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《工程數(shù)學學報》2016年第三期

摘要:

試驗設(shè)計中往往會碰到帶有趨勢干擾因子的情形，這類趨勢可以是由時間效應或空間效應引起的．本文探討了幻方及純幻方在帶有趨勢干擾效應設(shè)計中的若干應用．首先，利用幻方的組合性質(zhì)，得到了一類設(shè)計因子與趨勢干擾因子在參數(shù)估計上不混雜的設(shè)計；其次，采用純幻方，進一步得到了多因子試驗設(shè)計中的趨勢無關(guān)設(shè)計；最后，給出了利用幻方和純幻方構(gòu)造相應趨勢無關(guān)設(shè)計的基本方法，同時證明了運用同心幻方進行交叉驗證的結(jié)果．

關(guān)鍵詞:

同心幻方；多水平；多項式模型；多因子試驗；混雜

1引言

試驗設(shè)計自20世紀20年代問世至今，已在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、生物醫(yī)藥、航空航天、經(jīng)濟管理等領(lǐng)域得到廣泛應用，各種試驗設(shè)計方法也得到了迅速發(fā)展，如區(qū)組設(shè)計、部分因析設(shè)計、正交設(shè)計、均勻設(shè)計、空間填充設(shè)計、飽和設(shè)計、超飽和設(shè)計、正交拉丁超立方體設(shè)計等等．一般的試驗設(shè)計方法并不考慮試驗順序，因為試驗順序常采用“隨機化”準則．然而，在一些試驗中，比如物理或者工程試驗中，一次試驗常常需要花費一定的時間，而整個試驗做完需要一個月或更久，那么，在這些需要長時間完成的試驗中，試驗單元或者試驗環(huán)境有可能發(fā)生了趨勢性的變化．最后的試驗結(jié)果易受到時間或空間效應的干擾．于是，許多學者對設(shè)計順序進行了研究.早期，Phillips[1-3]、Daniel和Wilcoxon[4]、Draper和Stoneman[5]等討論了帶有時間趨勢效應的試驗設(shè)計順序問題，他們將時間趨勢效應T用一個p階多項式模型來代替。本文同樣采用多項式模型來表示趨勢干擾效應．在這一個模型下，Draper和Stone-man[5]討論了與時間趨勢無關(guān)(trend-free)的二水平設(shè)計，并且還討論了最小水平變化(levelchange)設(shè)計．Cheng和Jacroux[7]給出了二水平時間趨勢無關(guān)設(shè)計的一種構(gòu)造方法，Jacroux[8]對帶有時間趨勢的混合水平設(shè)計進行了研究，Wang[9]借助并列法對特殊的混合水平情形2p4q進行了討論．近期，也對含有區(qū)組的帶有時間趨勢的設(shè)計順序進行了研究[10]．然而，文獻中對于多水平和混合水平情形的研究仍然較少，對高水平和混合水平因析設(shè)計的研究則更少．幻方，也稱為魔方(magicsquare)，我國數(shù)學家楊輝稱其為“縱橫圖”．其與群論，

組合數(shù)學密切相關(guān)，在純數(shù)學和應用數(shù)學的研究中都有著重要的意義[11-14]．本文不關(guān)注幻方在數(shù)學中的性質(zhì)研究或構(gòu)造，主要關(guān)注幻方在統(tǒng)計中，特別是在工程試驗設(shè)計領(lǐng)域中的應用．事實上，早在1964年，Phillips[1,2]發(fā)現(xiàn)了幻方可以用于帶有時間趨勢干擾的設(shè)計，然而這類設(shè)計僅包含兩個因子，其水平數(shù)正好等于幻方的階數(shù)．Hedayat[15]也研究了幻方的若干統(tǒng)計性質(zhì)，指出在對干擾因子的參數(shù)估計上，幻方可以使得相應最小二乘估計的方差達到最小．本文將進一步說明幻方(純幻方)可以應用在兩因子(多因子)試驗設(shè)計中，其對試驗因子的參數(shù)估計與干擾因子是1階趨勢無關(guān)或線性無關(guān)(lineartrendfree)的，并給出相應的構(gòu)造方法．第2節(jié)主要介紹幻方的基本概念及其在帶有趨勢干擾效應的設(shè)計中的應用，借助幻方，可以構(gòu)造出一類與趨勢效應無關(guān)的設(shè)計，且這類設(shè)計主要包括兩個多水平因子．第3節(jié)給出主要敘述純幻方在帶有趨勢干擾效應的設(shè)計中的應用．借助純幻方，可以構(gòu)造出一類含有多個與趨勢效應無關(guān)因子的設(shè)計，同時這類設(shè)計也可以應用在含有交互作用項的設(shè)計中．第4節(jié)是結(jié)束語．

2幻方與兩因子趨勢無關(guān)設(shè)計

例1考慮一個化工廠生產(chǎn)的一種化工產(chǎn)品，影響采收率的因素有多個，包括催化劑種類、反應溫度等．并且這類試驗往往和反應時間有關(guān)．下面用表1給出的三階幻方，來設(shè)計一個與1階時間趨勢效應無關(guān)的設(shè)計順序，見表2，其包含兩個三水平因子，取值為{0,1,2}.由于試驗結(jié)果往往帶有一定的隨機性，所得試驗結(jié)論需要經(jīng)過一定的統(tǒng)計顯著性檢驗．交叉驗證可以進一步對試驗結(jié)果進行比較研究，如果一個設(shè)計能夠進行交叉驗證，此時的結(jié)論具有更高的可靠性．定義2[11,13]同心幻方也稱嵌套幻方，其可以從中心開始向外輻射，依次剝?nèi)プ钔庖粚雍蟮姆疥嚲腔梅剑ɡ?當n為奇數(shù)時，一個n階同心幻方可以安排含有二個1階趨勢無關(guān)因子的設(shè)計，且可以進行n12次交叉驗證．證明設(shè)M=(mij)是一個n同心幻方，由定理2，幻方的行和列分別可以看作兩個n水平因子，記為A,B，它們均是1階趨勢無關(guān)的．所得試驗結(jié)果可以進行相應的顯著性檢驗．然后，將該同心幻方剝?nèi)プ钔庖粚樱藭r可以用來安排一個含有2個n2水平因子的設(shè)計，且仍是趨勢無關(guān)的．于是，可以采用該部分數(shù)據(jù)進行相應的顯著性檢驗，并與第一次結(jié)論進行交叉驗證．以此類推，將該同心幻方剝?nèi)サ诙樱⑦M行第2次交叉驗證．綜上，可以進行n12次交叉驗證．

3純幻方與多因子趨勢無關(guān)設(shè)計

定理4當n為素數(shù)或素數(shù)冪時，一個n階純幻方至少可以安排含有四個n水平因子的因析設(shè)計，且四個因子均是1階趨勢無關(guān)的．證明設(shè)M=(mij)是一個n純幻方，由定理2，幻方的行和列分別可以看作兩個因子，記為A,B，它們均是1階趨勢無關(guān)的．另外，對于純幻方，存在另外兩個1階趨勢無關(guān)的因子C,D．設(shè)A,B的水平取值分別為a,b，令因子C取值為mod(a+b,n)，因子D取值為mod(ab,n)，即因子C由幻方中從右上往左下的對角線得到，D由幻方的從左上往右下的對角線得到，則由純幻方定義3可知，所有泛對角線上元素的和均相等．于是。例2對于采收率試驗，例1給出了一個與時間干擾效應無關(guān)的設(shè)計，但所包含的試驗因子只能為兩個，如果影響因子多于兩個，可以考慮下面的設(shè)計，見表5，其包含四個因子，水平取值{0,1,2,3,4}．比如，第一次試驗的水平組合為(1,2,3,4)，即因子A取1水平，因子B取2水平，因子C取值水平為mod(1+2,5)=3，因子D取值水平為mod(12,5)=4．當n為合數(shù)時，雖不能像素數(shù)情形直接推出四個與趨勢無關(guān)的因子，但純幻方仍然可能給出包含多個因子的設(shè)計．下面給出一個包含三個因子的采收率試驗設(shè)計方案．見表6，因子水平取值為{0,1,2,3}．比如，第一次試驗的水平組合為(3,3,0)，即因子A取3水平，因子B取3水平，因子C取0水平．

4結(jié)束語

構(gòu)造含有高水平因子的趨勢無關(guān)設(shè)計是比較困難的一個問題，本文給出了一種用幻方和純幻方構(gòu)造的簡單方法，所有這些設(shè)計均可以應用在帶有時間或者空間趨勢干擾效應的工程、生物醫(yī)藥等試驗中．其可以避免在數(shù)據(jù)分析時，試驗結(jié)果受時間干擾效應的影響，從而造成在參數(shù)估計[20]和變量選擇上的誤判．由于幻方(純幻方)的特殊性，本文僅討論了幻方(純幻方)在等水平設(shè)計中的應用，幻方(純幻方)是否可以進一步應用在混合水平趨勢無關(guān)的設(shè)計中，有待進一步的探討．

作者：馬海南 陳雪平 單位：浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院人文社科部 江蘇理工學院數(shù)理學院 東南大學數(shù)學系