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[摘要]我們分析了當借貸利率不等的無風險資產(chǎn)存在時的投資機會約束規(guī)劃問題，分不同情況討論給出了該規(guī)劃問題的解析解，對現(xiàn)實的投資決策具有一定的參考價值。

[關(guān)鍵詞]無風險資產(chǎn)投資機會約束模型解析解

在現(xiàn)實生活中，投資決策者進行投資決策時，有時會首先根據(jù)個人的實際情況確定一定的目標，要求實際收益率比某一期望收益率要大，并以該目標為約束制定相應(yīng)的最優(yōu)策略使風險最小。Charnes和Cooper提出，在不利情況發(fā)生時，可允許所作的決策在一定程度上不滿足約束條件，但該決策應(yīng)使約束條件成立的概率不小于某一置信水平。這被稱之為投資機會約束。

假設(shè)在一個不確定的資本市場上，存在n種可交易的風險資產(chǎn)和一種既可借入，同時也可貸出的無風險資產(chǎn)。風險資產(chǎn)的收益率記為x1,x2…xn,將其表示為隨機向量X，X的期望為μ＝μ1，μ2，…μn，方差cov(X)記為Σ＝(σij)，X□N(μ，Σ)分布。同時，我們設(shè)該無風險資產(chǎn)的貸出收益Rf1小于該無風險資產(chǎn)的借入成本Rf2。以n維向量ω＝(ω1,ω2,…ωn)T記在風險資產(chǎn)上的投資結(jié)構(gòu)，即在x1,x2…xn上分配的資產(chǎn)比例。則整個的投資結(jié)構(gòu)可以記為(ωl0,ωb0,ω1,ω2,…ωn)T=(ωl0,ωb0,ωT)T。其中ωl0,ωb0分別指在無風險資產(chǎn)上的貸出和借入。滿足以下約束：

ωl0-ωb0+eTω=1，其中e=(1,1,…1)T

ωl0≥0，ωb0≥0

這時的期望收益率為：

，相應(yīng)的風險用方差ωTΣω表示。存在借貸利率不等的無風險資產(chǎn)時，投資機會約束可表示為：

prob(XTω+ωl0Rf1-ωb0f2>R)≥a

若在指定的收益率r下使投資風險ωTΣω最小，從而形成以下的規(guī)劃問題：

因為：

令A(yù)=eTΣ-1e，B=μTΣ-1e,C=μTΣ-1μ,△＝AC-B2>0,

下面我們求解規(guī)劃問題P2：

記E=ωTμ＝(ωl0Rf1-ωb0Rf2)，，機會約束意味著點(E,σ)與(0,R)連線的斜率不小于a，規(guī)劃問題P2的解取決于機會約束線RF同有效邊界Rf1M1M2N的交點。如圖:

點(0，R)，連線的斜率為：

參考文獻：

[1]韓其恒唐萬生李光泉:機會約束下的投資組合問題.系統(tǒng)工程學(xué)報，2002，17(1):87～92

[2]唐小我曹長修:組合證券投資有效邊界的研究.預(yù)測.1993，12(4):35～38

[3]MertonRC.Ananalyticderivationoftheefficientfrontier.JournalofFinanceandQuantitativeAnalysis,1972,(9):1851～1872