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《工程數學學報》2016年第三期

摘要:

本文研究了一個帶服務契約的機器維修模型．為了合理優化設計機器維修服務契約，本文利用多服務器排隊系統理論對具有多臺機器和多個修理工的機器維修模型進行分析，得到了每臺機器產生的純收益和商的純收益期望值；利用非合作博弈論對維修服務契約進行分析，得到了最優保修期、保修費和修理工數目．我們發現最優保修期和修理工數目均與保修價格函數無關．而且，對于固定壽命的機器，機器總數幾乎不影響最優保修期的設定．

關鍵詞:

排隊論；服務契約；博弈論；可靠性理論

1引言

在市場激烈競爭的今天，隨著消費者維權意識的提高和消費觀念的變化，消費者在選購產品時，不僅注意到產品實體本身，在同類產品的質量和性能相似的情況下，更加重視產品的售后服務．因此，企業在提供價廉物美的產品的同時，向消費者提供完善的售后服務，已成為現代企業市場競爭的新焦點．售后服務包括維修、安裝升級、設備調整、提供技術支持、咨詢和培訓，以及提供融資服務，甚至于文化活動等等，內容十分廣泛．本文嘗試利用數學方法定量地分析、優化和設計售后服務中的維修服務契約．

Murthy和Padmanabhan[1]最先將服務契約當做一種廣義的保修行為來研究機器維修模型．Murthy和Ashgarizadeh[2]首先利用博弈論研究了一臺機器和一個修理工的維修服務契約模型．他們利用Stakelberg博弈公式得到了商的最優決策結構．而后，Ashgarizadeh和Murthy[3]將此模型推廣到多臺機器和單個修理工情形．但他們都沒有考慮機器的保修期和保修費等．Yeh和Lo[4]研究了對于可修產品的預防–維修策略．Pascual和Ortega[5]通過建立一個隨機模型確定了產品每次檢測和大修的最優時間．關于研究維修服務契約模型的主要方法和結果，讀者可參見Murthy和Blischke[6]的綜述以及Murthy和Djamaludin[7]的文獻評述和Murthy和Blischke[8]的著作．近年來，Hu-ber和Spinler[9]對維修服務合約進行了最優定價分析．Xiang等[10]考慮了一個在馬爾可夫隨機環境中運行的維修系統的最優維修策略．本文推廣了Ashgarizadeh和Murthy[3]的工作，利用多服務器排隊理論和博弈理論對具有多臺機器和多個修理工的機器維修服務合約進行最優設計，得到了最優保修期、保修費和修理工數目．

2模型描述

假設某公司以單位價格Cp，從一設備制造商(商)購入M臺使用年限(壽命)為L0的機器．每臺機器正常運轉時每單位時間可產生收益R，而機器發生故障時則不會產生收益．假設這M臺機器相互獨立地工作，每臺機器相繼發生故障的間隔時間服從參數為λ的指數分布．機器一旦發生故障，馬上送往售后服務部門進行維修，修復后立即投入使用．假設有N(1≤N≤M)個修理工，商付給每個修理工的固定費用為Cn．維修規則為機器先故障先維修，每臺發生故障的機器的修理時間χ服從參數為µ的指數分布．商制定了如下維修服務契約：對每臺保修期為L(0≤L≤L0)的機器，購買者一次性交納保修費P(L)，這里假設函數P(L)單調增、凸且在區間[0,L0]內二次可微．若在保修時期內送往維修的機器沒有在規定的時間T內修好，則給予一定的補償．令隨機變量τ表示發生故障的機器送往維修直到修好的這段時間．若τ>T，則補償費用為δ(τT)，若τ≤T，則不補償．若在保修期外發生故障的機器，則每次維修需支付Cs的維修費且無任何補償．假設每臺發生故障的機器的一次維修成本費為Cr(Cr<Cs)．而且設修理與運轉相互獨立，每個修理工之間的修理也相互獨立．此外，我們還假設L0充分大且λE[τ]1，這意味著發生故障的機器在維修部門所逗留的時間相對于整個壽命而言是相當短的．以下我們將利用排隊論和博弈論來研究最優保修期L、保修價格P(L)以及修理工數目N．

3模型分析

注意到此維修服務模型等價于有限源M/M/N排隊系統，其服務規則為先到先服務(FCFS)．

4最優定價及設計

由于E[W](N)表達式太復雜，我們無法利用求導來得到最優修理工數目．但是，考慮到機器數目的有限性，我們可利用窮盡法來求

5數值實例

這一節，我們利用Matlab編程提供了幾個數值實例來演示模型中參數變化對最優解的影響．在表1中，我們觀察到最優修理工數目N和商最大的期望收益E[V]隨著機器數目M增加而增大．圖1給出了當機器壽命L0取三個不同值時，參數R和M對最優保修期L的影響．從圖1可看出，最優保修期L隨著機器產生的收益R的增加而遞減．而且，當機器壽命L0越大時，最優保修期L下降越快．然而，當機器壽命L0固定時，機器總數目M幾乎不影響最優保修期L．此外，正如我們所預料的，最優保修期L是機器壽命L0的單調增函數．

6小結

本文推廣了Ashgarizadeh和Murthy[3]的工作，利用多服務器排隊理論和博弈理論對具有多臺機器和多個修理工的機器維修服務合約進行最優設計，求得了最優保修期、保修費和修理工數目．獲得了結論：最優保修期和修理工數目均與保修價格函數無關，而且，對于固定壽命的機器，機器總數幾乎不影響最優保修期的設定．

作者：彭懿 吳錦標 單位：長沙師范學院初等教育系 中南大學數學與統計學院