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《解放軍理工大學學報》2016年第3期

摘要:

為了更為細致的討論非恒常量的垂向湍粘性系數對ekman流解的影響,基于微分方程的特征值理論,簡要分析了在不同垂向湍粘系數分布的條件下,Ekman流解所具有的結構特征,并結合數值方式模擬了Ekman流的垂向結構.在開邊界條件下,不同深度的數值模擬結果較為一致,數值模擬驗證了Ekman流的垂向結構與湍粘系數垂向分布的特征有密切關系.據此,得出如下結論:不同的垂向湍粘系數結構將改變Ekman流的影響深度及表層流與風應力的夾角;此外,Ekman流解含有垂向湍粘系數分布的特征;理論推導和數值試驗均表明,在不同的黏性系數垂向分布狀態下,Ekman漂流具有不同的垂向結構,且影響深度也各不相同.

關鍵詞:

微分方程;特征值理論;數值模擬;Ekman流解

物理海洋學的基本方程是基于NGS方程疊加地轉效應而產生,在海洋學中,該方程組呈現復雜的非線性和無窮維[1]的特征.對方程解析解的研究多基于尺度分析簡化,在海洋波動及流動穩定性等問題中,分離變量法[2G4]的方法較為常用,在涉及波動問題時,文獻[2G4]均利用了三角函數或者復指數進行討論,其中復指數形式具有明顯可分離變量的特征.文獻[5]利用分離變量法討論了中尺度渦的行波結果.海洋學中引入分離變量的形式是以諧波的方式引入[2G5],并通過分析波數和圓頻率之間的關系,得出方程解的頻散特征等解的定性結構,如頻散性、波動的振動周期行為、相速等.上述方案需要通過簡化手段處理波動方程,但使得簡化方程的解無法具體描述原方程的漸變過程.

特征值理論[6G9]是數學物理方法中處理微分方程常用的理論之一,微分方程的特征值往往由約束條件控制.例如在對Ekman流解進行分析時,文獻[2G4]均采用經典解形式,取黏性系數為常量,隨著研究的深入,文獻[10G11]對Ekman流解中非常數性質的黏性系數對解的影響進行了比對,結果表明解的結構存在顯著差異.對此,通過引入特征值方案,可以將海水的層化效應等海洋要素存在垂向變化的現象引入方程的分析中.由于求取此類方程的解析解較為困難,因此需引入數值解對部分推導進行驗證.本文從微分方程特征值理論出發,利用該方案簡要討論不同湍粘性系數垂向分布的流體結構對Ekman流解的約束特點,然后利用數值方案對部分推導進行驗證.

1特征值理論的應用

分離變量法是將偏微分方程分解為2個或多個只含1個變量的常微分方程,并通過求取特征值的方式求出各分量的表達式,然后合成原始方程的解形式.最為常見的分離變量方案是對波動方程進行求解的方案,波動方程如下:∂2u∂t2－c2􀅰∂2u∂x2＝0.(1)式中:u為待解函數;c為波速,這里取常值;t為時間;x為空間.在求解的時候,往往設解的形式為u＝X(x)􀅰T(t),代入式(1)可得相應關系.此外,還有簡化的代入形式,取u＝A􀅰e－1􀅰(kx－σt)代入,可以直接求得相應波數和圓頻率之間的匹配關系.這在海洋學的波形研究中十分常見,海洋各種運動現象的頻散關系有著十分重要的意義,式(1)的波速約束了方程解的特征,但在波速存在變化的條件下,該方案只能定性的分析方程解特征,往往無法獲得方程解結構.因此,引入特征值理論對Ekman流解等常見現象進行分析.

2Ekman流的數值解

數值驗證涉及邊界處理方案,這在海洋數值計算當中不可忽略[12G14],傳統的輻射邊界條件、海面邊界條件等都會有反射[15]等計算假象出現,本文通過構造一種自由邊界方案以驗證本文推導的合理性.

2．1數值方案及邊界格式介紹

本節的邊界格式是基于泰勒理論推導而來,對于函數φ,假定φ∈Cn[a,b](n取正整數),且其n＋1階導數φ(n＋1)在定義域[a,b]內存在,則對于函數定義域為任意兩點x0∈[a,b],(x0＋Δ)∈[a,b],φ可以表示為φ(x0＋Δ)＝∑ni＝0φ(i)x0i!􀅰Δn＋OΔn＋1().式中,OΔn＋1()為n階泰勒展式∑ni＝0φ(i)x0i!􀅰Δn的階段誤差.本文共建立了兩個試驗方案:試驗一,取計算格點90個;試驗二,取計算格點180個,以延拓試驗一的計算區域,數值解如圖1所示,其中,圖1(a),(b)的圖例表示u的取值范圍,圖1(c)為兩個試驗在試驗一邊界位置處數值解的對比.從圖1可以看出,數值方案及邊界格式可以很好地模擬一維平流方程,在與解析解對比后,發現其解與解析解基本一致,模擬效果基本無計算假象存在.

2．2Ekman漂流結構的數值模擬

對§1描述的Ekman漂流方程進行數值模擬,利用WOA05(WorldOeanAtas2005cl)溫鹽數據診斷的密度(圖2)和文獻[10]的Az與其他要素的變化關系,求解式(3),海表風應力為τ＝0＋0􀆰1i,計算空間步長為0􀆰1m,共設置了4組試驗:exp_1、exp_2、exp_3、exp_4,每組試驗包含兩個對比,一個深度120m,一個深度80m,所設試驗均為開邊界條件試驗如下:exp_1采用文獻[11]中黏性系數隨深度指數衰減的表達式;exp_2采用文獻[11]中黏性系數隨深度線性衰減的表達式;exp_3采用文獻[10]的黏性系數表達式;exp_4中,Az＝0􀆰01.得到的結果如圖3和圖4所示:圖3(a)和圖4(a)對應exp_1,其中Az隨深度呈指數衰減;圖3(b)和圖4(b)對應exp_2,其中Az隨深度呈線性衰減;圖3(c)和圖4(c)對應exp_3,其中Az＝v0(1＋5􀅰Ri)2＋vb,v0＝0􀆰01m2/s,vb＝0􀆰001m2/s,Ri為理查德孫數,該表達式考慮了密度分布的影響;圖3(d)和圖4(d)對應理想Ekman曲線.圖中粗斷線線型為風應力,圖3和圖4顯示了在不同黏性系數表達式下的數值解,相關計算結果及對比見表1－3,表1和表2的Ekman深度指流速衰減至表層流速的e－π倍的深度,理想解析解的深度為43􀆰8101m.表2中,exp_2的計算深度為80m,在線性衰減的垂向湍粘性系數的情形下,該深度小于線性減試驗的Ekman深度,故該試驗的影響深度取為80m.4個試驗的計算結果和§2􀆰1的數值對比表明,本例的數值試驗結果可信度較高。

對于典型層化流體,如圖3(c)和圖4(c)所示,考慮到垂向湍黏性系數隨密度、流速變化[10](圖3(c)及圖4(c)),相對于理想解,Ekman流的影響深度局限在上層,圖3和圖4顯示了不同的黏性系數分布將導致Ekman流解呈現不同的特征.同時,本文還對比了垂向湍粘性系數的線性衰減方式,發現衰減快慢對影響深度有較大影響,數值解與垂向湍粘性系數的相關性較高.這些解的模與垂向湍粘性系數的相關度為:指數減0􀆰7363;線性減0􀆰9214;含層結0􀆰9698.這些印證了§1的推導.

3結論

本文探討了微分方程特征值理論在Ekman流解中的分析應用,從§1的推導可以看出,考慮更為細致的解結構時,方程的解形式包含有垂向指數項和垂向湍粘系數結構特征,這一作用表明海水EkGman流解顯著受到垂向湍粘系數分布結構的影響,運動的影響深度更為復雜,同時,也表明此類方程分析方法在海洋學中有應用意義.§2選取了4種不同垂向結構的黏性系數表達式,利用數值方案模擬了Ekman漂流的垂向特征,發現層化現象對于EkGman流的影響較大,且在不同的黏性系數分布下,Ekman流具有不同的分布特征和影響深度,這印證了§1的推導結論.

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作者:陳璇 鄭崇偉 吳雪劍 單位:解放軍75822部隊 海軍大連艦艇學院 解放軍理工大學氣象海洋學院