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《力學學報》2016年第二期

摘要

系統建模不可避免地要忽略一些因素從而造成模型誤差，因此基于不確定性的非精確模型來設計控制器顯得尤為重要.隨著各國學者的不斷研究，在線性系統H∞控制方面取得了很大的發展，但仍存在求解過程繁瑣、系統的保守性不強、結構復雜和控制器階數較高等問題.運用計算結構力學與最優控制相模擬的理論來試圖完善存在的問題.導引模就是結構力學中的本征值問題，即彈性穩定的歐拉(Euler)臨界力或結構振動的本征頻率；通過引入區段混合能的概念，采用精細積分和擴展的威廉姆斯(W-W)算法計算導引模，將此方法引入到基于市場機制的控制(market-basedcontrol，MBC)理論中，提出了線性結構基于市場機制的魯棒控制策略.同時給出了在魯棒控制下，采用李雅普諾夫(Lyapunov)直接法證明了結構基于市場機制的魯棒控制器的穩定性及參數的確定方法.最后對一高層受控結構進行數值計算與分析，并與H∞魯棒算法的控制效果進行了對比.結果表明，導引模不能取到臨界值，否則會導致控制輸入趨于無窮大.基于市場機制的魯棒控制效果要好于H∞魯棒算法，并且具有較強的應變能力和在線計算時間短等優點，能較好地適用于高層和大跨結構.

關鍵詞

基于市場機制的控制策略,精細積分,區段混合能,魯棒控制,擴展威廉姆斯算法

在日趨成熟的現代控制理論中，人們發現利用現代控制理論進行控制器設計時，需要有精確的過程模型.但在實際應用中，系統建模不可避免地要忽略一些因素從而造成模型誤差，如模型高階項的忽略、外干擾的不確定性、模型參數的誤差等，系統矩陣的確定往往并不是非常精確.學者們對不確定系統的控制器設計進行了全面研究，一種是假設過程的參數是未知的，如自校正控制器[1]和模型參考自適應控制器[2]方案；另一種途徑是假設系統是不確定的，如魯棒控制理論方法[3-5].魯棒控制理論為了彌補現代控制理論這種不足，在控制器設計過程中考慮被控對象所存在的各種不確定性因素，基于不確定性的非精確模型來設計控制器.因此，研究控制器的魯棒性能顯得尤為重要.從20世紀80年代初開始，控制系統的魯棒穩定性問題受到了重視和研究，如魯棒自適應的研究[6-8].魯棒控制理論發展的突出的標志是H∞控制理論.H∞控制方法在工程中應用很多，它以H∞范數作為性能指標，在可能發生最壞擾動情況下，使系統的誤差達到極小，將干擾問題轉化為閉環系統穩定性的問題[9].謝立敏等[10]研究了漂浮基柔性空間機器人的魯棒控制及振動抑制.經學者在理論與試驗方面的不斷研究，在線性系統H∞控制方面取得了很大的發展，如線性矩陣不等式方法[11-13]、微分對策法[14-15]、µ分析、µ綜合等方法[16-18].

但這些成果應用到實際中，卻存在求解過程繁瑣、系統的保守性不強、結構復雜和控制器階數較高等問題.鐘萬勰從一個新的角度設計H∞魯棒控制器[19-24]，通過引入區段混合能的概念，采用精細積分和擴展的威廉姆斯(W-W)算法求解導引模臨界值γ2cr，并理論上證明了其解可以達到計算機精度.運用計算結構力學與最優控制相模擬的理論，導引模就是結構力學中的本征值問題，即彈性穩定的歐拉臨界力[25].H∞控制需要全狀態信息，并且需要計算復雜的黎卡提(Riccati)方程，具有在線計算時間長等缺點.基于市場機制的控制(market-basedcontrol，MBC)策略模擬自由市場機制，通過模擬市場行為完成控制系統中有限能量的最優分配.基于市場機制的控制策略只需離散點的狀態信息，具有在線計算時間短和參數選取簡便等優點.本文針對多高層剪切型結構，將擴展的威廉姆斯(W-W)算法和精細積分法應用到結構基于市場機制的控制策略中，提出了線性結構基于市場機制的魯棒控制.以20層基準(Benchmark)模型進行數值模擬，將提出的線性結構基于市場機制的魯棒控制策略和H∞魯棒控制的效果進行了比較，驗證了本文方法的有效性.

1基于市場機制的控制策略

基于市場機制的控制算法將控制系統中的能量源系統和受控系統分別比作虛擬市場中的銷售商和消費者，在這個虛擬市場中受控結構對控制能量的需求和能量源對控制能量的供給都與市場價格有關.在每一個時間點需求函數和供給函數相交的點即為市場中控制能量在這一時刻的平衡價格，也意味著控制能量得到最合理的分配.當價格確定后，每個受控結構以市場價格購買一定數量的控制能量，并以控制力形式施加到結構上.

2基于市場機制的魯棒控制器設計

本節第一部分運用結構力學與最優控制相模擬的理論，根據擴展的威廉姆斯(W-W)算法[24]，應用精細積分法計算臨界參數γ2cr，設計了魯棒控制系統；在確定臨界參數后，第二部分給出了基于市場機制的控制力中其余參數的確定方法.

2.1魯棒控制系統系統矩陣A是被控對象運動規律的反映，在實際應用中，不可避免地有許多抽象,這些抽象都將帶來誤差.魯棒控制要考慮的是在給定范圍內任意可能的變動A陣，并選取最不利的變動陣.將這一因素考慮進去，則結構系統的動力方程和輸出方程將成為。現在系統矩陣中多了γ2一項，這正是魯棒控制的特點.當γ2趨于零時，就是結構基于市場機制的控制算法.外干擾全部是由A引起的，即為研究A陣偏離引起的自干擾下的穩定性.當γ2增加表示A的作用越大，但不能無限制的增大，增長到臨界值γ2cr時，系統將會失穩.因此，很重要的是討論γ2cr值.運用結構力學與最優控制相模擬的理論，導引模γ2就是結構力學中的本征值問題，即彈性穩定的歐拉臨界力或結構振動的本征頻率[24].根據擴展的威廉姆斯(W-W)算法[25]，應用精細積分法計算臨界參數γ2cr.

2.2控制器參數確定方法現在控制系統矩陣中多了γ2一項，設計的線性結構基于市場機制的魯棒控制的穩定性需要進一步研究.控制系統的穩定性是指控制系統在平衡狀態下受外部擾動后恢復到平衡狀態的趨勢或能力[31].文獻[26]給出了線性基于市場機制的控制策略的穩定性及參數的確定方法，但考慮魯棒控制時，參數的形式會發生改變.采用結構控制系統極值點位置來判斷系統的穩定性.綜上，求解線性結構基于市場機制的控制系統中的參數如下：(1)根據2.1節中的方法確定臨界參數，進而確定導引模γ2；(2)選取多條與場地土匹配的地震波，按設防要求對結構進行無控工況下的分析，得到多條地震動作用下無控結構相應層層間位移與層間速度的峰值平均值；(3)確定µ值，保證矩陣(˜ATQ+Q˜A)的特征值的實部均不大于0；(4)針對各層最大層間反應下的供需進行“歸1化”處理，確定相應的加權系數α與β；(5)根據控制裝置的出力范圍及特性來選擇控制力增益系數K.

3數算例及分析

為了驗證本文提出控制策略的有效性，將該策略應用到一座20層鋼框架結構，結構參數如表1中所示.結構前兩階的阻尼比皆為0.02.為了節省篇幅，地震記錄只選取地震波“ElCentro(NS,May18,1940)”，峰值加速度調整為4m/s2.控制裝置分別在結構第15層每層設置5個磁流變阻尼器，第812層各層設置4個，第1519層每層設置3個.為了衡量提出的線性結構基于市場機制的魯棒控制系統的性能，本文選取H∞魯棒控制[24]和無控系統與之對比圖1和圖2分別為不同參數γ下結構第10層層間位移響應和加速度響應.從圖中可以看出，當參數γ2接近臨界值時，干擾抑制效果越差，并且所需的控制力會增大.在實際計算時，導引模不能取到臨界值，否則會導致控制輸入趨于無窮大，這與文獻[10]中的結論一致.圖3為各層層間相對位移反應峰值，從圖中可以看出，基于市場機制的控制策略對于結構加速度的控制效果要好于H∞控制.其中，結構第18層的相對位移峰值基于市場機制的控制策略要好于H∞控制約42.1%左右.圖4為各層絕對加速度峰值.

從圖中可以看出，基于市場機制的控制策略對于結構加速度的控制效果要好于H∞控制.其中，結構第10層的絕對加速度峰值基于市場機制的控制策略要好于H∞控制約29.3%左右.經計算，基于市場機制的控制策略和H∞控制在整個時程中所消耗的時間分別為9.12s和12.44s，即前者比后者快26.7%.主要原因是基于市場機制的控制策略在計算增益矩陣時只需簡單的乘法運算，而H∞控制需要迭代復雜的黎卡提方程.綜上，基于市場機制的控制策略和H∞控制采用了相同的方法考慮系統的不確定性，前者的控制效果要好于后者的主要原因是，基于市場機制的控制策略模擬自由市場，在這個虛擬的市場中，即使系統出現不確定性，也可以通過虛擬市場的價格反映出來，價格決定供需函數，進而確定控制力，具有很強的適應性.而H∞控制屬于定常系統，一旦參數確定就不會變動，缺少靈活性.

4結論

本文針對大型工程結構振動控制系統建模時存在不確定性問題，提出了線性結構基于市場機制的魯棒控制策略.運用計算結構力學與最優控制相模擬的理論，將精細積分的思想和擴展的威廉姆斯算法應用到基于市場機制的控制器的設計中，這樣設計的策略不需要求解復雜的黎卡提方程，并且基于市場機制的控制算法本身只需離散點的狀態信息，從而大大節省了在線計算時間.另外，該控制器中參數選取簡便，為實際工程實現帶來可能.從仿真的結果可以看出，結構基于市場機制的魯棒控制效果要好于H∞控制，并且具有很強的應變能力，能較好地適用于高層和多維結構.

作者：宋建筑 李宏男 單位：遼寧大連遼寧工程防災減災協同創新中心