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摘要：

本文在明確小學教育專業微積分課程目標及學生數學學習基礎之上，提出了教學設計的原則，并據此對《微分的概念》一課做了課堂教學設計。

關鍵詞：

教學設計；微積分；小學教育；微分的概念

《微積分》作為現代數學的重要分支，已成為眾多專業所開設的必修課程，不同專業的微積分課程在目標設置、內容選材及教學策略上應有自身的特色。教學設計是教師開發課程的首要環節，小學教育專業的微積分教學設計應在明確課程目標的基礎上，從學生現有的數學學習基礎出發，使設計的各環節凸顯出本專業特有的“師范性和基礎性”。

一、小學教育專業微積分課程目標

首先，學生應當獲得微積分的基礎理論和基本技能，為進一步學習和深造做好必要的知識儲備；其次，學習以運動、變化、無窮的觀點看待事物，體會微積分解決問題的神奇力量。這將使學生懂得微積分的價值，同時獲得現代高素質人才必有的辯證、廣闊的思維；最后，要借助微積分的學習，加深對數學基本思想和數學方法的認識。高等數學與初等數學內容不同，但研究的思想和方法是一致的，學生在微積分學習中的思維方式方法必將對其今后的數學教學工作產生重大影響。

二、小學教育專業學生的數學學習基礎

小學教育專業的微積分課程是專業必修的核心課程，在一年級開設，學生學習的基礎有以下幾方面。

（一）知識技能方面微積分的研究對象是函數，而小學教育專業的學生已在中學階段學習了函數的有關概念、公式、定理及性質，懂得基本初等函數的運算和作圖，具備了學習微積分的知識技能基礎，但這些知識的清晰度和可利用程度較低，相關技能并不嫻熟，需要在教學過程中幫助其辨認和再回憶，以加快其思考速度，提高課堂教學效率。

（二）數學思考方面學生能領會數學的抽象、推理和建模，但多數學生的抽象邏輯思維能力較低，不能自覺、合理地運用數學方法，鮮能獨立發現。同時，受高考前“題海戰術”的影響，存在“重技巧輕思路，重答案輕過程”的傾向，在微積分的學習中缺乏思考的主動性和條理性。在教學中，教師勢必要關注學生的思維過程。

三、小學教育專業微積分教學設計原則

（一）重視各概念間的意義建構微積分是一個龐大的知識體系，各基本概念（增量、極限、導數、連續、定積分、不定積分等）相互聯系生長形成了微積分的主要脈絡，進而生成附屬的性質、定理、公式等。從專業培養和課時量考慮，小學教育專業的學生不可能也無必要學完其中的各個知識點，但他們必須認識微積分基本框架結構中最基礎最重要的部分：概念。學生頭腦中建立起概念間實質性的聯系就能把握微積分的知識生長點和重要思想方法，同時清晰穩定的概念是學生進行判斷推理的的依據。學生獲得概念是同化和順應的相互交替過程，在講授新概念時，教師應當幫助學生明確新舊概念的關系，以實現概念的同化；提供具體直觀的材料引導觀察、作圖、演算、猜測、推理等活動幫助學生理清概念中各要素之間的關系，澄清概念本質，從而擴大和重組其認知結構，加快概念的順應過程。

（二）注重問題的解決過程沒有固定模式可套用解決的數學題就是數學問題，一旦掌握了該類問題解決的固定方法，形成模型后，遇到此類問題只需套模式解答就行了，就是做練習。問題解決的過程是學生建立模型的基礎，教師應充分利用問題引發學生的思考，以問題解決為平臺通過講授、演示、啟發式談話等方法引導學生展開數學思考，通過反問、質疑、點評等手段提高學生思維的條理性、邏輯性和深刻性，從而實現抽象和建模。做練習可以加深對模型的認識，體會模型的高效便捷。練習是必不可少的，但應注意練習的典型性減少重復性，同時要關注學生能否正確判斷出練習與模型的匹配，如設置一些糾錯練習：（3x）'=x.3x-1是否正確，為什么？

（三）加強數學方法的運用，減輕邏輯論證的過程性數學方法是在數學思想指導下解決問題的步驟程序，數學思想抽象概括，而數學方法則是思想的具體表達。理解數學思想必需經過數學方法的長期實踐運用。如極限的思想，學生要通過“無限分割、無限逼近、化曲為直”等方法解決問題才能逐步領悟。同時數學活動過程中結論的發現、證明都離不開數學方法，學生只有懂得其中的方法才能理解結論的意義及其正確性。對于小學教育專業的學生來說，他們應當懂得微積分結論的來龍去脈而不必過于關注細枝末節。因此，教師要關注的是如何引導學生運用數學方法發現結論及尋求證明的路徑，對于證明結論過程，則應降低要求，邏輯推理嚴謹的細節，可以直接提示或演示給學生看，達到“知曉”的目的即可。在教學過程中，對于學生未曾接觸過的數學方法，教師可以通過演示和講解使之接受，對于學生較為生疏尚不能自覺運用的數學方法，教師應適時提示或幫助其回憶，并提供機會讓學生效仿、操作和反思。長此以往，學生對數學思想的認識及思維品質都會得到提高。

四、《微分的概念》教學設計

（一）教學內容微分定義的背景材、微分定義、函數可微的條件。

（二）教學目標1.經歷求解實際問題中函數增量近似值的過程（1）抽象出函數f(x)在點x0處的微分定義；（2）能理解并記憶表達式：△y=A△x+O(α)△y=dy+O(α)△y≈dy；（3）初步體會微分的應用性。2.通過對比導數和微分概念中的表達式及觀察實際問題中的A值，能猜測出A=f'(x0)。3.通過閱讀證明過程，理解可微圳可導，記憶公式dy|x=x0=f'(x0)△x。

（三）教學重點△y、dy、f'(x)的關系。難點：微分定義的構造性表述方式。

（四）學情分析無窮小量及高階無窮小量的概念是學生解決新問題，理解△y≈dy的必要的知識，這一知識點大多數學生達到理解水平；導數的概念，基本初等函數的導數是學生將導數與微分建立聯系的知識基礎，多數學生能大致回憶導數的概念公式，能快速計算基本初等函數的導數。

（五）教學方法啟發式談話法與講解演示法、閱讀法相結合。

（六）學習方式有意義的接受學習和有指導的發現學習相結合，獨立思考與合作交流相結合。

（七）教學過程課前準備：復習導數概念、幾個基本初等函數求導公式。（設計意圖：通過簡單復習，使學生獲得將導數與微分建立聯系的知識準備和心理傾向。）1.問題驅動（1）出示問題一：一個正方形金屬薄片受溫度變化影響，邊長由x0變到x0+△x，問它的面積改變了多少？面積估計改變多少？（學生獨立計算，提示：若x0=10，△x=0.0001時，面積估計改變多少？（設計意圖：問題一和二作為引導性材料，其涉及的運算簡便，結果特征明顯，易于學生發現其中的共同點和特征。在學生能力范圍內的獨立思考和討論可提高學生的學習主動性。）2.抽象、建立模型（1）提問：兩個例子的已知條件、問題有何相同之處？結果表達式有何特點？（梳理、完善學生的回答，指出拋開實際問題的具體意義，抓住它們在數量上的共性，就是微分的定義。）（2）提問：微分和增量之間的關系？（要求學生說明理由）（設計意圖：學生發現共同點、特點的過程就是對具體問題概括抽象的過程，在此基礎上給出微分的定義，學生易于接受，從而突破本節課的難點。提問“微分和增量的關系”又促使學生回顧微分的定義過程，頭腦中建立起微分和增量的實質性聯系）（3）記憶：微分定義中包含的重要等式：△y=A△x+O(△x)；dy=A△x；△y≈dy（設計意圖：培根說過“：一切知識，不過是記憶”。學生記憶重要等式就是對先前學習活動經驗的加工存儲，頭腦中微分概念各要素的關系更為穩定清晰，同時為后繼的思考準備原材料。）3.猜想、驗證（1）猜想A是f(x)的？（要求學生說明是怎么猜的）（設計意圖：猜想是數學發現的重要步驟，鼓勵猜想并說明理由可以讓學生體會猜想所帶來的探索意義并獲得一些合情推理的數學方法）4.練習設x的值從x=1變到x=1.01，試求函數y=2x2-x的增量和微分。（設計意圖：通過求具體函數在某個確定點的增量和微分，鞏固△y、dy、f'(x)的關系，同時學生可以直接體驗到公式dy|x=x0=f'(x0)△x在求函數微分計算中的價值和微分近似代替增量的優越性。）5.總結提問微分和增量的關系？微分和導數的關系？dy近似代替△y的優點？（設計意圖：最后提問的答案，是從練習的具體問題到一般化的概括，最終實現微分概念的意義建構。）參考文獻[1]姚紹義.大學數學（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2002：160-161.

作者：廖翔 單位：廣西師范學院 初等教育學院