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《大學物理雜志》2014年第六期

1實驗條件

實驗系統如圖1所示，主要由待測鋼棒、精密臺鉗、自制加速度(振動)傳感器、數字示波器、電腦等組成．不同尺寸的測量分別使用游標卡尺、米尺，小質量的稱量采用分辨率0．01g的電子天平、大質量的稱量使用分辨率0．1g的電子臺稱。

1．1待測鋼棒一根均質細長圓截面棒材，截面直徑d=6．582mm，線密度ρ=0．25862kg/m(由總長69．6cm，質量0．180kg計算得到)．實驗中鋼棒的部分長度被夾持，余下的自由端長度l=563．5mm．

1．2自制振動傳感器壓電式加速度傳感器的動態響應特性好，有自生特性(電荷輸出、無需供電)．本實驗使用的自制振動傳感器采用PZT－5A材料，壓電雙晶懸臂梁結構，無外部封裝．壓電雙晶條在隨著震源振動時發生形變，其輸出電壓與振動加速度成正比．因為僅利用該傳感器測量頻率，無需對其作靈敏度校準．傳感器采用單端輸出方式，一個輸出電極直接與待測鋼棒短路并最終接地，另一極通過一條細小的導線輸出信號到示波器．傳感器整體重1．50g．

1．3數字示波器本實驗使用泰克TDS1012型示波器．

2實驗原理

彈性系統的自由振動含有從低到高階的多階振型，各階固有頻率與系統的結構、系統材料、系統振動模態等有關．其中頻率最小的一階振型幅度最大．在懸臂梁自由端施力使懸臂梁偏離平衡位置，則梁的初始撓曲線為三次拋物線，接近一階振型曲線．相應地，一階振型是撤去外力后梁自由振動的主要振型．此外，一階振型的衰減速度最慢，經一段時間的衰減后，自由振動就更為接近一階振型．因此，可以將實測的振動頻率近似看作一階固有頻率．實際上，由于振動時必然存在小阻尼，實際測得的振動頻率隨時間變化，其值小于梁的一階固有頻率，二者之間的關系為根據伯努利－歐勒梁理論，懸臂梁的振動微分方程為其中E為楊氏模量，I為梁橫截面對中心軸的慣性矩，ρ為梁的線密度．根據一端固定、另一端自由振動的懸臂梁自由條件，可得其中d為梁橫截面直徑;L為待測棒料全長;m為棒的質量．于是，由一階固有頻率計算圓棒彈性模量的計算式為傳感器附加質量對懸臂梁振動頻率有微弱的影響．由于傳感器質量m''''很小，合理的假定是梁自由振動時的振動形式和懸臂梁在自由端加一靜載荷時的靜態撓曲一樣，用瑞利法可求得考慮附加質量后的彈性模量。

3實驗結果與分析

3．1懸臂梁一階頻率的測量如圖1所示，用精密臺鉗夾持固定待測鋼棒，加速度傳感器捆綁固定在待測鋼棒的自由端，將傳感器的輸出信號線接入數字示波器，計算機通過USB線同步獲取振動測試數據．始時推移待測鋼棒自由端使偏離平衡位置，快速釋放后待測棒作單端自由振動．此時加速度傳感器輸出交變電信號(圖2(a))．重復多次實驗摸索濾波條件，在示波器上設置濾波窗口(本實驗中采用30Hz以下的低通濾波)或直接在計算機上對原始數據作濾波處理，去除了50Hz處的工頻干擾、其他擾動信號以及高階信號后，得到一階振動信號的曲線(圖2(b))，然后由傅里葉變換得到頻率(圖3)．實驗測得自由振動時主要信號的頻率為14．6484Hz(圖3峰值頻率)，此即懸臂梁的小阻尼振動頻率f．將實測振動頻率f和由圖2(b)讀出的A0=299．78mV，A3=189．32mV代入式(1)可得一階固有頻率f1=14．6528Hz．可見，阻尼對懸臂梁一階振動頻率的影響很小，相對改變不足0．03%．這意味著當對彈性模量測量精度的要求不高時，通常可忽略阻尼的影響，認為測量值就是一階固有頻率．

3．2彈性模量的計算將一階固有頻率的計算結果代入式(6)，同時代入鋼棒尺寸數據、鋼棒質量數據以及附加質量(即加速度傳感器總質量)數據，得鋼棒彈性模量計算值E=2．0278×1011N/m2．在以自由振動法為理論基礎設計的實驗裝置上測得的這個彈性模量與材料手冊給出的鋼的彈性模量參考值2．0×1011N/m2相當一致．以上計算考慮了加速度傳感器作為附加質量的影響．如果忽略附加質量，彈性模量的計算換用式(5)。得到的結果為1．9429×1011N/m2，與參考值的偏差要更大．但如果是低精度應用僅要求兩位有效數字，附加質量帶來的并不是一個巨大的偏差(本實驗中偏差為5%)．假如考慮采用質量更小的加速度傳感器(目前已知最小的封裝完整的商品化壓電加速度傳感器自重為0．14g)，又或者被測物體密度高、尺寸大，則加速度傳感器質量對最終測量結果的影響甚至可能控制在測量總不確定度的范圍之內，這時忽略附加質量以簡化計算是完全合理的．當無法獲得更小的加速度傳感器時，把傳感器的安裝位置向被測樣品的固定端移動，也能減小傳感器自重對測量的影響，但相應地需要對計算式(6)作修正．

3．3不確定度分析對式(5)兩端求對數得0．1g;d用游標卡尺，最小刻度0．01mm;f1的測量精度取決于示波器，測量的時間軸取樣間隔為0．8ms，將它作為時間t最小刻度，此時δt/t=δf1/f．將最小分度值作為儀器誤差限Δ儀，按均勻分布處理儀器誤差，對應的不確定度分量δB為據此可計算出式(9)中各項不確定度分量分別為:δl=δL=0．58mm;δm=0．058g;δt=0．46ms;δd=0．0058mm．將各項分量的數值代入式(9)，得本實驗測量的相對不確定度為UE=0．66%．測量值已知，可進一步計算出不確定度的大小．本實驗的測量結果最終記作E=(2．028±0．013)×1011N/m2．

4結論

用微型壓電式加速度傳感器作振動監測，采用單端自由振動法測量棒狀材料的彈性模量，可以有效地避免復雜或專業的系統構建，減少傳感器安裝調試的工作量，同時能夠保證較高的測量精度．如果提高時間測量精度以及鋼棒直徑、長度、質量的測量精度，實驗裝置的測量精度還可以進一步提高．通常情況下，忽略小阻尼對振動頻率的影響、忽略微型傳感器自重作為附加質量對振動頻率的影響對測試結果不造成顯著的影響，在本實驗中采用的加速度傳感器尚未達到最小，這種簡化計算也帶來總體測量準確度下降，但偏差小于5%．

作者：張巍巍曹華翔李海肖慧榮單位：南昌航空大學無損檢測技術教育部重點實驗室