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《自然科學史研究雜志》2014年第一期

1李關于切觸變換的研究

1.1李研究切觸變換的緣由受到普呂克爾幾何思想的影響，李接受了將直線看作空間基本元素的做法，并將線幾何看作是對幾何學，尤其是笛卡爾(R.Descartes，1596～1650)創立的解析幾何學局限性的哲學思考。李在1872年的博士論文前言中寫到:本世紀幾何學的快速發展與笛卡爾幾何性質的哲學觀點有著緊密聯系，并嚴重依賴于此，也就是普呂克爾在早期的數學研究中所闡述的具有最一般形式的哲學觀點。那些深刻地理解了普呂克爾數學工作本質的人，對將任意的三參數曲線當作空間基本元素的想法，不會感到陌生。但據我所知，沒有人將這種想法付諸實施，原因有可能是人們很難看到這樣做能帶來的直接好處。在這方面我已經進行了廣泛而一般的研究，從而發現通過一種比較奇妙的變換方式①，可以將通常的主切線理論轉變成為相應的曲率理論。(［18］，156～157頁)深刻地理解了普呂克爾的幾何思想，李構造出和普呂克爾的線幾何類似的球幾何，即李球幾何。在這種情況下，新構造的幾何系統與原有幾何系統的關系就至關重要。李試圖去證明這些幾何系統都是相容的，甚至在某種意義下是等價的。這就需要在射影意義(乃至更廣泛的意義)下空間元素之間的“等價”變換，其實就是廣義的“對偶原理”。于是，李開始研究各種空間元素之間的變換，如點和直線的變換〔彭賽萊(J-V.Poncelet，1788～1867)等研究過的對偶變換〕、線球變換等，這方面的研究直接導致李創立了一般意義上的切觸變換。另一方面，早在1872年李就將幾何變換與微分方程緊密地聯系在一起。數學中經常用坐標變換來化簡微分方程，用來證明一類微分方程等價于某一標準形式或典范形式。在此過程中，切觸變換是主要的實現方法。在李群理論發展初期(1870～1880)，李的研究主要集中在切觸變換和一階偏微分方程。他在1874年創立了切觸變換的不變量理論，逐漸建立起了系統的變換群理論，并于1888年到1893年出版了三大卷兩千余頁的《變換群理論》。這三卷本《變換群理論》常被列為該領域主要原始文獻和參考書目。但在這三卷巨著中，我們很難發現李創立李群理論的主要動機，也無法領略到李的幾何思想。對此李的好友、德國數學家克萊因(C.F.Klein，1849～1925)在1893年的演講中有著精辟論述，他說:“要全面了解索福斯•李的數學天賦，我們不能去看他和恩格爾新近共同出版的著作，而是要去看他在科學研究生涯初期發表的文章，那些顯示出李是一個純粹的幾何學家。”［19］其中“新近出版的著作”指的便是李和恩格爾在1888年到1893年間出版的三大卷《變換群理論》。李也曾在Math.Ann.雜志發表文章說:我在偏微分方程和切觸變換方面的數學研究，可參見發表在本雜志第九卷的文章，這是我最好的文章之一。其次可以參考我在本雜志第八卷上的文章，接下來是本篇文章①。(［4］，464頁)對此筆者認為，要詳細了解某一理論的誕生過程，就必須探尋能體現該領域最初思想和方法的早期論文，而不應僅局限于后期系統專著。因此，本文對李在切觸變換方面的研究主要集中于他19世紀70年表的幾篇文章，即參考文獻［2］、［3］、［4］。

1.2對切觸變換的定義文獻［2］中，李對切觸變換給出若干定義，有的用文字描述方式給出，不甚嚴謹。如其中一個定義為:(1)很明顯古爾薩的定義局限于曲線和二元函數范圍，李的定義更為廣泛和一般，并不僅限于二元函數。(2)古爾薩根據“曲線相切”的先驗條件定義了切觸變換，并將其理解為保持曲線間的相切關系不變的變換。李則從微分方程出發，根據雅可比(C.G.J.Jacobi，1804～1851)的理論，在微分方程不變性限制下得出了充要條件，由李的條件可以推出古爾薩的條件。(3)造成以上不同的原因是多方面的，與數學家的知識背景、研究方法都不無關系。古爾薩是法國分析學派的典型代表，他從純粹分析角度來定義切觸變換，其觀點仍然是處理與變量密切相關的函數及其關系等問題，屬典型的分析學派。而正如克萊因所言，李是幾何學家，受到普呂克爾幾何思想的影響，他不再拘泥于坐標間關系的限制，并將普呂克爾的線幾何推廣為李球幾何。李定義的切觸變換使一般的平面幾何、普呂克爾的線幾何和李球幾何具有了切觸變換意義下的等價性和相容性。

1.3李對切觸變換的研究在文獻［2］的第一部分中，李專門研究了切觸變換(［2］，218～248頁)。這一部分共八節，前六節分別為:§1.切觸變換的定義§2.任意的切觸變換的確定§3.將x1，…，xn，p1，…，pn的函數變換成x''''1，…，x''''n，p''''1，…，p''''n的函數的切觸變換§4.特征的某種關系的確定§5.齊次切觸變換§6.無窮小的齊次切觸變換以上這些均以切觸變換本身為研究對象，其中很大一部分都是特殊的切觸變換，如齊次切觸變換、無窮小齊次切觸變換等。將李關于切觸變換的工作與前人比較，我們發現:(1)李所創立的切觸變換與前人的定義保持了某些統一性。從歷史上看，勒讓德(A.M.Legendre，1752～1833)引入勒讓德變換將歐拉—拉格朗日方程化為線性方程，普法夫(J.F.Pfaff，1765～1825)則將n變元的偏微分方程變換為2n變元的方程。雅可比也得到了與普法夫類似的結果，并創立了雅可比第一方法。從勒讓德、普法夫、雅可比給出的變換到李所給出的定義，變換形式越來越一般，而應用范圍卻越來越廣。更重要的是李將前人關于切觸變換的零星的特殊研究統一起來，使進一步的研究及統一結論成為可能。(2)在研究目的、定義方式、研究方法等方面，李的切觸變換與前人有著明顯不同。在李的研究出現之前，切觸變換只是被當作一種應用工具，很少有數學家去關注其自身性質，而只是在某種實際問題的特殊要求(為了使微分方程更好求解，或為了使微分方程具有某種一致的對稱性等)下，尋找某種特殊變換;即使所得到的變換具有某種一般性，但既沒有出現統一定義，也沒有體現出統一性質。李對切觸變換的研究則與前人迥然不同，體現在以下方面。首先是研究目的不同。李最初研究切觸變換的目的也是尋求偏微分方程的某種不變性，但在給出切觸變換的定義后，李轉而研究其自身性質，其目的是變換自身的某種不變性，而不僅是其他數學對象在切觸變換之下的不變性。這種轉變是最本質、最具決定性的。其次是定義方式不同。李之前的各種切觸變換定義帶有明顯的應用特征，李不僅真正給出切觸變換嚴格的現代定義，還給出了切觸變換的充要條件。其定義更基本、更一般，涵蓋范圍也更廣泛。第三是研究方法不同。李依據將特定偏微分方程化為全微分方程的條件，確定能夠實現這種轉化的切觸變換，分析該切觸變換滿足的充要條件，并由此開創了一整套研究方法。

1.4李群理論的誕生背景一般認為，真正將李引導到連續變換群的是他1869～1872年的工作以及和克萊因的一些合作［21］。現有研究文獻，或以人物及其工作為研究主線，如［15］，或從不同數學分支分述，如［16］，或兩者并重，如［22］，但少有文獻注意到切觸變換基礎上無窮小變換與微分方程的關系。其實切觸變換和無窮小變換與微分方程都有密切聯系，在李的變換群理論創立中起著舉足輕重的作用。早在1871年克萊因和李就開始研究無窮小變換及其形成的“封閉系統”(［23］，54頁)，并首次將無窮小變換與微分方程聯系起來。對于齊次微分方程引入變換yx=t，則方程變為可分離變量方程，并可通過積分求解。克萊因和李對于方程的這種性質非常著迷，認為容許一個變換才是該方程化為可分離變量方程的真正原因。他們寫到:我們想要探尋方程具有這種性質的真正的內在原因。(［23］，81頁)1876年李連續發表了兩篇文章“變換群理論”(I，II)［6，7］，給出了無窮小變換的具體表示，并得到了微分算子Ak(f)=∑ni=1Xkifxi及微分算子的關系式:Ah[，A]k=∑lclhkAl。后來他直接將微分算子Ak(f)稱作無窮小變換dxi=Xkidt(1≤i≤n)的“象征”。(［7］，165頁)不久便將微分算子Ak(f)本身稱作“無窮小變換”(［24］，588～589頁)。另外，切觸變換理論和無窮小變換通過微分方程發生了聯系，進一步促使李產生了變換群的思想。1876年李證明每一個r-參數群包含了r個相互獨立的無窮小變換，并用如下的記號來表示一個無窮小變換:如果一個變換可以寫為x''''i=xi+δtX(x1，…，xn)，其中δt為一個無窮小量，則將該變換稱為無窮小變換。我們經常將上方程寫為δxi=δtXi(x1，…，xn)。(［7］，155～156頁)

2李創立的變換群理論

1872年10月克萊因發表了愛爾蘭根綱領(ErlangerProgramm)，主要討論了幾何圖形在變換群之下的不變性質，不僅一舉解決了當時若爾當(C.Jordan，1838～1922)考慮的問題，還將其結果納入自己的研究綱領，開創了用群論研究幾何的新時期。李的變換群理論也正肇始于此時期。本部分以切觸變換為中心，從變換群概念的誕生方面進行論述。

2.1“群”的觀念其實李早就有了群的觀念，只是在早期研究中沒有給出“變換群”的定義，也沒有對“群(Gruppe)”加以定義和說明①，而僅是研究了滿足某些帶有“群”的特征的集合。1870年李首次使用了“群”這個術語，但并沒有事先定義“群”的概念。這里的“群”和現代意義上的“群”相去甚遠，僅指對應某一線叢的幾何圖形的全體，大多數情況下僅具有“集合”的意義［25］。在1871年的論文中［23］，李和克萊因用“封閉系統”來表示滿足封閉性的某種變換的集合。這時他們已經有了變換群的觀念，并研究了群的某些性質，只是由于概念和工具限制②，他們的理論缺乏一般性而難以推廣。在1872年的文章中［26］，“群”出現了10次，同樣李也沒有定義和解釋“群”的概念，“群”的含義與1870年的情形大致相同。在1874年的文章中李明確給出了“群”的概念，該文第二部分的標題就是“群論”(TheoriederGruppen)(［2］，248頁)。但他定義的“群”只是滿足一定條件的變換的集合，并沒有特別強調該集合應該滿足的封閉等性質。因此，從“群”的角度來說，將1874年文章第二部分出現的“變換群”稱作特殊的“變換組”則更為合適一些。1874年到1880年李發表了十幾篇關于變換群的文章，這里的“群”充其量只是具有了封閉性的特殊函數或某些變換的集合，并不能真正稱得上“群”。在李看來，連續變換群概念必須要滿足以下性質:(1)它是一類切觸變換;(2)在此種切觸變換下，偏微分方程具有某種不變性;(3)這種切觸變換最好是由一個無窮小生成的變換或稱作與一個無窮小增量所對應的變換;(4)所有切觸變換的集合依賴于r個參數，就形成了一個連續變換群。正因為連續變換群承載了如此多的含義和作用，真正意義上的“連續變換群”概念的產生必然是一個緩慢而漸進的過程。

2.2變換群概念的出現眾所周知，群中單位元素(在變換群里即為恒等變換)和逆元素(在變換群里即為逆變換)的存在非常重要。由于要研究在合成作用下穩定的所有變換的集合，李逐漸意識到恒等變換與逆變換的重要性。1876年李認為能夠證明在具有封閉性的變換的集合中必定先驗地存在恒等變換及一個無窮小變換，并假設所研究的變換群總可以成對的表示為變換及其逆變換。［6］1880年李正式給出了“變換群”的定義，不過這里給出的定義也僅僅是滿足了合成法則的特殊的變換組。他給出的變換群的定義如下:眾所周知，置換理論中已經證明:一個置換群的元素與其逆元素可以認為是成對出現的。而置換群和變換群理論的不同點僅在于，前者含有有限元，而后者則包含有無限個變換。不過很自然(將上述做法推廣)認為變換群的一個變換與其逆變換也是成對出現的。(［28］，444～445頁)1884年恩格爾構造了一個有限連續群，不包含恒等變換，其元素也并不總能成對的表示為變換及逆變換(［11］，174～175頁)。由此李意識到之前假設是錯誤的，并證明引入新的參數以及解析延拓后，總可以達到他最早給出的論斷。(［16］，414頁)定義了變換群后，李進一步定義了兩變換群相似的概念。隨后，李和恩格爾于1888～1893年出版了三大卷的《變換群理論》，在第一卷總結得到了李代數的三條基本定理，給出了李群的局部特征的表示。此外，李也研究了連續變換群的分類和同構問題，最早嘗試對李群進行分類，為基靈(W.Killing，1847～1923)和嘉當(.Cartan，1869～1951)李代數結構的研究開啟了大門。

3切觸變換在李群理論中的作用

本部分我們試圖對以下問題進行初步探索:李創立連續變換群的主要目的是什么?或者說出于什么動機?李是沿著何種路線如何達到這些目的?切觸變換在其中究竟起到什么作用?

3.1以微分方程為中心的研究目的李曾在克里斯蒂安尼亞大學(今奧斯陸大學)受教于希羅(P.L.Sylow，1832～1918)。希羅則是當時歐洲大陸能夠讀懂伽羅瓦理論的少數數學家之一。李意識到了伽羅瓦理論強大的力量，希望將代數方程的伽羅瓦理論推廣用來解決微分方程，并考慮偏微分方程的解在切觸變換下的不變性。他自豪地宣稱要將連續群的概念應用到微分方程上去。(［27］，60頁)眾所周知，伽羅瓦理論的一個基本結果為:代數方程可根式解的充要條件是該方程的伽羅瓦群是可解群。與此相類似，在皮卡-韋西奧理論中，引入了線性齊次常微分方程的伽羅瓦群，并將之稱作微分伽羅瓦群，而線性齊次常微分方程可用積分解的充要條件就是其微分伽羅瓦群是可解群。李則更多地從分析的角度來考慮問題，即:對于一個給定的微分方程組，考慮使該微分方程組保持穩定的底空間的微分同胚群，也就是考慮該微分方程組的解的置換。布爾巴基曾比較貼切地評論道:實際上，對李來說，變換群的理論就像是微分方程的積分工具一樣，就像代數方程中的伽羅瓦理論一樣重要。(［16］，416～417頁)盡管李的目的和出發點受到伽羅瓦理論的強烈影響，但他對伽羅瓦理論的理解卻值得我們思考。在李1874年寫給邁耶(A.Mayer，1839～1908)的信中說:在伽羅瓦之前，代數方程理論的問題是:是否方程可以根式解，如何解?伽羅瓦之后的問題是，用根式解方程的最簡單方法是什么?…我相信是時候應該在微分方程領域也進行類似的工作了。(［24］，586頁)在李看來伽羅瓦理論對代數方程的最直接影響是給出了根式解方程的最簡單方法，這與我們現在的看法多少有些不同。現在認為:對代數方程來說，伽羅瓦理論最要緊之處是給出代數方程可解性的判據。另一方面，對“群結構”的不斷探索深化了人們關于“抽象群”的認識，李在這方面也作出了嘗試。1880年他寫道:我們的問題可以表述為:確定一個流形的所有r參數群。(［28］，443頁)。他將自己的目標描述為:發展出一套關于變換的一般理論，并將其應用到微分方程上去。一方面要尋找能將一個給定的微分方程或者是解析表達式變成給定形式的變換的存在條件，另一方面則在其存在時求出該變換。(［29］，538頁)事實上，用變換來研究給定微分方程的方法已出現在歐拉(L.Euler，1707～1783)、拉格朗日(J-L.Lagrange，1736～1813)和勒讓德的著作中。但這些數學家從未想過研究這些變換的自身性質，也沒有建立包含所使用的特殊變換的一般理論，更很少對這些變換分類。他們只是將變換當做解微分方程的一種工具，更不要說從群的角度來研究微分方程。李的研究動機和目的顯而易見，即:將連續變換群應用到微分方程上去，為微分方程發展出一套積分理論，其中包含了一種變換理論，它可以判斷一個微分方程能否變成給定的形式，并求出該變換。正是通過這種變換理論，李發展出了解微分方程的理論，該理論通過尋求微分方程在變換下的不變性而簡化求解過程。在這個過程中，切觸變換和無窮小變換兩個概念起重要作用，這也正是他研究的出發點。

3.2以切觸變換為基礎的研究方案在1884年的文章中，李詳細的介紹了他的思路:首先建立切觸變換的理論基礎，然后引入無窮小變換的重要概念。首要目標是建立切觸變換的不變量，也就是說研究微分方程在所有切觸變換(或所有的點變換)之下的不變性。第二步是建立帶有有限參數的連續變換群理論，并建立將其應用到微分方程上去的一般理論。(［29］，538頁)在此基礎上，李研究了微分方程在切觸變換下的不變性和該不變性與無窮小變換的關系。1871年他開始研究使得微分方程不變的無窮小變換，并考慮了可交換的變換及其形成的群，這就有可能“或者由此得到一些積分方法，或者可以將問題分成幾個更簡單的問題。”(［29］，547頁)首先，李將對微分方程的研究轉變為對使該方程不變的切觸變換的研究;借助無窮小變換與切觸變換的關系，形成變換群的概念。由此對于微分方程的分類就相當于對變換群的分類。對此，李認為:給定任意階的兩變量的微分方程，它可能容許一個將自身變為自身的切觸變換，而這些切觸變換形成的群一定屬于上面列出中的某一個。在此基礎上，可以對這些方程進行分類，……也就給出了對其進行積分的一個正確理論。(［4］，541頁)作為應用，李將一個平面切觸變換的所有有限連續群化為典范形式，同時研究了屬于這些群的一階、二階和三階微分方程的不變量。以此為基礎就可以原則上解決微分方程的分類問題，從而大大簡化微分方程的積分理論。(［4］，529～542頁)由此我們總結得到李的研究方案，并得出切觸變換在李群創立過程中的中心作用:(1)研究切觸變換，建立切觸變換的不變量理論，研究微分方程在切觸變換下的不變性;(2)將無窮小變換的概念與微分方程聯系起來，探尋微分方程在切觸變換下不變性的真正原因，并將結果應用于微分方程的積分理論的研究中;(3)將微分方程所容許的變換與無窮小變換結合，產生有限參數的連續變換群的概念;研究將任意的變換群化為典范形式的方法，或研究能否將典范群變換成給定的變換群，在此基礎上構造典范群的不變微分方程，對變換群進行分類;(4)將有限參數的連續變換群的性質歸結為無窮小變換的性質;通過相互獨立的無窮小變換的個數對變換群分類，從而對微分方程分類;在此基礎上建立微分方程的系統理論。

4結語

一段時期內(19世紀70年代)，李群理論幾乎完全依賴于李個人的研究工作。一方面李開創了一般意義上的切觸變換理論，將其由一種應用工具上升為數學研究對象及理論，另一方面將切觸變換應用于微分方程，通過無窮小變換，在初步的“群”的觀念下，研究使微分方程不變的某些切觸變換所形成的“群”及無窮小變換的關系，從而創立了連續變換群理論。更重要的是，在應用于微分方程的指引下，李將問題導向了對變換群的分類。由此，該領域有了獨立的研究對象———連續變換群，產生了相對獨立的研究方法，出現了推動該領域發展的主要問題———對連續變換群進行分類。由此，李群理論正式宣告誕生。當然，任何數學領域的創建都不是一朝一夕之功，也很難僅憑一人之力維持發展，隨著三大卷《變換群理論》的出版，李群理論的接力棒交到了基靈和嘉當手中。基靈和嘉當在19世紀末期使李代數形成了自己的研究方法，而嘉當在20世紀初的一系列研究則加強了上述方法，并形成了李代數最開始的中心問題:復和實的有限維李代數的結構及表示理論。由此形成了早期李群的中心問題:李群及其李代數的結構和分類問題(也涉及李群的線性表示問題)，從19世紀70年代李創立連續變換群理論直到1925年，這個主題從未改變。1925年外爾創立整體李群理論，發展出真正融合了幾何、代數和分析的李群表示理論。以此為標志李群理論進入了真正意義上的現代李群發展階段，數學學科也進入了一個飛速發展時代。在與其他數學分支乃至其他學科不斷的交叉滲透下，到20世紀50年代中期，李群李代數理論不僅成為了數學科學的中心，還對物理、化學等學科影響頗深，在理論和應用上也產生了多方面重要影響。這為數學史、科學史工作者提供了大量研究素材，同時也為我們提出了許多更加深刻和重要的研究課題。

作者：閻晨光鄧明立單位：河北科技大學理學院中國科學院自然科學史研究所河北師范大學數學與信息科學學院