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《復雜系統與復雜性科學雜志》2015年第三期

人們對傳染病動力學的研究由來已久，最早可以追溯到1760年Bernoulli基于數學模型研究天花的預防接種問題。1927年Kermack和Mckendrick建立的SIR（Susceptible－Infected－Recovery）倉室模型及后來的SIS（Susceptible－Infected－Susceptible）倉室模型標志著對傳染病動力學研究的開始，之后不同的傳播模型被提出，如SI，SIRS，SEIR等傳播模型?；谖⒎址匠痰膫魅静恿W模型蘊含著這樣一種假設———人群是充分混合的，即每個個體和人群中的其他個體都有接觸。現實中很多傳染病只有通過和別人“接觸”才可能被感染，如甲肝、流感、手足口病等。近年興起的復雜網絡理論為研究傳染病動力學提供了新的思路，因為基于網絡的傳播模型可以更真實地刻畫疾病在人群中的傳播，這方面的研究已成為近年來科學研究的熱點與焦點。

雖然關于網絡上傳染病動力學的研究已取得了長足的進步，但早期的研究集中關注網絡結構和動力學兩者之間的關系，而沒有充分意識到人們在面對流行病時各種行為反應的影響。疾病的爆發一方面會引起個體層面的行為變化，如勤洗手、戴口罩、減少外出、斷開和感染者的聯系，另一方面又會引起群體層面的政策措施，如強制隔離、相應的政策補貼等，這些變化又反過來影響疾病預防的成敗，因此關于這方面的研究最近越來越多。接種疫苗一直被認為是預防與控制疾病傳播最行之有效的辦法，然而在很多情況下，由于各種外界因素的影響，包括疫苗的成本、可能的副作用以及宗教信仰等，因此是否愿意接種疫苗往往是本著自愿原則的。在此情況下，理性的個體會權衡不同策略的優劣進而選擇有利于自身的策略。但是對于個體而言最優的策略是否就是系統的最優策略呢？為了回答這個問題，學者利用演化博弈理論刻畫個體在接種疫苗時面臨的困境問題：選擇接種意味著可能的疫苗風險和副作用，不選擇接種意味著可能被疾病感染。進一步研究個體的不同行為對接種范圍以及最終傳播范圍的影響。然而已有的研究往往假設個體在選擇接種或者不接種的時候要么采取利益最大化策略，在此策略中個體通過比較接種的代價和不接種的代價，然后選擇代價最小的策略；要么采取模仿學習機制，即每個個體以一定的概率模仿高收益鄰居的策略?，F實中個體的差異性可能導致不同的個體選擇不同的更新策略，基于此，本文在復雜網絡的框架下考慮個體的多策略行為———動態混合的學習策略對控制疾病的效果。在此模型中，個體既可以選擇采取模仿學習策略也可以選擇利益最大化策略，同時個體可以根據兩種策略的代價差動態地在模仿學習策略和利益最大化策略之間轉換。通過研究發現：雖然在這種機制下，個體有了更多的選擇，但是相對于單純的模仿策略而言，更多的選擇機會并沒有更有效地抑制疾病爆發，反而誘導更少的人采取接種，進而導致更大的傳播范圍。

1模型

考慮到流感等疾病是周期性爆發且疫苗的時效性是有限的，在每個流感來臨之前個體需要決定是否接種，但是此次接種只能保證在接下來的傳播季節不被感染，在下一次傳播季節來臨之前個體又要決定是否接種。所以在模型中我們假定接種和傳播過程周期性進行。每個周期分為兩個階段：第一個階段是接種階段，在這個階段，每個個體首先比較鄰居中采取模仿策略的平均代價和利益最大化原則的平均代價決定自己采取的策略。當個體確定了自己的更新規則的時候，他就依據該規則決定接種還是不接種。如果接種則需要付出c的代價，這里的接種代價可以是多方面的，如花費，副作用，時間等。進一步假設個體采取接種以后，疫苗在當前季節是完全有效的，則在接下來的傳播季節就不會被感染；第二個階段是傳播階段，此階段我們采用SIR傳播模型來刻畫疾病的傳播過程，在這個階段中，那些沒有采取接種的個體可能面臨兩種結果：被感染，則付出代價I。不失一般性，令I＝1，通常假設接種代價0＜c≤1，若接種的代價c＞1，則沒有必要采取接種；由于群體免疫的結果。

2主要結果

最近的研究表明，現實中很多網絡的度分布并非滿足泊松分布而是滿足冪率分布：p（k）～k－γ，其中γ表示度的冪指數，這類網絡稱為無標度網絡，如萬維網，性接觸網，科學家合作網等［3］。本文以3個典型的無標度網絡和隨機網絡為例，研究網絡上的傳播行為。網絡上的每個節點對應一個個體，如果兩個節點之間有連邊，那么感染者可以以一定的概率感染他的鄰居。初始時刻在網絡中等概率分配接種人數和不接種人數，也就是說接種者和不接種者大約各占50％。按照模型中的周期過程不斷演化，直到系統達到穩定狀態，統計穩態的接種比例和感染比例。本文取網絡規模N＝4000，網絡平均度〈k〉＝6，疾病沿著每條邊的傳播率λ＝0．18，恢復率μ＝0．25。也對其它參數的情況進行驗證，均發現相同的結果。文中結果是在演化2000時間步達到穩態以后的最后1000時間步和系統的50次平均得到的。圖2中在4類不同的網絡模型上比較動態的混合策略與純模仿策略對接種范圍和疾病的最終傳播范圍的影響。從圖2上欄（a，b，c，d）可以發現，總體而言，混合策略對于控制疾病的效果還不如純模仿策略的效果好。為了解釋這種現象，在圖2的下欄中，比較了兩種策略下接種范圍隨著接種代價的變化情況，從這些圖（e，f，g，h）可以發現：動態混合策略比純模仿策略的接種人數更少，因而導致疾病的爆發范圍更廣。從圖2可以發現：對于混合策略而言，個體可以有更多的選擇———采取模仿策略或者利益最大化原則，并且可以在這兩種策略中轉換，但是這種對個體更有利的局面并不意味著整個系統就是更優的，從而從另外一個層面反應了個體最優與群體最優之間的差異性。需要注意的是：如果僅僅考慮利益最大化策略，那么接種范圍和感染人數會呈現很大的振蕩，當疾病在一個季節大范圍爆發的時候，那么會導致絕大多數人在接下來的策略選擇階段都采取接種，因而接下來的傳播季節只有很少的人被感染，這樣又只有很少的人采取接種又導致疾病的大范圍傳播，如此循環下去。因此系統無法達到穩態，所以我們不與單純的利益最大化策略做比較。鑒于所得到的結果在不同網絡具有普適性，接下來以度分布滿足p（k）～k－3．0的無標度網絡作為研究對象。在圖3中考察動態混合策略下，疾病的傳播比例（Finalepidemicfraction）、模仿者范圍（Imitatorfraction）、利益最大化者范圍（Maximizationfraction）、模仿策略中采取接種的范圍（Vaccinatedimitatorfraction）以及利益最大化策略中采取接種的范圍（Vaccinatedmaximizationfraction）隨著接種代價c的變化。從圖3可以發現，模仿策略者人數和利益最大化策略者總人數始終徘徊在0．5附近，與接種代價c的關系不是很密切，換句話說，沒有某一種策略在人群中占據主導優勢。同時采取模仿策略和利益最大化策略的接種人數也相當接近。從圖2的下欄可以發現，混合策略的接種范圍反而比純模仿策略的接種范圍要低，如何解釋這種現象呢？對于純模仿策略而言，由于大度節點被感染的可能更大，因此大度節點通過不斷模仿學習最終會更傾向選擇接種（如圖4中的灰線所示），在純模仿策略下，大度節點的策略往往會被他的“小度”鄰居學習，因而導致總的接種范圍相對較高。但是當引入利益最大化原則以后，從圖3可以發現，由于網絡中始終有接近50％的人采取利益最大化策略，由公式（4）可知，對度較小的節點而言，由于他們的感染風險代價較低，因此他們不傾向接種。另一方面，由于“小度”節點的鄰居很少，他們即使不接種也不容易被感染，因此獲取較高的收益。對于網絡中剩下約50％的模仿者而言，由于無標度網絡中“小度”節點占相當大的比例，因此模仿者很有可能選中這些“小度”節點且學習他們的不接種策略，最終導致接種人數低于純模仿策略的人數。為了進一步證實我們的分析，圖4中比較了動態混合策略和純模仿策略中節點的接種比例與節點度k值的關系。通過圖4可以發現，當節點度k較小時，純模仿策略中的接種比例明顯高于混合策略中的，隨著節點度k的增加，混合策略中接種者人數逐漸增加并最終大于或等于純模仿策略中的，這是由于度很大的時候，混合策略中那些利益最大化原則者更愿意采取接種。但是如前面所述，網絡中“大度”節點的比例是相對少的，以圖4a為例，當c＝0．5的時候，k＜9的節點約占整個網絡規模的85％，而這些節點的接種比例小于純模仿策略中的接種比例。因此整體而言，動態混合策略導致更少的人愿意接種，從而導致更大范圍的傳播。圖4b對于c＝0．7的情況，k＜11的節點約占整個網絡規模的96％。需要強調的是：以前的研究表明，目標免疫對于無標度網絡上疾病傳播控制效果非常明顯［17］。那么是否會因為利益最大化中“大度”節點采取接種，即使很少的接種比例也可以有效控制疾病傳播。通過比較圖4可以發現，雖然動態混合策略中“大度”節點的接種概率更高，但是純模仿策略的“大度”節點接種的概率也很高，而且“大度”節點數量很少，所以他們對抑制疾病傳播的作用幾乎可以相抵。公式（4）中的權重因子a對最終傳播范圍的影響如圖5所示，隨著a的增加，利益最大化者對疾病的風險認識越不足，越不愿意接種，因此導致傳播范圍越廣。

3結論

考慮到人們在接種選擇的時候，不同的人有可能會采取不同的學習方式進行策略更新，因此本文比較了兩類不同的個體行為策略———動態混合策略和純模仿策略，然后研究這兩種策略對接種范圍以及最終傳播范圍的影響。在動態混合策略中，個體可以通過權衡模仿策略和利益最大化策略的優劣動態調整自己的學習策略。顯然，相比較于純模仿策略，動態混合策略為個體提供了更多的選擇空間，因此是對個體更優的策略，但是通過研究發現，對個體有利的策略并沒有相應地給整個系統帶來更高的收益，反而導致整體的傳播范圍比單純的模仿策略更大。通過分析發現，在動態混合策略中，利益最大化策略會導致網絡中大多數“小度”節點不愿意接種，這些不愿意接種的“小度”節點又進一步帶動網絡中的模仿者也不愿意采取接種，因而降低了網絡中的接種范圍并導致傳播范圍的相應增加。該研究從另外一個角度闡述了社會系統中個體最優和全局最優的矛盾性，因此如何設計好的措施，如政府補貼措施、正確的輿論向導等，減小個體最優和全局最優的差距，并提高總體收益是需要進一步深入的方向。

作者：王陽陽 闞佳倩 張海峰 單位：安徽大學數學科學學院