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概率統(tǒng)計(jì)區(qū)別于學(xué)生先前所學(xué)的確定性數(shù)學(xué)，它屬于不確定性數(shù)學(xué)，課程中的結(jié)論形式往往會(huì)以“一定的概率成立的形式”出現(xiàn)，如置信區(qū)間θ（，）θ，它是以一定的概率包含參數(shù)θ的區(qū)間，即PθX1，X2，…，（X）n＜θ＜θX1，X2，…，（（X））n≥1－α．由于學(xué)生第一次接觸不確定性數(shù)學(xué)，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)中概念的內(nèi)涵、外延及它們之間的相互關(guān)系難以理解，這是多數(shù)學(xué)生學(xué)不好該門課程的主要原因之一．理解可以被認(rèn)為是在兩個(gè)信息塊之間建立某種聯(lián)系，學(xué)生理解的程度是由關(guān)系的數(shù)量、準(zhǔn)確性以及強(qiáng)度所決定的［1］．?dāng)?shù)量越多、準(zhǔn)確性和強(qiáng)度越高，那么理解就越深刻，而學(xué)生往往難以建立概念間的關(guān)系，所學(xué)到的知識(shí)是彼此孤立、零散的，他們不能在頭腦中形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，對(duì)概念的內(nèi)涵和外延不能深度理解．一種認(rèn)知工具———概念圖恰好可以用來改善這一情狀，頗有“對(duì)癥下藥”的意味．

1概念圖

1．1概念圖的由來．

概念圖是在20世紀(jì)60年代由美國康奈兒大學(xué)心理學(xué)家諾瓦克教授等人提出的，1984年在《學(xué)習(xí)如何學(xué)習(xí)》著作中系統(tǒng)地介紹了概念圖，此后，它作為一種組織和表征知識(shí)的工具，在一些歐美國家逐漸成為了一種比較盛行的教學(xué)形式．然而，在國內(nèi)概念圖的研究相對(duì)滯后，僅在近幾年才開始有學(xué)者進(jìn)行介紹、引進(jìn)，并試圖在教學(xué)中應(yīng)用，因此，概念圖在我國教學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用研究還很不普及，在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用研究還處于起步階段．

1．2概念圖的內(nèi)涵．

概念圖是用來組織和表征知識(shí)的工具，它通常是將有關(guān)某一主題不同分支和不同級(jí)別的概念置于方框中，再以各種連線將相關(guān)的概念連接，這樣就形成了關(guān)于該主題的概念網(wǎng)絡(luò)，以此形象地說明概念的內(nèi)涵、外延和相互之間的關(guān)系，從而表征學(xué)習(xí)者對(duì)于特定的概念是如何理解和相關(guān)聯(lián)的．概念圖是由3部分組成：節(jié)點(diǎn)、連線、連接語詞．節(jié)點(diǎn)表示概念；連線表示兩個(gè)概念之間的意義聯(lián)系，并用箭頭符號(hào)指示方向；連接語詞是用來標(biāo)注連線的，描述兩個(gè)概念間的關(guān)系．連線被貼上了標(biāo)簽，被貼上標(biāo)簽的連線解釋了節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，箭頭描繪出關(guān)系的方向，這樣讀起來就像一句話．諾瓦克在《學(xué)習(xí)如何學(xué)習(xí)》著作中介紹了概念圖的制作［2］，但由于概率統(tǒng)計(jì)概念本身具有對(duì)偶性，比如離散型與連續(xù)型，估計(jì)與檢驗(yàn)等，因此為使概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)概念圖能夠較好地體現(xiàn)事實(shí)、規(guī)律和公式等知識(shí)及其應(yīng)用方法，概念之間的關(guān)系可能是對(duì)象與對(duì)象、對(duì)象與過程，或是過程與過程等之間的復(fù)雜關(guān)系，也難免牽涉到與運(yùn)算之間的關(guān)系，與圖形之間的關(guān)系等，它們不是簡單的字句所能代表的，因此節(jié)點(diǎn)可能會(huì)以數(shù)學(xué)式或圖形的形式出現(xiàn)，為此，對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)概念圖來說，可以以較寬泛的意義來看待概念圖，允許學(xué)習(xí)者以數(shù)學(xué)式、圖形等作為節(jié)點(diǎn)來表征知識(shí)（如圖1）．概念圖的實(shí)踐價(jià)值．在諾瓦克看來，概念圖是用視覺再現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、外化概念和命題的一種方法，由于每個(gè)人感知事物及其規(guī)律的差異，每個(gè)人制作的概念圖結(jié)構(gòu)也各不相同，因此學(xué)生制作的概念圖在很大程度上反映了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師可以據(jù)此了解學(xué)生知識(shí)的掌握情況，獲得教學(xué)反饋．從圖1可以看出，概念圖用視覺表征的優(yōu)勢(shì)在于：視覺符號(hào)容易被快速識(shí)別；用較少的凝縮在概念圖中的言語來了解大量的信息；最低限度地使用文本，使學(xué)生容易掃視概念間關(guān)系的大意；視覺表征創(chuàng)造了單獨(dú)使用語詞所不能傳達(dá)的整體理解力．不難看出，概念圖的理論內(nèi)涵和實(shí)踐價(jià)值大大超過了一般意義下的概念關(guān)系表，這不能不說是知識(shí)呈現(xiàn)的一個(gè)里程碑．

2概念圖在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用

2．1概念圖可作為先行組織者．

在過去的教學(xué)中教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)學(xué)生要重視概念的理解，反對(duì)死記硬背，并不斷地創(chuàng)新新的教學(xué)方法促使學(xué)生有意義學(xué)習(xí)．建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，只有學(xué)生將新知識(shí)同化到已有概念框架中，有意義學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生，采用先行組織者策略就是一種促使學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的好方法［2］．先行組織者策略是根據(jù)奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論，設(shè)計(jì)出相互聯(lián)系的內(nèi)容群，在演繹推理中首先出現(xiàn)范圍較廣的上位概念，接著出現(xiàn)范疇較狹窄的下位概念［3］．先行組織者的使命，一是把上課的內(nèi)容與學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，二是幫助學(xué)習(xí)者組織所要學(xué)習(xí)的材料，以幫助學(xué)習(xí)者順利接受新知識(shí)．概念圖所具有的功能正適合扮演這一角色．上課伊始，教師呈現(xiàn)給學(xué)生的作為先行組織者的概念圖，所選擇的概念應(yīng)包含學(xué)生已經(jīng)熟悉的學(xué)習(xí)過的概念，還應(yīng)包含馬上要學(xué)習(xí)的新概念，如老師講完概率論后講數(shù)理統(tǒng)計(jì)時(shí)，應(yīng)幫助學(xué)生比較它們的研究條件、研究對(duì)象、研究內(nèi)容和思想方法，并以概念圖的形式展現(xiàn)給學(xué)生（如圖2）．這樣就把要學(xué)習(xí)的新概念組織在原有的學(xué)生已經(jīng)熟悉的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，促使新舊知識(shí)同化．教師可以將概念圖畫在黑板上，也可以用幻燈片、計(jì)算機(jī)等工具以投影方式呈現(xiàn)，在這樣呈現(xiàn)的視覺信息基礎(chǔ)上，教師再對(duì)概念圖上的連接線及連接語的意義做出解釋，并用客觀事例加以說明，這樣學(xué)生就在新概念與原有概念間所構(gòu)成的各種有意義的聯(lián)系中接受了新概念及相應(yīng)的新學(xué)知識(shí)，這時(shí)有意義學(xué)習(xí)就發(fā)生了．

2．2概念圖是學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)整理知識(shí)的一種有效工具．

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)考試難以達(dá)標(biāo)，究其原因，主要是學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解水平較低，知識(shí)結(jié)構(gòu)和問題解決技能存有很大缺陷，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)中眾多的基本概念和方法記不牢．一種有效的解決方法，就是促使學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)使用概念圖．學(xué)生構(gòu)建概念圖時(shí)，通過概念的列舉，促使學(xué)生自覺地回憶這些概念，提高記憶效果；通過將概念分成不同的模塊，抓住關(guān)鍵概念，分清一般概念和具體概念，促進(jìn)學(xué)生把握概念的內(nèi)涵與外延，加深對(duì)概念的理解；通過層級(jí)排列和連接，有助于學(xué)生建構(gòu)概念間的關(guān)系，從而提高問題解決能力．概念圖還可使零散的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，形成圖式（如圖1所示），圖式是一種記憶結(jié)構(gòu)，人的認(rèn)知必須依靠記憶中已有的圖式通過同化和順化對(duì)外部的剌激作出的反應(yīng)，在人腦中構(gòu)造圖式．“認(rèn)知心理學(xué)家通常將這種對(duì)所學(xué)命題有所增添或補(bǔ)充的過程稱為精致”［4］，因此概念圖還是一種“精致結(jié)構(gòu)”．比如教師要求學(xué)生以伯努利大數(shù)定律為主題畫概念圖，某一學(xué)生所畫概念圖如圖3所示．該學(xué)生在一系列復(fù)習(xí)活動(dòng)中，不斷地反思，修改概念圖．在參與小組討論后添加了該定律的“內(nèi)涵”，參與班級(jí)交流后又添加了該“定律與切比雪夫定律和辛欽定律之間的關(guān)系”，觀看老師提供的概念圖后又添加了該定律的“一個(gè)推廣”，隨著學(xué)習(xí)的深入，該學(xué)生還會(huì)在這概念圖中添加更多的內(nèi)容，使概念圖趨于完善、精致，如圖4所示．安德森認(rèn)為：對(duì)學(xué)習(xí)材料所作的精致越充分，越能導(dǎo)致良好的記憶［4］．因此使用概念圖復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)是一種有效的方法．從圖4中還可以看出，它與傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)方法———?dú)w納要點(diǎn)法和知識(shí)框圖法相比較，概念圖更適合作為學(xué)生復(fù)習(xí)的工具．與歸納要點(diǎn)法相比較，概念圖形式上更為凝聚、簡潔，概念圖以概念為出發(fā)點(diǎn)建立定理和公式，更能體現(xiàn)定理和公式的本質(zhì)含義，與知識(shí)框圖法相比較，概念圖呈現(xiàn)的知識(shí)更為具體、全面，所包括的知識(shí)范圍更加靈活．

2．3概念圖是教師檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)的工具．

2．3．1檢測(cè)學(xué)生的錯(cuò)誤理解．從學(xué)生的概念圖中，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生頭腦中存在的對(duì)概念的錯(cuò)誤理解，而這些在傳統(tǒng)檢測(cè)形式中不能很好地外顯出來．比如教師只給出頻率和概率兩個(gè)概念，要求學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)概念圖，有不少學(xué)生畫的概念圖如圖5所示，從該圖中反映出在學(xué)生的頭腦中存在的對(duì)概念的錯(cuò)誤理解．按極限定義：任意給定的ε＞0，總存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，一定有fn（A）－p＜ε，或者說fn（A）－p≥ε這種現(xiàn)象絕對(duì)不會(huì)發(fā)生．而依概率收斂不同，它是指fn（A）－p＜ε成立的可能性是近似于百分之百，但也有可能出現(xiàn)fn（A）－p≥ε這種現(xiàn)象，只是這種現(xiàn)象發(fā)生的可能性非常的小，因此概念圖中出現(xiàn)的“等同”這一連接和“也可表示為”這一連接是學(xué)生的錯(cuò)誤理解．

2．3．2檢測(cè)學(xué)生掌握知識(shí)的綜合水平和能力．傳統(tǒng)檢測(cè)雖有其優(yōu)點(diǎn)，比如題目簡單明了，深難度容易掌握，批改容易．但也存在諸多不足，比如每個(gè)題目知識(shí)的覆蓋面不夠?qū)挘话銉H能檢測(cè)學(xué)生對(duì)零散知識(shí)的理解和掌握的程度，無法檢測(cè)出學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)以及對(duì)知識(shí)間相互關(guān)系的認(rèn)識(shí)等，而概念圖檢測(cè)方法不同，它不但可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體把握，擴(kuò)大對(duì)知識(shí)的檢測(cè)面，還可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)之間有機(jī)聯(lián)系的理解程度、理解能力和歸納推理能力等．比如老師給出下列一個(gè)不完整的概念圖，要求學(xué)生根據(jù)所學(xué)的知識(shí)給予補(bǔ)充（如圖6所示）．教師就可以從學(xué)生所完成的概念圖情況，了解學(xué)生對(duì)大數(shù)定律掌握的大量信息，還可以看出學(xué)生理解知識(shí)的方式，概念圖為學(xué)生提供的檢測(cè)結(jié)果是學(xué)生頭腦中關(guān)于知識(shí)結(jié)構(gòu)的圖示化再現(xiàn)．因此利用概念圖可以全面檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)．（答案是：①隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均收斂于其期望的算術(shù)平均②是特列③是特列④n重貝努利試驗(yàn)⑤limn→"P1／n∑ni＝1Xi－1／n∑ni＝1E（X）i＜｛ε｝＝1⑥獨(dú)立，同分布場(chǎng)合．）學(xué)生頭腦中存在的錯(cuò)誤理解以及學(xué)生掌握知識(shí)的綜合水平和能力，在傳統(tǒng)的習(xí)題訓(xùn)練中難以具體發(fā)現(xiàn)，而大量的習(xí)題訓(xùn)練的確可以提高學(xué)生傳統(tǒng)考試形式的成績，學(xué)生雖然在傳統(tǒng)形式的考試中取得了好成績，但這些錯(cuò)誤理解仍然存在，也不能體現(xiàn)學(xué)生的綜合水平和能力，過去常說的“高分低能”就是一個(gè)例子．因此概念圖是一種幫助教師檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)的良好工具，教師可依此采取相應(yīng)的教學(xué)補(bǔ)救措施．

3概念圖的制作策略

概念圖的制作沒有嚴(yán)格的程序規(guī)范，一般來說，先選定自己熟悉的某一知識(shí)領(lǐng)域，確定關(guān)鍵概念并排序，擬定概念的層級(jí)布局，進(jìn)行各級(jí)鏈接，最后反思與完善．但對(duì)于初次接觸概念圖的學(xué)生來說，應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則．布置任務(wù)的形式由結(jié)構(gòu)化逐漸轉(zhuǎn)向弱結(jié)構(gòu)化．開始的任務(wù)可以是驗(yàn)證，讓學(xué)生評(píng)價(jià)一個(gè)完整的概念圖并進(jìn)行修改，經(jīng)過幾次實(shí)踐后，學(xué)生會(huì)逐漸掌握概念圖的制作邏輯．接著可以是添加任務(wù)，向已有概念圖中添加一個(gè)概念或幾個(gè)概念．隨后可以進(jìn)行限定清單任務(wù)，只給學(xué)生一個(gè)概念名單和連接語詞．最后進(jìn)行創(chuàng)建，只給學(xué)生一個(gè)主題，學(xué)生可根據(jù)掌握知識(shí)的數(shù)量和對(duì)知識(shí)的理解程度創(chuàng)建概念圖，這樣有利于學(xué)生向制作多個(gè)主題的概念圖過渡，建構(gòu)較龐大的概念圖．值得注意的是，初學(xué)者制作的概念圖中所標(biāo)注的連接語詞常常是難以區(qū)分的，如包含和相關(guān)聯(lián)．盡管這些連接語詞有時(shí)是正確的，但他們不能清晰地說明兩個(gè)概念之間的關(guān)系，因此要促進(jìn)他們?cè)敱M地思考連接語詞，以明確的連接語詞來標(biāo)注概念之間的關(guān)系．例如，以兩隨機(jī)變量相等作為協(xié)方差和方差之間的連接語詞，不僅揭示出協(xié)方差與方差是相關(guān)聯(lián)的，而且揭示出它們之間是如何相關(guān)聯(lián)的．

4結(jié)束語

概率統(tǒng)計(jì)作為大學(xué)中絕大多數(shù)專業(yè)的學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課程，各高校給予了高度的重視，教育工作者也一直在探索新的教學(xué)方法，促使學(xué)生努力學(xué)好該課程．我們研究概念圖在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用，旨在促使學(xué)生自覺地利用概念圖進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的探究能力．因此這項(xiàng)研究將會(huì)成為教師長期研究的一項(xiàng)課題．