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《地震工程與工程振動雜志》2016年第二期

摘要:

在波動方程有限差分波場數值模擬中，為了使計算得到的邊界波場值更接近于真實的邊界波場值，需要使用邊界條件以減少來自計算區域邊界的人為反射能量。傳統的分裂式完全匹配層(SPML)吸收邊界條件不能有效吸收掠射波，后來發展的不分裂卷積完全匹配層(CPML)能夠較好地處理這個問題，并且CPML在處理邊界問題時無需對波場進行非物理分裂。本文針對Kelvin-Voigt模型的黏彈性介質，采用高階交錯網格有限差分方法進行數值模擬，同時利用CPML吸收邊界條件進行邊界處理。數值模擬結果表明:與彈性波相比，大角度入射產生的低頻掠射波對黏彈性波的影響更大;CPML吸收邊界條件對低頻掠射波的吸收效果比傳統的SPML吸收邊界條件更好。

關鍵詞:

不分裂卷積完全匹配層;數值模擬;黏彈性;衰減

地震波數值模擬通常是在有限的計算區域內研究地震波在地下介質中的傳播規律，這必然會引入人工截斷邊界，因此，對人工邊界進行處理以有效消除或減弱虛假邊界反射是數值模擬中的重要環節。數值模擬中常用的吸收邊界有3種:(1)單程波邊界條件(Clayton和Engquist，1977)、(2)衰減邊界條件(Cerjanetal．，1985)、(3)完全匹配層(Collino和Tsogka，2001)。在實際應用中，這3種邊界條件都存在一些問題:單程波邊界條件在大角度入射的情況下吸收效果不佳，衰減邊界條件的衰減系數較難確定，傳統的分裂式完全匹配層需要對波場進行非物理分裂，加大了編程的復雜程度，另外，反射系數在離散后不再為零，而且在大角度入射的情況下其值更大，這會導致能量較強的虛假反射波傳入計算區域，影響數值模擬的效果。為了克服這些問題，一種新的不分裂卷積完全匹配層被提出并在地震動數值模擬中取得了良好的效果提出了一種計算量小、易于實現且吸收效果好的混合吸收邊界條件并應用于彈性波2階位移－應力方程交錯網格有限差分正演模擬，隨后，任志明和劉洋(2014)研究了1階彈性波速度－應力方程正演模擬中的混合吸收邊界條件。實際地下介質屬于具有粘滯性的黏彈性介質，將地震波當成彈性波來研究其傳播規律往往不能有效反映其特征(單啟銅和樂友喜，2007)，本文采用高階交錯網格有限差分方法求解1階速度－應力Kelvin-Voigt黏彈性波動方程，并將能有效吸收掠射波的不分裂卷積完全匹配層吸收邊界條件用于處理黏彈介質地震波正演模擬中的邊界問題。然后在時間域和頻率域分析了CPML相對于PML的優越性。

1基本理論

1．11階速度－應力黏彈性波動方程在二維黏彈性介質(Kelvin-Voigt模型)中，1階速度－應力黏彈性波動方程如下(嚴紅勇和劉洋，2012):

1．2分裂式完全匹配層(SPML)PML可以看成是復空間中坐標軸的解析延拓(Collino和Tsogka，2001)。以x軸為例，將模型區域(不包含PML)定義在x≤0范圍內，將PML定義在x＞0范圍內，定義模型區域內的衰減因子為dx=0，PML內dx＞0。引入一個新的復數坐標軸x槇，并用衰減系數表示(Collino和Tsogka，2001):

2數值模擬與分析

在數值模擬過程中，采用2階時間差分精度、12階空間差分精度的交錯網格有限差分方法。設計一個計算區域大小為6000m×1000m的狹長型模型，網格間距為10m，時間采樣間隔為1ms，震源坐標為(1000m，100m)，震源采用與z軸成逆時針90°夾角的集中力震源，子波類型為高斯函數的1階導數，主頻為10Hz，完全匹配層厚度為20層(20倍網格間距)，模型參數:vp=3300m/s，vs=1905．3m/s，ρ=2800kg/m3，Qp=80，Qs=60。圖1、圖3分別是SPML條件下彈性波、黏彈性波數值模擬得到的質點振動速度的垂直分量的波場快照，圖2、圖4分別是CPML條件下彈性波、黏彈性波數值模擬得到的質點振動速度的垂直分量的波場快照，從上到下對應的時刻依次為1200，1600，2000ms。從圖1、圖3中可以看出，SPML吸收邊界條件對大角度入射產生的掠射波的吸收效果不理想，這種低頻波在模型區域內比較明顯，且隨著入射角度和傳播距離的增大，其能量也有所增強;而從圖2、圖4中可以看出，CPML吸收邊界條件對這種低頻波的吸收效果比較好，且不受入射角度和傳播距離的影響。

圖5(a)、(b)分別是SPML條件下彈性波、黏彈性波數值模擬得到的質點振動速度的垂直分量的共炮點記錄，圖6(a)、(b)分別是CPML條件下彈性波、黏彈性波數值模擬得到的質點振動速度的垂直分量的共炮點記錄。從圖5中可以看出，大角度入射產生的低頻掠射波非常明顯，且對遠道記錄的影響更為顯著，導致直達S波同相軸在遠道產生了畸變;而從圖6中可以看出，這種影響幾乎不存在，表明CPML吸收邊界條件對低頻掠射波的吸收效果比較好。圖7是從圖5、圖6的共炮點記錄中提取的第301道記錄。圖7(a)中的藍色實線和紅色實線顯示:SPML條件下彈性波、黏彈性波數值模擬的結果受大角度入射產生的低頻掠射波的影響非常明顯，波形存在嚴重的畸變;而反觀圖7(b)中CPML條件下的數值模擬結果(藍色、紅色實線分別代表彈性波、黏彈性波數值模擬的結果)，記錄中只存在縱、橫波，低頻掠射波被有效吸收。而且介質的黏彈性在SPML條件下和CPML條件下對縱、橫波都有明顯的吸收和衰減。圖8(a)、(b)、(c)、(d)分別表示是SPML條件下彈性波、黏彈性波、CPML條件下彈性波、黏彈性波數值模擬得到的第301道記錄質點振動速度的垂直分量的時頻圖。從圖8(a)、(b)中可以看出:SPML條件下的彈性波、黏彈性波數值模擬的記錄中存在大角度入射產生的低頻掠射波且能量很強;而且與彈性波的記錄相比，黏彈性波的記錄中這種波形低頻掠射波的相對能量甚至要強過縱、橫波，表明其對黏彈性波數值模擬的影響更嚴重;從圖8(c)、(d)中可以看出，低頻掠射波的影響基本被消除。對比圖8(c)與(d)，可以發現:與彈性波相比，黏彈性波的主頻向低頻段偏移明顯(表明高頻吸收明顯)，有效頻帶變窄;且在黏彈性波記錄中，橫波的高頻吸收要縱波略強于縱波。對比圖8(c)、(d)中的縱、橫波能量團的強弱差異，可以發現:在彈性波記錄中，縱波能量比橫波能量小很多，但在黏彈性波記錄中這種差異有所減小，這是由于橫波衰減要強于縱波而導致的，這種現象與理論模型的參數是吻合的(Qp=80，Qs=60，衰減因子越小，衰減越強)。

3結論

本文利用高階交錯網格有限差分方法對Kelvin-Voigt模型的黏彈性介質進行數值模擬，并將CPML吸收邊界條件引入其中，將彈性波和黏彈性波的數值模擬結果進行對比，得到的以下認識:(1)與彈性波數值模擬結果相比，大角度入射產生的低頻掠射波對黏彈性波數值模擬結果的影響更大;黏彈性波的記錄中低頻掠射波的相對能量甚至要強過縱、橫波。(2)與傳統的SPML吸收邊界條件相比，CPML吸收邊界條件對低頻掠射波的吸收效果更好;且CPML在處理邊界問題時無需對波場進行非物理分裂，降低了編程實現的難度。(3)介質的黏滯性影響地震波的所有頻率成分，黏彈性波的主頻向低頻段偏移明顯(表明高頻吸收明顯)，有效頻帶變窄。

作者：樂友喜 張會娟 問雪 劉兵卿 趙迎 劉陳希 單位：中國石油大學( 華東) 地球科學與技術學院 中海石油( 中國) 有限公司深圳分公司