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《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2014年第十三期

一、創(chuàng)設(shè)悟理情景

解題時(shí)，對(duì)已知條件的使用方式有：直接套用、變式運(yùn)用、等價(jià)轉(zhuǎn)用和綜合運(yùn)用等四種使用層次，并依次體現(xiàn)出問(wèn)題解決的思維難度，也是思維品質(zhì)的反映；解題的思維起點(diǎn)是題目的已知條件，已知條件的結(jié)構(gòu)特征蘊(yùn)含著思路的突破口.一個(gè)問(wèn)題的解決，往往要突破若干個(gè)“節(jié)點(diǎn)”，“節(jié)點(diǎn)”可能存在于解題伊始，也可能存在于解題過(guò)程之中.對(duì)于“節(jié)點(diǎn)”的突破，上善之策是創(chuàng)設(shè)合適的破解情境，激勵(lì)學(xué)生悟出破解途徑.

1.解題突破口悟理情境的創(chuàng)設(shè)有的題目，學(xué)生在入口處就遇到節(jié)點(diǎn)，這時(shí)教師要從已知條件的結(jié)構(gòu)特征、含義等方面入手，啟迪學(xué)生思考；有的問(wèn)題，還需要對(duì)已知做一些初步變形，才能發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)含義.案例1已知函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，（f-1）=2，對(duì)任意x∈R，f（′x）>2，求不等式（fx）>2x+4的解集.教學(xué)分析：這是一個(gè)求解抽象不等式的問(wèn)題，要借助函數(shù)的單調(diào)性將該不等式化歸為具體的不等式進(jìn)行求解，入口不易發(fā)現(xiàn).設(shè)問(wèn)1：已知條件中，不等式（fx）>2x+4與f（′x）>2有關(guān)系嗎？（這是第一個(gè)節(jié)點(diǎn)）激發(fā)學(xué)生從兩式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手進(jìn)行分析，進(jìn)而構(gòu)造出函數(shù)g（x）=（fx）-（2x+4）.故（fx）>2x+4等價(jià)于g（x）>0（.*）由于g（′x）=f（′x）-2>0，所以函數(shù)g（x）是單調(diào)遞增函數(shù).接著遇到第二個(gè)“節(jié)點(diǎn)”，如何求解不等式（*）.設(shè)問(wèn)2：g（x）>0還是一個(gè)抽象不等式，求解的關(guān)鍵是什么？啟發(fā)學(xué)生思考，將不等式右邊的0轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的一個(gè)值，注意到已知條件，不難發(fā)現(xiàn)g（-1）=f（-1）-2（-1）-4=0.所以不等式（*）等價(jià)于g（x）>g（-1），得x>-1.所以，原不等式的解集為{x|x>-1}.教學(xué)反思：求解本題的節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)，是兩次關(guān)鍵轉(zhuǎn)化，教學(xué)時(shí)，在此設(shè)問(wèn)，啟發(fā)思考，有利于強(qiáng)化解題分析，提升轉(zhuǎn)化能力.

2.解題過(guò)程中悟理情景的創(chuàng)設(shè)有些題目，在找到解題切入點(diǎn)、初步運(yùn)算求解后，失去了轉(zhuǎn)化方向，或者找不到轉(zhuǎn)化手段，此時(shí)，尋找下一步轉(zhuǎn)化方向、轉(zhuǎn)化方法成為重要任務(wù).教師要能夠準(zhǔn)確把握問(wèn)題解決遇阻的節(jié)點(diǎn)，設(shè)計(jì)合理的思維情境，讓學(xué)生悟出方向、找到突破手段，此為最佳境界.案例2已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2+（a-2）x，求函數(shù)（fx）在區(qū)間［a2，a］上的最大值．教學(xué)反思：這是一道測(cè)試題的教學(xué)實(shí)錄，得分并不理想，癥結(jié)在于兩個(gè)“節(jié)點(diǎn)”的突破：一是隱含條件a2<a的挖掘；二是區(qū)間［a2，a］是變化的，求最值時(shí)需要分類(lèi)討論.由于教師處理適當(dāng)，適時(shí)拋出問(wèn)題，作為學(xué)生深入思考的腳手架，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)關(guān)鍵“節(jié)點(diǎn)”的突破.

二、揭示破解“節(jié)點(diǎn)”的思維過(guò)程

解題教學(xué)中，學(xué)生不可能悟得出所有“節(jié)點(diǎn)”的破解，對(duì)于一些難度大，超越了學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)的“節(jié)點(diǎn)”，教師要能夠著力揭示、強(qiáng)化破解的思維過(guò)程，揭示破解“節(jié)點(diǎn)”的思維起點(diǎn)和緣由.案例3設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镈，若存在區(qū)間［m，n］奐D，使得（fx）在［m，n］上的值域?yàn)椋踡+1，n+1］，則稱(chēng)區(qū)間［m，n］為函數(shù)（fx）的“增值區(qū)間”.試問(wèn)函數(shù)g（x）=（x-1）ex（x∈R*）是否存在“增值區(qū)間”？若存在，求出“增值區(qū)間”；若不存在，說(shuō)明理由.教學(xué)過(guò)程如下：師：這是一個(gè)新定義問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于吃透概念“增值區(qū)間”的含義，想一想，從哪里入手？生：根據(jù)函數(shù)g（x）=（x-1）ex和區(qū)間［m，n］確定函數(shù)的值域，使值域?yàn)椋踡+1，n+1］.生：假設(shè)函數(shù)g（x）存在增值區(qū)間［m，n］（m，n>0）.當(dāng)x>0時(shí)，g（′x）=xex>0，故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，則有（m-1）em=m+1，（n-1）en=n+1*.師：下來(lái)怎么辦？（學(xué)生沉思，無(wú)人回答）師：這兩個(gè)式子有什么共同點(diǎn)？你得到什么發(fā)現(xiàn)？生：兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)完全一樣，可以將m，n看作方程（x-1）ex-x-1=0（*）的兩個(gè)根.師：很好！方程（*）的兩個(gè)根還有其他約束條件嗎？生：m，n是兩個(gè)不相等的正根.只要判斷出方程（*）是否存在兩個(gè)不等正根，這個(gè)問(wèn)題就解決了.片段反思：上述過(guò)程中，將方程組的求解轉(zhuǎn)化為對(duì)方程（*）的根的研究，是一個(gè)重要節(jié)點(diǎn)，此過(guò)程中，教師啟發(fā)、導(dǎo)引，由學(xué)生悟出節(jié)點(diǎn)的突破方向和手段；同時(shí)，對(duì)于學(xué)生忽視或者表述不規(guī)范的地方，教師作以提示、矯正.師：那么，怎樣研究方程（*）是否存在兩個(gè)不等正根呢？顯然，我們不可能通過(guò)解方程求出根或者否定它不存在兩個(gè)正根.生：將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn).師：很好！大家試試看.生：令h（x）=（x-1）ex-x-1，則需要判斷函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是否有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，易得h（′x）=xex-1，以后不好辦了.師：對(duì)函數(shù)h（x）求導(dǎo)的目的在于研究該函數(shù)的圖像，進(jìn)而勾勒出函數(shù)h（x）的特征圖，再根據(jù)特征圖研究函數(shù)h（x）的零點(diǎn)，下面重點(diǎn)分析h（x）的零點(diǎn)狀況.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)h（′x）=xex-1是增函數(shù).因?yàn)閔（′0）=-1<0，h（′1）=e-1>0，所以在區(qū)間（0，1）上存在x0使得h（′x0）=0.所以當(dāng)0<x<x0時(shí)，h（′x）<0；當(dāng)x>x0時(shí)，h（′x）>0.所以h（x）=（x-1）ex-x-1在區(qū)間（0，x0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（x0，+∞）上是增函數(shù).先判斷函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，x0）上是否存在零點(diǎn).因?yàn)閔（0）=-2<0，h（x0）<h（0）<0，且h（x）在區(qū)間（0，x0）上是減函數(shù)，所以h（x）在區(qū)間（0，x0］上不存在零點(diǎn).再判斷函數(shù)h（x）在區(qū)間（x0，+∞）上是否存在零點(diǎn).注意到h（x0）<0，h（2）=e2-3>0，故h（x0）•h（2）=（e2-3）•h（x0）<0.又h（x）在區(qū)間（x0，+∞）上是增函數(shù)，所以h（x）在區(qū)間（x0，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)h（x）=（x-1）ex-x在（0，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)，與方程（*）應(yīng)有兩個(gè)不相等的正根不符．故當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g（x）不存在“增值區(qū)間”．教學(xué)反思：函數(shù)特征圖如圖1，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間（0，x0）和（x0，+∞），接下來(lái)要判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，自然在兩個(gè)區(qū)間里分別討論.由于第一個(gè)區(qū)間無(wú)零點(diǎn)，所以要在整個(gè)區(qū)間（0，x0）上判斷；第二個(gè)區(qū)間里存在零點(diǎn)，處理的技術(shù)是選?。▁0，+∞）的一個(gè)子區(qū)間（如（x0，2））即可，從而作出整體性結(jié)論.在解題后半部分，思維量大，技術(shù)性強(qiáng)，對(duì)幾個(gè)節(jié)點(diǎn)的突破，師生共同分析，教師要重點(diǎn)揭示轉(zhuǎn)化方向和手段；在求解過(guò)程中，適時(shí)畫(huà)出函數(shù)h（x）的特征圖，幫助學(xué)生直觀地理解、分析.

三、在反思與比較中優(yōu)化思維

對(duì)已知的分析，不僅要看到已知的表象，更要看到已知所揭示的知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系與深刻涵義.一個(gè)問(wèn)題往往有好幾種求解方向，不同的方向生成不同的解法，解法有簡(jiǎn)有繁，解題之初進(jìn)行必要的比較和預(yù)判，優(yōu)化解題思路；選擇一種簡(jiǎn)潔解法，不但贏得了時(shí)間，也減少了出錯(cuò)的幾率.因而，解題時(shí)要吃透題意，找好切入點(diǎn)，優(yōu)化思維，不宜抓住題就做.案例4如圖2，已知點(diǎn)P是圓F1：（x+3%姨）2+y2=16上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，線段PF2的中垂線與PF1交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C的方程.教學(xué)分析：這是一個(gè)非常典型的問(wèn)題，難度不大，學(xué)生不難得到F1（-3%姨，0）和F2（3%姨，0）.設(shè)P（s，t），一部分學(xué)生嘗試建立直線PF1以及線段PF2的中垂線的方程，然后聯(lián)立兩個(gè)方程求解，沒(méi)有學(xué)生能夠依此求出點(diǎn)M的軌跡方程.這是機(jī)械套用點(diǎn)M生成過(guò)程，是對(duì)已知條件的直用，沒(méi)領(lǐng)悟到已知的本質(zhì)含義。教學(xué)反思：類(lèi)似于本題的平面幾何知識(shí)在解析幾何和立體幾何中的跨學(xué)科綜合應(yīng)用，在解題中會(huì)不時(shí)見(jiàn)到，啟迪學(xué)生抓住已知條件的涵義，多角度思考；由于解析幾何的重點(diǎn)在于用代數(shù)方法研究幾何曲線問(wèn)題，平面幾何又遠(yuǎn)離這一情景，學(xué)生不易想到，因而課后需要配備同類(lèi)練習(xí)，予以強(qiáng)化.四、在求解論證的實(shí)踐中體悟轉(zhuǎn)化“技術(shù)”1.求解論證的起點(diǎn)是轉(zhuǎn)化方向的破解求解論證是一項(xiàng)實(shí)踐活動(dòng)，成功的關(guān)鍵依托于對(duì)算理和已知條件的理解應(yīng)用，要弄清已知條件的本質(zhì)涵義是什么？有哪些等價(jià)表述形式？下一步，沿著哪個(gè)方向求解有利于溝通已知與求解目標(biāo)的聯(lián)系？2.求解論證的關(guān)鍵是找到轉(zhuǎn)化手段轉(zhuǎn)化與化歸需要“技術(shù)”，這就是數(shù)學(xué)方法、變形技巧.數(shù)學(xué)體系中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法既是“技術(shù)”產(chǎn)生的基石，教學(xué)反思：這是一道綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大的題目.求解過(guò)程中，遇到三個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，分別是①②③，節(jié)點(diǎn)①中向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)不能弄錯(cuò)，節(jié)點(diǎn)②中以哪一個(gè)字母為主元進(jìn)行變形，要重點(diǎn)解析，節(jié)點(diǎn)③中的變形是一種常用技術(shù)，需要認(rèn)真剖析，并揭示三個(gè)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化方向產(chǎn)生的因由.在解題教學(xué)中，對(duì)節(jié)點(diǎn)的破解，以悟?yàn)橹兀沂緸檩o；教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生思考過(guò)程中可能遇到的節(jié)點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)思維情景，激發(fā)學(xué)生類(lèi)比、聯(lián)想，在學(xué)生突破的過(guò)程中獲得真實(shí)體驗(yàn)，探索出結(jié)論.問(wèn)題的成功解決，若來(lái)自于學(xué)生，則能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，磨礪學(xué)生的意志，積淀良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).因而，一些符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問(wèn)題，盡量讓學(xué)生思考體悟；成功的解題教學(xué)就是能夠激勵(lì)學(xué)生在問(wèn)題解決中不斷突破節(jié)點(diǎn)、探索出結(jié)論，能夠點(diǎn)燃學(xué)生的思維火花，使學(xué)生獲得成功感的教學(xué).

作者：孟勝奇單位：廣東省東莞市第一中學(xué)