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20世紀下半葉以來,數學應用的巨大發展是數學發展的顯著特征之一。當今知識經濟時代,數學正在從幕后走向臺前,數學和計算機技術的結合使得數學能夠在許多方面直接為社會創造價值,同時,也為數學發展開拓了廣闊的前景。因此,數學教學在數學應用和理論聯系實際方面需要大力加強。同時,加強數學應用的教學活動符合社會需要,有利于激發學生學習數學的興趣,有利于增強學生的應用意識,有利于擴展學生的視野。數理統計課程則更是由于它的課程特點,要求學生在理論學習的基礎上應更側重于數學的應用能力。因此,我們更要在數理統計的教學中加強數學應用的教學活動,使學生的數學知識能夠真正地學以致用。

1指導學生正確使用統計軟件

數理統計學是研究如何有效地收集數據,如何對數據進行處理,以便對問題進行推斷或預測,從而對決策和行動提供依據和建議。在實際問題中,我們面對的數據量并不是象教科書中的課后習題那樣可以用筆算處理,龐大的數據量要求我們必須借助計算機得到數據處理結果。計算機技術的應用正在對數理統計課程內容、教學和學習等方面產生深刻的影響。數理統計課程應提倡實現信息技術與課程內容的有機整合,整合的基本原則是有利于學生認識數理統計思想方法的本質。利用信息技術來呈現以往教學中難以呈現的課程內容,在保證筆算訓練的前提下,盡可能鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發現。同時也要避免出現某些忽視理論的做法,比如有些學生因為大量數據要交給計算機處理,于是就把軟件說明書當做數理統計教科書。實踐表明,數學的理論是應用的基礎。在應用統計軟件處理問題時,只要輸入數據,在菜單中選擇方法,程序就會給出結果。但是用戶是否選擇了正確的方法,是否能正確地解讀輸出結果則是由用戶的理論知識決定的。

我們曾經在某學期的教學過程中要求學生做一個案例分析(案例來自于于洪彥主編,高等教育出版社出版的《Excel統計分析與決策》):高爾夫球的外膜檢驗。問題如下:某大地公司是一家較大的高爾夫球設施制造商。經理認為引進某種耐磨、持久的高爾夫球會使大地公司的市場占有率增加。因此大地公司的研究小組致力于一種更加耐用的球,為此進行一項高爾夫球外膜的調查。研究者之一關注新外膜對擊球距離的影響。大地公司希望新的耐磨球與當前型號的高爾夫球有相同的擊球距離。為比較兩種球的擊球距離,用40只新型號球與40只當前型號球來做距離檢驗。為了能將兩型號的平均距離的差別歸因于方案的不同,檢驗是由一個機械擊球裝置來進行的。檢驗結果給出兩種型號的數據各40個(略),要求學生分析數據,給出對大地公司有何建議;討論是否需要更大的樣本容量對高爾夫球做進一步檢驗。提示學生對每種型號的數據給出描述性的統計總結,可以運用假設檢驗的基本原理和有關置信區間的討論。

這是一個對來自兩個總體的樣本進行均值比較的問題,在案例分析過程中,有部分學生是應用Excel得到的數據結果。這部分學生都選擇了用于對來自正態總體的兩個樣本進行均值比較上使用的T檢驗法,但大都忽略了對每種型號的數據給出描述性的統計總結的提示,也沒有分析兩個樣本是否來自正態總體,一部分學生在做了方差齊性檢驗之后選擇了等方差雙樣本檢驗,一部分學生直接選擇異方差雙樣本檢驗。部分學生不明白程序返回的數值含義,因此不能正確解讀程序輸出結果,不能正確理解其實際意義,無法對實際問題作出分析。事實上,兩個樣本確實是來自正態總體具有方差齊性的獨立樣本,可選擇等方差雙樣本T檢驗。但這些都需要學生具有相應的理論知識,選擇正確的統計過程,一步一步分析得到。因此我們就要不斷探索在教學中指導學生處理好理論學習和實際應用的關系,指導學生掌握統計軟件的正確使用。

2指導學生在應用中分析數學定理方法所適用的條件學生在學習過程中更傾向于記憶公式定理和統計方法的步驟,即使在講授過程中反復強調定理和方法的條件,學生通常也不會重視,學生練習的課后習題一般都是滿足定理和方法要求的簡化了的應用題,因此學生在處理實際問題時,基本不考慮統計方法適用的條件,這就要求我們要更多地通過數學應用的教學活動,指導學生在數學應用中分析數學定理方法所適用的條件。

以置信區間和假設檢驗部分為例,學生基本掌握如何求解單個正態總體的均值和方差的置信區間、兩個正態總體的均值差和方差比的置信區間;基本掌握假設檢驗的基本步驟。那么如何真正理解學生對方法的掌握？是否會按步驟進行計算即可？在上述高爾夫球的案例分析中,部分學生的研究報告陳述如下:設12μ,μ表示耐磨球和原有球的距離,則需假設檢驗:012H:μ=μ,112H:μ≠μ。對于兩個正態分布的均值檢驗,σ未知時首先要對12σ,σ是否相等進行檢驗,即檢驗22012H:σ=σ,22112H:σ≠σ,之后為選取統計量、確定拒絕域、由數據計算得出結論。在2212σ=σ的條件下,針對假設,012H:μ=μ,112H:μ≠μ,繼續選取統計量、確定拒絕域、由數據計算得出結論耐磨的球與原來的球距離相等,建議公司將球更換為耐磨球。每種型號的總體均值的95％置信區間和兩總體均值差的95％的置信區間則運用教材給出的公式進行了計算,并判定應該擴大樣本容量再次檢驗。

學生的報告是一個完成課后習題的過程,而課后習題的特點是已將實際問題假設為數據完全符合數學方法所要求的條件,比如兩個總體服從正態分布。我們在教學過程中就要引導學生認識到,本案例作為一個實際問題,檢驗結果只給出兩種型號的數據各40個,兩組數據是否來自正態總體,這個問題首先就要進行分析。如果試圖比較的兩個變量明顯不是正態分布,則應該考慮使用一種非參數檢驗過程。在方差分析、回歸分析中也會遇到上述問題。對于一個既定的統計模型,為了進行有效的統計推斷,通常都需要有一組假設條件,只有當觀測數據滿足這些條件時,有關的統計推斷才是合理的。如果不考慮數據是否滿足這些條件,盲目地選擇方法會對實際問題給出錯誤的統計結果。

總之,我們要更多地通過數學應用的教學活動,使學生學會如何通過分析觀測數據選擇正確的統計方法處理數據,并正確地運用統計軟件得到數據分析結果,解決實際問題。