不易求得全局最優(yōu)解。向量加權(quán)自適應(yīng)波束形成方法存在上述不足，文獻(xiàn)[16]提出了矩陣加權(quán)自適應(yīng)波束形成方法(AMA)。該優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)與Capon方法的物理含義是相同的，該方法可以對方向圖的形狀有更好的約束。式(17)中的目標(biāo)函數(shù)是使輸出功率最小化，約束中的第1行表示目標(biāo)所在方位角的響應(yīng)，第2行約束3dB波束寬度，第3行約束旁瓣電平，sY表示旁瓣范圍，第4行約束的目的是為了防止出現(xiàn)主瓣分裂，T³0的約束是由HT=WW決定的。式(17)是一個半正定規(guī)劃(SDP)，可以應(yīng)用文獻(xiàn)[21]中的工具包求得全局最優(yōu)解。盡管矩陣加權(quán)波束形成方法可以克服向量加權(quán)波束形成方法的缺點(diǎn)，但是該方法系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度比向量加權(quán)方法更復(fù)雜，基于此原因本文提出基于半正定秩松弛(SDR)方法的向量加權(quán)穩(wěn)健波束形成。

2秩1約束波束形成方法

本文采用與Capon波束形成方法相同的準(zhǔn)則建立優(yōu)化模型，將式(16)的目標(biāo)函數(shù)變。半正定秩松弛(SDR)方法就是將優(yōu)化模型中關(guān)于矩陣秩的約束除去，式(19)可以變形為式(23)的形式。式(23)是一個半正定規(guī)劃(SDP)[20]問題，并且是一個凸優(yōu)化問題，應(yīng)用已有的凸優(yōu)化工具包CVX[21]可以求得全局最優(yōu)解，式(23)求得的協(xié)方差矩陣的秩并不為1。對比式(21)和式(23)兩個優(yōu)化模型，式(21)比式(23)多一個秩1約束，所以式(21)比式(23)的優(yōu)化自由度小?；诖嗽?，式(21)中的主瓣形狀約束和旁瓣電平約束就要比式(23)的約束更松弛，才能求得合理的解。通過式(21)和式(23)可以求得加權(quán)向量的協(xié)方差矩陣v，下面給出由v求得加權(quán)向量w的方法。

3求加權(quán)矢量

應(yīng)用上文中提到的式(21)和式(23)求得加權(quán)向量的協(xié)方差矩陣。式(24)中的分子表示v的第k行，分母是第k行對應(yīng)的復(fù)常數(shù)，式(19)的優(yōu)化模型中約束的是功率方向圖的主瓣形狀和旁瓣電平，這里給出由式(24)得到的加權(quán)向量形成的方向圖：于v的秩不嚴(yán)格滿足rank(v)=1，所以式(26)中不同的k對應(yīng)不同的加權(quán)向量。這里對比不同的k得到的加權(quán)向量w所形成的方向圖的主瓣與0dB之間的最大失真，選擇最大失真最小的k得到加權(quán)向量w作為最終的加權(quán)向量。以上給出的求解加權(quán)向量的過程中與陣列結(jié)構(gòu)特性無關(guān)，所以該方法可以適用于多種陣列結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[16]中給出的方法要充分利用等距線陣的結(jié)構(gòu)特性，并明確指出該方法僅對等距線陣有效。式(26)是通過對比選擇得到的加權(quán)矢量，由式(21)和式(23)得到v，本文假設(shè)矩陣v的秩為1，則可以利用特征值分解方法也可以得到加權(quán)向量w.

4計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

下面通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法可以得到具有期望主瓣形狀、旁瓣電平和理想零點(diǎn)深度的方向圖，并且在較大指向誤差條件下，可以有效估計(jì)信號功率。仿真條件：發(fā)射信號為線性調(diào)頻信號，信號載頻1GHzcf=，信號帶寬B=5MHz，信號脈沖寬度30srT=m，脈沖采樣間隔sT=1/2B；接收信號中的噪聲為高斯白噪聲，噪聲功率為0dB；接收陣是一個等距線陣(UniformLinerArray,ULA)，陣元數(shù)M=20，陣元間距d=l/2；約束實(shí)驗(yàn)1方向圖形狀對比假設(shè)目標(biāo)方位角為o0，目標(biāo)信號功率為20dB，干擾方位角為o40，干擾功率為60dB，主瓣區(qū)域oomY=-，旁瓣區(qū)域oo[90,22]sY=--oo[22,90]，接收信號的快拍數(shù)為200。RCB方法中真實(shí)導(dǎo)向矢量與期望導(dǎo)向矢量的差的二范數(shù)小于0.35M。首先，本文對比指向誤差分別為0°和2°條件下，Capon方法、RCB方法、AMA方法以及本文提出的SDR方法得到的方向圖，如圖2所示。圖中的SDR-one和SDR-eig分別表示應(yīng)用式(26)和式(27)求得的加權(quán)向量的方向圖。由圖2可以看出本文方法相比已有的幾種方法在指向誤差分別為0°和2°時均可以有效保持主瓣形狀、旁瓣電平。式(26)的主瓣失真更小。其次，本文對比SDR方法和直接求解秩1約束方法得到的方向圖，如圖3，其中秩1約束方法中的：lowert³50,uppert£150，圖中SDR-T,SDR-one和SDR-eig分別表示SDR方法應(yīng)用協(xié)方差矩陣、式(26)和式(27)求得加權(quán)向量得到的方向圖，Rank1-T,Rank1-one和Rank1-eig分別表示秩1約束方法應(yīng)用協(xié)方差矩陣、式(26)和式(27)求得加權(quán)向量得到的方向圖。由圖3可以看出，SDR方法比秩1約束方法得到的方向圖具有更好的主瓣形狀、更低的旁瓣電平。應(yīng)用式(26)得到的方向圖的性能優(yōu)于式(27)，這主要是因?yàn)镾DR方法和秩1約束方法得到的協(xié)方差矩陣的秩都不一定嚴(yán)格為1。

實(shí)驗(yàn)2方向圖主瓣最大失真隨主瓣寬度的變化真實(shí)目標(biāo)與假設(shè)目標(biāo)方位角都在0°，半主瓣寬度范圍為oo[6,22]，旁瓣與主瓣的過渡帶寬度為o10，作100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，其它的仿真條件不變。將式(17)中的優(yōu)化變量T由v代替后，由式(17)和式(23)得到加權(quán)向量的協(xié)方差矩陣v，分別利用式(26)和式(27)求得加權(quán)向量w，最后應(yīng)用w合成真實(shí)的方向圖。圖4中對比這兩個優(yōu)化模型得到的真實(shí)方向圖的主瓣最大失真隨著波束寬度的變化，圖中的SDR-3dB和SDR-0.5dB分別表示應(yīng)用式(17)和式(23)求得加權(quán)向量的協(xié)方差矩陣合成的方向圖，-one和-eig分別表示應(yīng)用式(26)和式(27)求得的加權(quán)向量合成的方向圖。由圖4可以清楚地看出式(26)的方向圖的主瓣最大失真小于式(17)，應(yīng)用式(26)求得的加權(quán)向量w合成的方向圖的主瓣最大失真比式(27)的特征值分解方法更小。實(shí)驗(yàn)3信號功率估計(jì)性能分析首先，對比Capon方法、RCB方法、式(17)的AMA方法和本文所提的式(23)的SDR方法在沒有指向誤差和2°指向誤差條件下，各個方法的信號功率估計(jì)性能隨快拍數(shù)的變化情況，如圖5所示，其中SDR方法的加權(quán)向量應(yīng)用式(26)求得，基本仿真條件與實(shí)驗(yàn)1相同。由圖5可以看出，Capon方法需要較大的快拍數(shù)以及無指向誤差時才能有效估計(jì)信號功率，RCB方法、AMA方法和SDR方法在快拍數(shù)較小的情況下就可以穩(wěn)健估計(jì)信號功率。

其次，在指向誤差為：oo[0,12]的條件下，本文對比Capon方法、RCB方法、式(17)的AMA方法、將式(23)中的v由T代替后的AMA方法、將式(17)中的T由v代替后的SDR方法和式(23)的SDR方法的信號功率估計(jì)性能，如圖6所示。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，Capon方法在出現(xiàn)指向誤差時，無法有效估計(jì)信號功率；RCB方法在指向誤差小于陣列的3dB半波束寬度時可以有效估計(jì)信號功率，當(dāng)指向誤差進(jìn)一步加大，該方法的性能急劇下降；式(23)優(yōu)化模型的AMA方法的信號功率估計(jì)性能優(yōu)于式(17)的AMA方法，在大指向誤差條件下AMA方法的信號功率估計(jì)性能優(yōu)于Capon方法、RCB方法和SDR方法，盡管AMA方法的性能是最優(yōu)的，但是該方法的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度相比其它幾種方法要大；SDR方法的信號功率估計(jì)性能與AMA方法相近，應(yīng)用式(23)優(yōu)化模型的SDR方法在小指向誤差條件下與RCB方法性能接近，在大誤差條件下SDR方法性能優(yōu)于RCB方法。并且SDR方法的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與向量加權(quán)方法一致，小于矩陣加權(quán)方法。通過以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，應(yīng)用本文提出的SDR方法求出加權(quán)向量的協(xié)方差矩陣，再利用式(26)求得加權(quán)向量，由該加權(quán)向量得到方向圖具有期望的主瓣形狀、旁瓣電平和理想的零點(diǎn)深度，此加權(quán)向量的信號功率估計(jì)性能接近矩陣加權(quán)方法，在大指向誤差條件下優(yōu)于傳統(tǒng)的向量加權(quán)穩(wěn)健波束形成方法。SDR方法的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與向量加權(quán)方法一致，小于矩陣加權(quán)方法。

5結(jié)束語

本文提出了基于半正定秩松弛方法的穩(wěn)健波束形成算法，該方法首先將帶有秩約束的優(yōu)化問題松弛為一個半正定優(yōu)化(SDP)問題，通過松弛后的優(yōu)化模型求得加權(quán)向量的協(xié)方差矩陣，利用式(26)所提方法求出穩(wěn)健波束形成的加權(quán)向量。該方法形成的方向圖相比傳統(tǒng)的穩(wěn)健波束形成方法和秩1約束方法，具有期望的主瓣形狀、旁瓣電平，與矩陣加權(quán)方法得到方向圖近似。SDR方法的信號功率估計(jì)性能接近矩陣加權(quán)方法，在大指向誤差條件下優(yōu)于傳統(tǒng)的向量加權(quán)穩(wěn)健波束形成方法，并且該方法的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與向量加權(quán)方法一致，本文中給出的求加權(quán)向量方法可以適用于各種陣列結(jié)構(gòu)。

作者：羅濤劉宏偉嚴(yán)俊坤糾博盧紅喜單位：西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室