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摘要:討論了實(shí)半正定矩陣錐集合S(r)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤r},得到了當(dāng)r取不同數(shù)值時(shí)的若干性質(zhì),并對該集合的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)進(jìn)行了研究,得到了若干基本結(jié)論。最后給出例子驗(yàn)證了結(jié)論。

關(guān)鍵詞:實(shí)對稱矩陣;錐;凸錐;共軛凸錐;維數(shù)

在輸出反饋和魯棒控制[1-2]、組合優(yōu)化[3]、矩陣補(bǔ)全[4]、系統(tǒng)模型降階[5-7]、圖形圖像處理[8-9]等問題中,通常可以把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)帶有實(shí)半正定矩陣秩約束的模型來求解。但是該模型的引入直接帶來了兩個(gè)問題:一是秩約束的可行域究竟是什么樣的,它有什么樣的幾何結(jié)構(gòu)與性質(zhì);二是由于秩約束為一個(gè)非凸不可微約束,使得轉(zhuǎn)化后優(yōu)化問題的求解變得比較復(fù)雜,經(jīng)典的求解優(yōu)化問題的方法不再能用來直接求解該模型,所以研究如何逼近該非凸的秩約束優(yōu)化問題的求解是必要的。第二個(gè)問題是近年來的研究熱點(diǎn)。常用的方法是用凸函數(shù)約束或者其他方法去逼近秩約束,得到了一些比較好的結(jié)果[10-12]。這些結(jié)果主要集中在對于秩函數(shù)的逼近函數(shù)研究上,而對該秩約束的可行域的結(jié)構(gòu)與分析性質(zhì)等卻少有研究[13-15]。本文對這個(gè)問題進(jìn)行了初步研究,得到一些結(jié)論。這些結(jié)論對于進(jìn)一步深刻了解秩約束的性質(zhì)以及如何逼近該約束具有一定的意義。采用符號如下:矩陣A∈Sn×n表示矩陣A為n×n的對稱矩陣,A≥0(或>0)表示A為半正定(或正定)矩陣,矩陣A∈Sn×n表示矩陣A為n×n的對稱矩陣,A≥0(或>0)表示A為半正定(或正定)矩陣。

1定義與引理

定義1:錐。K為一集合,x0∈K,若∀x∈K,λ>0,x0+λ(x-x0)∈K,稱K為以x0為頂點(diǎn)的錐。特別當(dāng)x0=0時(shí),K表示以0為頂點(diǎn)的錐,且λK⊂K,即此時(shí)錐對正數(shù)乘法封閉。

定義2:凸錐。若K為錐,且∀x1,x2∈K,λ1,λ2>0,有λ1x1+λ2x2∈K,則稱K為凸錐。即凸錐對正數(shù)加法和正數(shù)乘法封閉。

定義3:凸錐的邊界。若凸錐中的任意點(diǎn)都存在一個(gè)小鄰域,使得該鄰域內(nèi)既有屬于凸錐K的點(diǎn),也有不屬于凸錐K的點(diǎn),則稱該點(diǎn)集為凸錐K的邊界,記為∂K。定義4:共軛錐。設(shè)為K凸錐,則K∗={x∗|〈x,x∗〉≥0,x∈K}稱為K的共軛凸錐。顯然,凸錐的共軛錐K∗也是凸錐。下面先考慮集合B(r)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)=r}的性質(zhì)。引理1:當(dāng)r=n時(shí),集合B(n)={A∈Sn×n|A>0,rank(A)=n}為不包含原點(diǎn)的一個(gè)凸集。證明:由B(n)的定義,0矩陣不屬于B(n),且不存在矩陣A0∈B(n),使得對任意的正定矩陣A∈B(n),A0+λ(A-A0)>0,∀λ>0,所以B(n)不是錐;另一方面,假設(shè)A1,A2∈B(n),λ1,λ2>0,根據(jù)矩陣的正定性可知,λ1A1+λ2A2仍為正定矩陣,根據(jù)凸集的定義知,B(n)為凸集,但是不包含原點(diǎn)。引理2:當(dāng)r=n-1時(shí),集合B(n-1)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)=n-1}不是錐,也不為凸集。證明:因?yàn)锽(n-1)不滿足錐和凸集的定義,從而可以證明。例如:引理3:集合S(n)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤n}為錐,且為凸錐。證明:根據(jù)錐的定義,顯然,0矩陣屬于S(n),且對∀λ>0,有λA∈S(n),從而S(n)為錐;又∀A1,A2∈S(n),λ1,λ2>0,根據(jù)矩陣的正定性可知,λ1A1+λ2A2∈S(n),從而根據(jù)凸集的定義知,S(n)為凸集,且包含原點(diǎn)。同時(shí)引理3還表明,因?yàn)榫仃嘇為n階矩陣,r=n時(shí)的秩約束為平凡約束,則此時(shí)該集合的約束僅包含正定約束,不包含秩的約束。引理4:當(dāng)r≤n-1時(shí),集合S(r)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤r}為錐,但為非凸錐。證明:根據(jù)錐的定義可以證明S(r)為錐。根據(jù)引理2的反例知道,該錐為非凸錐。引理5:任意閉凸集為集合的相對內(nèi)點(diǎn)和集合的邊界的并集[16]。另外,還有一個(gè)結(jié)論———引理6。引理6:若r1<r2,則S(r1)⊂S(r2)。證明:由定義顯然可證。該引理表明,秩小的錐S(r)在秩大的錐S(r)的邊界上。

2主要結(jié)果

定理1:半正定矩陣約束S(n)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤n}=∪nr=0S(r)為一個(gè)閉凸錐,其完全邊界∂S(n)=∪n-1r=0S(r)為錐,且非凸;其相對內(nèi)部intS(n)=B(n)為凸集,且非錐。證明:根據(jù)引理1到引理5可以證明。由引理1可知,B(n)為不包含原點(diǎn)的凸集,為S(n)的內(nèi)部;再根據(jù)引理5,及引理3中S(n)的性質(zhì),從而可以證明:

定理2:凸錐S(n)的共軛錐S∗(n)也為閉凸錐。證明:定義矩陣A,B的內(nèi)積〈A,B〉=tr(ATB),根據(jù)共軛錐的定義S∗={A∗|〈A,A∗〉≥0,A∈S(n)},由于S(n)為凸錐,根據(jù)凸錐的性質(zhì),凸錐的共軛錐仍為凸錐,閉集的共軛仍為閉集,從而S∗(n)為閉凸錐。

定理3:半正定矩陣約束0S(k)證明:該結(jié)論的證明可以由集合閉的性質(zhì)得到。閉集為其內(nèi)部的閉包,由半正定矩陣秩約束的定義及定理1結(jié)論可以證明。說明:該結(jié)論為文獻(xiàn)[17]中的定理3,它證明了半正定矩陣秩約束空間的維數(shù)。由該結(jié)論可知,半正定矩陣秩約束對應(yīng)的錐是一個(gè)線性空間,且該空間的維數(shù)可以計(jì)算,從而對該錐空間的性質(zhì)有了進(jìn)一步的了解。

3例子矩陣

A∈S2×2,錐S(1)={A∈S2×2|rank(A)≤1},S(2)={A∈S2×2|rank(A)≤2}(A為半正定矩陣)的圖形如圖1所示。在圖1中,閉凸錐S(2)為曲面所包含的內(nèi)部部分且包含邊界曲面,為凸錐。其邊界曲面為S(1),是錐但不是凸的,因?yàn)榍嫔显氐木€性組合不一定屬于該曲面。需要說明的是,當(dāng)矩陣的維數(shù)大于2時(shí),凸錐S(r)的完全圖形及其邊界無法在三維空間中畫出,三維空間只能畫出其部分邊界的圖形。

4結(jié)論

討論了實(shí)半正定矩陣錐集合S(r)={A∈Sn×n|A≥0,rank(A)≤r},得到了當(dāng)r取不同值情況下集合的若干性質(zhì),并對該集合的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)進(jìn)行了初步的研究,得到了幾個(gè)基本結(jié)論。這些結(jié)論對于矩陣補(bǔ)全、模型降階等問題的求解具有一定的理論意義。結(jié)論刻畫了問題模型中秩約束可行域的幾何形狀及其性質(zhì),對于進(jìn)一步深刻研究矩陣秩約束優(yōu)化問題以及問題求解具有一定的價(jià)值。最后給出例子驗(yàn)證了結(jié)論。

參考文獻(xiàn):

[7]李久芹,楊洪禮.基于秩約束逼近的系統(tǒng)模型降階[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,35(6):114-122.

[16]劉光中.凸分析與極值問題[M].北京:高等教育出版社,1991:58-81.

作者：賈月筱 楊洪禮 單位：山東科技大學(xué)