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摘要：關于變密度紙帶振動的研究多數局限于小撓度線性問題的討論，對于變密度印刷紙帶大撓度非線性振動問題的研究很少。然而，在實際中，由于印刷圖文的分布不同紙帶的密度是變化的。研究變密度運動印刷紙帶的非線性振動特性。基于vonKarman薄板理論推導出軸向運動紙帶大撓度振動方程，應用Bubnov-Galerkin方法對振動偏微分方程組進行離散，利用橢圓積分法對微分方程進行求解，得出紙帶非線性振動的頻率表達式。分析了不同初始條件下，密度系數，無量綱運動速度和長寬比對運動紙帶大撓度振動復頻率的影響。該研究為提高印刷設備的工作穩定性提供理論依據。

關鍵詞：非線性振動變密度印刷紙帶Bubnov-Galerkin法

引言

在實際的印刷中，紙帶的面密度是變化的，如印刷車間中紙張的溫、濕度就影響紙張的面密度。在印刷過程中，圖文分布狀況不同必然引起紙張面密度的變化。在印刷的過程中，不均勻的面密度會影響紙張的振動特性，降低印刷紙帶的工作平穩性，印品容易發生卷曲、撕裂、皺褶等問題。因此，研究變密度運動矩形紙帶的非線性振動特性，對有效地控制印刷過程中紙帶的大撓度振動，提高印品套印精度具有重要意義。目前，很多學者研究了軸向運動系統的非線性振動特性。陳立群等［1-3］系統地研究了弦線、梁和板的非線性振動特性及穩定性問題。GhayeshMH等［4］基于vonkarman薄板理論，通過能量法研究了軸向運動薄板的受迫非線性動力學問題。劉金堂等［5］基于vonkarman非線性大撓度理論，利用達朗貝爾原理建立系統的動力學模型，研究了軸向變速運動大撓度薄板橫向振動的穩定性。李銀山等［6］應用多尺度法研究了正交各向異性圓板在簡諧激勵下的非線性受迫振動的亞諧分岔問題。SoaresRM和GonalvesPB［7］用有限元法分析了承受橫向諧波壓力的環形薄膜的非線性振動特性。李曉軍和陳立群［8］應用多尺度法研究了軸向變速運動梁的橫向振動和穩定性。BanichukN等［9］研究了簡單邊界條件下薄膜的運動速度與穩定性的關系。趙鳳群和王忠民［10］對四邊固支矩形運動薄膜的非線性振動特性進行了分析。戈新生和李德雙［11］研究了軸向運動速度和初張力對軸向運動帶的橫向振動和縱向振動的影響。近年來，已有人對變密度運動矩形紙帶的小撓度振動特性及穩定性進行研究，但是關于變密度運動印刷薄膜的大撓度非線性振動的文獻還未曾見到。2001年，JabareenM等［12］研究了變密度的圓形和環形膜的軸對稱和反對稱模式的精確解。馬利娥和武吉梅［13］等人用次最優控制方法對變密度紙帶進行了控制研究。吳曉［14］采用修正攝動法研究了無軸向運動速度的變面密度環形薄膜的軸對稱橫向固有振動，并求得了確定其橫向振動固有頻率的特征方程。李世榮［15-16］采用打靶法分別分析了非均勻變密度和連續變密度的圓形和環形薄膜的軸對稱橫向自由振動問題。武吉梅等［17］研究了拋物線型變密度印刷紙帶的小撓度振動特性，結果表明，密度系數及張力比對紙帶穩定性有重要影響。本文在薄膜小撓度振動研究的基礎上，以印刷運動紙帶為研究對象，研究變密度印刷紙帶的非線性振動特性。基于vonKarman薄板理論建立變密度紙帶的橫向振動方程，應用Bubnov-Galerkin方法對振動偏微分方程組進行離散，利用橢圓積分法對微分方程進行計算，分析密度系數、無量綱速度和紙帶長寬比對紙帶非線性振動特性的影響。

1建立變密度紙帶的非線性振動模型

圖1所示為印刷運動紙帶工作的簡化模型，取兩導向輥或兩滾筒之間的變密度運動紙帶為研究對象，將印刷滾筒(或輥子)對紙帶的支撐作用作為邊界條件處理，即可將此段紙帶看作軸向運動系統，對其非線性振動進行研究。如圖1所示以紙帶的運動方向為x方向，其運動速度為v;紙帶的寬度方向為y方向;橫向振動的位移方向為z方向。設紙帶橫向振動位移為珔w(x，y，珋t)，珋t為時間，Tx和Ty為其在邊界上受到的單位長度拉力，a為兩對輥子之間的距離，b為紙帶的寬度，紙帶的面密度為ρ(y)。變密度印刷運動紙帶的密度變化規律ρ(y)如圖2所示，設α為密度系數，則紙帶的密度函數ρ(y)為將分段函數ρ(y)化為單一表達式根據vonKarman大撓度薄板理論［18］得到運動紙帶的非線性振動方程組為將式(2)代入式(3)得到變密度運動紙帶的非線性振動方程組為

2Galerkin方法分離變量

對上面求得的印刷運動紙帶非線性偏微分方程組，首先采用分離變量法和Galerkin過程對其進行離散，令不考慮阻尼項，可以得到印刷運動紙帶的非線性振動微分方程為

3橢圓積分法求解

對式(17)首次積分得對式(21)進行積分，可以得到變密度運動矩形紙帶的非線性振動的周期其中，Z(n)為第一類完全橢圓積分，由此可得變密度軸向運動紙帶非線性振動的頻率為

4計算結果與分析

如圖3，由印刷紙帶的大撓度振動頻率方程，給定初始運動條件L=0.8和無量綱速度為c=0.5，長寬比分別為r=1，2，3時，軸向運動紙帶非線性振動復頻率ω隨密度系數α之間的變化曲線。令紙帶的長寬比r不變，由圖3可知:當密度系數α=0時，無量綱復頻率ω是一個實數;隨著密度系數α的逐漸增大，復頻率ω的實部逐漸減小，而虛部始終為零，說明運動紙帶進行的大撓度振動很小，且是無阻尼振動。當密度系數α繼續增大到0.605，且長寬比r=1時，復頻率ω的實部減小至零，當密度系數為0.844時，虛部開始由零逐漸增大，此時矩形紙帶開始發散失穩，且進行有阻尼振動。因此，比較不同長寬比r的運動紙帶，可以明顯看出，長寬比r越小，紙帶密度系數越大時，則紙帶越容易產生振動發散失穩現象。如圖4，給定初始運動條件L=0和無量綱速度c=0.5，長寬比分別為r=1，2，3時，軸向運動紙帶非線性振動復頻率ω的實部和虛部隨密度系數α之間的變化曲線。由圖4可知:隨著密度系數的逐漸增大，紙帶非線性振動的無量綱復頻率ω實部始終為零(即頻率ω為純虛數)，而虛部始終為定值。由此說明紙帶始終是發散失穩的，密度系數的變化不影響系統發散失穩的快慢。且該現象與紙帶的長寬比無關。如圖5，給定初始運動條件L=0.8和長寬比r=2密度系數α分別為0.2，0.6，1時，軸向運動紙帶非線性振動復頻率ω隨軸向運動速度變化的關系曲線。令紙帶的密度系數α不變，由圖5可知:當無量綱速度c=0時，無量綱復頻率ω是一個實數;隨著無量綱速度c的逐漸增大，復頻率ω的實部逐漸減小，而虛部始終為零，說明運動紙帶進行的大撓度振動很小，且是無阻尼振動。若速度c繼續增大到某個值時，復頻率ω的實部減小至零，而虛部開始由零逐漸增大，此時矩形紙帶開始發散失穩，且進行有阻尼振動。因此，比較不同系數α的運動紙帶，可以明顯看出，密度系數α越小，紙帶振動失穩的臨界速度也越大，也就是說減小紙帶的密度系數α，可提高紙帶振動失穩的臨界速度，使失穩的臨界速度高于紙帶的工作速度，能夠有效地保證紙帶工作在穩定的狀態。圖6給出的是初始運動條件為L=0，長寬比為r=2，密度系數分別為0.2，0.6，1時，軸向運動紙帶非線性振動復頻率ω的實部和虛部隨軸向運動速度之間的變化曲線。由圖6可知:隨著運動紙帶無量綱速度的逐漸增大，紙帶非線性振動的無量綱復頻率ω實部始終為零(即頻率ω為純虛數)，而虛部由零開始線性增大。由此說明紙帶始終處于發散失穩的狀態，速度越大，發散失穩越快。且該現象與紙帶的密度系數無關。

5結論

本文研究了變密度運動紙帶的大撓度振動特性。基于vonKarman薄板理論推導出軸向運動紙帶大撓度振動方程，應用Bubnov-Galerkin方法對振動偏微分方程組進行離散，利用橢圓積分法對微分方程進行求解，得出紙帶非線性振動的頻率表達式。分析了不同初始條件下，運動紙帶大撓度振動復頻率隨密度系數、運動速度和長寬比的變化關系曲線。得出如下結論:1)紙帶的非線性振動對初始運動條件有敏感依賴性，運動條件不同，導致紙帶的非線性振動特性有顯著差別。2)初始運動條件L=0.8和無量綱速度為c=0.5，長寬比r越小，紙帶密度系數越大時，則紙帶越容易產生振動發散失穩現象。適當地增加紙帶的長寬比，減小密度系數可以有效地避免大撓度非線性振動的產生。3)當初始運動條件L=0和無量綱速度c=0.5時，紙帶始終處于大撓度振動狀態，密度系數的變化不影響系統發散失穩的快慢，且該現象與紙帶的長寬比無關。4)初始運動條件L=0.8和長寬比r=2，減小紙帶的密度系數α，可提高紙帶振動失穩的臨界速度，使失穩的臨界速度高于紙帶的工作速度，能夠有效地保證紙帶工作在穩定的狀態。5)初始運動條件為L=0，長寬比為r=2，紙帶始終處于發散失穩的狀態，速度越大，發散失穩越快，且該現象與紙帶的密度系數無關。

作者：邵明月 武吉梅 王硯 應戍狄 武秋敏單位：西安理工大學