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摘要:指出數值分析課程特點和當前存在的不足,介紹了優秀數值計算軟件Matlab,結合教學實踐,從抽象內容直觀化、復雜計算簡單化、數值實驗強基礎和案例分析長才干四方面,探討基于matlab平臺的工科碩士研究生數值分析教學改革。

關鍵詞:數值分析;Matlab;教學實踐

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Abstract:ThispaperpointsoutthefeaturesofnumericalanalysiscourseanditspresentshortcomingsandintroducesMatlab,anadvancedsoftwareofnumericalanalysis.Besides,withregardtotheteachingpractice,thepaperstudiestheteachingreformofMatlab-platform-basednumericalanalysisforpostgraduatesofengineeringmajorfromthefouraspectsofvisualizingtheabstract,simplifyingthecomplexcomputing,enhancingthebaseofnumericalexperiment,andimprovingabilityofcaseanalysis.

Keywords:numericalanalysis;Matlab;teachingpractice

隨著計算機技術的迅猛發展,科學計算已經與實驗研究、理論分析并稱為科學研究的三大方法,借助于計算機和數值計算理論,人們能對自然科學、工程技術、經濟管理及至人文社會科學領域中的數值模型求出數值解。因此,要求改革數學課程教學的呼聲日益增長,而數值分析課程以其獨特的特點首當其中,提高數值分析教學質量,培養學生數學素養,掌握實用算法并能熟練利用計算機求解成為當務之急。

一、數值分析課程的特點與現狀

(一)課程內容多雜而教學時數少

本課程包括了數值逼近(插值、函數逼近,數值積分與微分),數值代數(線性方程組求解、矩陣特征值與特征向量),方程求根(非線性方程(組)求解,解微分方程)等內容。在運用傳統教學方法講授這些知識時,由于公式多,推導過程繁瑣,加上教學時數少(54學時),很多內容難以說清楚,致使學生產生厭學情緒,教學效果大打折扣。

(二)計算復雜

解題時,一般都要進行大量的計算,不是一支筆、一張紙,外加一臺計算器能順利解決的,因此學生只能做一些簡單的數值模擬題,難以領會和理解方法的計算要領和步驟,體會問題的條件和限制范圍,理解一般問題和特殊問題的區別。

(三)重理論輕實踐

傳統課程只注重講授數值方法的原理,課堂教學占去整個教學過程的絕大部分時間,學生沒有實驗、實踐的深刻體會,不能全面理解和運用教材中的算法。

(四)直觀性差

課堂教學中難以對一些重要概念、重要現象進行直觀展示,學生只是被動記憶一些結論,并不真正理解。

二、Matlab——優秀的數值計算軟件

美國Mathwork公司于1967年推出了適用于不同規格計算機和各種操作系統的數學軟件包-Matlab[1],它集數值計算、符號分析、圖形可視化、文字處理于一體,語法簡單、操作方便、界面友好,只要有點Windows操作經驗,在短時間內就可學會它的操作和使用方法,而且其編程效率遠優于BASIC、FORTRAN、C等軟件。它具有很好的開放性,以它為基礎開發的二十多個工具箱,可用于解決諸多學科專業中的數值計算問題。該軟件已成為發達國家高等院校理工科學生必須掌握的基本軟件,也是科學研究和工程設計部門解決具體問題的一種標準軟件。用過（中國論文聯盟整理）它的人都感嘆:用Matlab處理矩陣-容易;用Matlab實現可視化-輕松;用Matlab編程-簡潔!

三、數值分析課程教學改革實踐

針對數值分析課程的特點和傳統教學中的不足,筆者在多年的教學實踐中,將Matlab軟件應用于數值分析教學,取得了良好的教學效果。主要做法如下。

(一)抽象內容直觀化

心理學研究表明,與抽象的內容相比,學生易于識記生動、形象、有趣的學習材料。如果能將抽象的數學知識直觀的呈現在學生們面前,無疑將會極大地激起學生的學習興趣,Matlab強大的可視化功能正好能做到這一點。一個典型的例子是在引入分段低次插值時,為了讓學生更好地理解Runge現象,利用屏幕動態地顯示f(x)=11+x2插值函數圖象[2]31。

在[-5,5]上取等距節點(給定n,共取n+1個點)

xk=-5+k·10n,k=0,1,2,…,n。

構造拉格朗日插值多項式Ln(x),隨著n的增大,在區間端點附近Ln(x)與f(x)接近程度越差,形象的說明了高次插值函數近似f(x)的效果并不好,為講授分段低次插值做了個很好的引子。

借助于Matlab平臺,函數逼近中的誤差分布,數值積分方法的改進,迭代過程等等均能很容易直觀地呈現在學生面前。

(二)復雜計算簡單化

數值分析難,主要難在運算過程(公式)復雜,大部分時候難以靠一支粉筆在黑板上一步一步的演算,學生課后練習也只能做一些簡單的數值模擬。而Matlab強大的數值計算功能,幫助我們解決了這個問題。

例如,用雅可比迭代、高斯-賽德爾迭代和超松弛迭代求解線性方程組的數值計算,計算量非常大,按照教材講解,只能簡單地告知結果,學生積極性不高,利用Matlab編寫三個簡單的小程序,便可將計算結果(甚至每一步的迭代結果)直觀地展示給學生。

例1分別用雅可比迭代、高斯-賽德爾迭代和超松弛迭代解線性方程組[2]213

并比較收斂速度,取精度=10-5。其精確解為x*=(-1,-1,-1,-1)T。

教學中,用自編的程序,很快得出了下列結果,并比較了方法的優劣(見表1和表2)。

數值分析教學中,這樣的例子比比皆是,只要教師認真設計,不僅能大大激起學生對學習內容及過程強烈的興趣,而且還對初步培養學生科學計算能力起到了重要作用。

(三)數值實驗強基礎

數值分析是一門實驗性較強的學科,上機實驗不僅能加深學生對算法穩定性,理論可靠性及計算復雜性的理解,培養學生的編程能力,還能培養學生質疑問題的能力和創新精神。因此每章結束后,都提供一兩個問題要求學生利用MATLAB軟件,自編程序或利用其庫函數求解問題,分析結果。如學習線性方程組迭代法后,提供一個高階病態的線性方程組,要求學生用各種方法上機求解,并對結果進行分析,找出收斂較快的迭代法,尋求最佳松弛因子。

(四)案例分析長才干

實踐性是數值分析課程區別于其它數學課程的一個重要特征。每個部分內容結束后,安排一個案例分析,幫助學生從“算”數學過渡到“用”數學。如海底測量(插值),估計水塔的水流量(插值、數值微分與積分),投入產出分析(線性方程組),商品的產量與價格(方程求根),導彈系統的改進(微分方程)等。通過這些案例分析,既使學生認識到數值分析的實用性,又讓學生領略了Matlab的強大功能,積累了用數學軟件解決實際問題的經驗。由于教學時數的限制,案例分析一般由學生課后完成,教師負責指導。

四、結束語

數值分析是研究如何用計算機解決實際問題的課程,將Matlab與數值分析課程結合起來,開闊了學生思路,拓展了解決問題的方法,取得了較好的教學效果,學生做畢業論文,甚至在實際工作中遇到有關難題時,經常當面或通過郵件與我進行探討。學生普遍反映數值分析課程內容多,實踐性強,應用廣泛,費時費力,但學下來最有用,收益終生。

參考文獻:

[1]]周品,趙新芬.Matlab數學建模與仿真[M].北京:國防出版社,2009.

[2]李慶楊,王能超,易大義.數值分析(第四版)[M].武漢:華中科技大學出版社,2006.

[3]劉彩云,陳忠.《數值分析》課程教學改革的若干思考[J].長江大學學報:自然科學版,2009,6(1):358-359.

[4]曾繁慧,高雷阜,胡行華.基于Matlab的《數值分析》教學改革研究[J].高教論壇,2008(3):60-61.

[5]石辛民.“計算方法”課是Matlab語言的最佳切入點[J].高等理科教育,2002(5):63-65.