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1威布爾分布模型、秩和順序統計量簡介

威布爾分布模型是瑞典科學家WaloddiWeibull于1939年提出的一種概率密度分布函數類型，它包含有3個參數，分別為位置參數、形狀參數和尺度參數。威布爾分布的優點在于它適用于小樣本抽樣及它對各種類型實驗數據極強的適應能力。若隨機變量T服從3參數威布爾分布，則其概率密度函數為。式中，β＞0為形狀參數，η＞0為尺度參數，γ≥0為位置參數，記作T～W(β，η，γ)。當β=1時，為指數分布;當β=2時，為瑞利分布;當β在3～4之間取值時，接近于正態分布，可見威布爾分布適應能力強、覆蓋性強。當γ取值為零時，即為雙參數威布爾分布模型。順序(或次序)統計量是數理統計學中具有廣泛應用的一類統計量。設X為一總體，將一容量為n的樣本觀察值x1、x2、…、xn按自小到大的次序編號排列成:x(1)≤x(2)≤…≤x(n)，稱x(1)、x(2)、…、x(n)為順序統計量;稱x(i)的足標i(i=1，2，…，n)為x(i)的秩或秩序數，當出現某些觀察值相等時，將足標i的平均值作為這些觀察值的秩。

2實驗概況及結果

2．1原材料、配合比水泥為天津水泥股份有限公司生產的駱駝牌P•O42．5普通硅酸鹽水泥;實驗所用砂為天然河砂，細度模數為2．6的中砂;石子選用連續級配的碎石，粒徑5～20mm;水為普通自來水。水灰比為0．49，砂率為36%，實驗配合比見表1。

2．2實驗方法和結果試件采用課題組自行設計的U型混凝土試件，(采用U型試件能夠預先確定試件開裂的位置，利于實驗結果的觀察和記錄，提高可預知性［10］。)其尺寸為:兩個矩形長腳其長×寬為85mm×50mm，厚度為65mm;半圓形拱的內外半徑分別為85和135mm。U型試件的成型采用自制的鋼制模具，同時為了減少人為因素造成的影響，采用質量控制的方法嚴格控制U型混凝土試件間的差異性。試件成型后24h脫模，并放入標準養護室養護28d。并在進行抗沖擊實驗前4h從養護室把試件取出，并將外表面擦拭干凈、晾干。根據目前已有落錘沖擊實驗的基本原理和思路，實驗采用本課題組自制的、帶有滑軌和鋼制底座的自由落錘抗沖擊裝置，如圖1所示。落錘采用高強鋼材制作而成，取其4個質量水平分別為0．875，0．8，0．675和0．5kg，實驗時，落錘的沖擊高度為400mm。應變片的粘結參照文獻［12-13］，將應變片粘貼在混凝土U型試件幾何中心底部受拉區的中部，以及側表面的上邊緣處，粘貼應變片時先用砂紙將試件貼片處的表面打磨平整，并用酒精將其擦拭干凈，然后粘貼應變片。實驗時將該側表面面對觀測者，并將應變片與動態數據采集系統相連接。沖擊實驗的過程、裂縫的觀測及沖擊次數的判斷，參照文獻［13］和［14］中附錄D的方法進行:將試件放在落錘的正下方，并將自制的落錘從一定的高度自由落下沖擊試件，至沖擊后落錘完全靜止;每完成一次沖擊即為一個循環，如此反復多次，仔細觀察試件表面，當試件從無裂縫到產生第一條微裂縫時，即試件底部受拉區的應變值發生突變時，記錄下此時的沖擊壽命，即為初裂沖擊壽命N1;當試件底部裂縫向上發展并將貫穿整個截面時，記錄下此時的沖擊壽命，即為破壞沖擊壽命N2。每組12個試件，共48個試件，其沖擊實驗結果如表2。

3沖擊壽命的Weibull分布分析

3．1沖擊壽命的威布爾描述鑒于沖擊實驗破壞機理與疲勞實驗破壞機理的相似性，參照文獻［9］中威布爾分布關于疲勞壽命的描述，將威布爾分布理論用于沖擊壽命N的概率統計分析。若沖擊壽命N服從3參數威布爾分布。在上述式(3)和(4)中，N0、Na、b3個參數分別對應著γ、η、β，即分別代表最小沖擊壽命參數、尺度參數和形狀參數。并注意到，當沖擊壽命N的隨機取值為Na時，利用上述式(4)，可求得F(Na)=1－1/e=0．632，為固定值，與其它參數值的大小無關，此時沖擊壽命Na也被重新標度為特征沖擊壽命參數。并且當最小沖擊壽命參數N0的取值為0時，3參數威布爾分布變為雙參數威布爾分布。

3．2威布爾分布檢驗累積失效概率函數為F(N)，則生存概率函數(或可靠性函數)的表達式為。可見，若X和Y之間存在近似的線性關系，即相關系數R2較大時，則可以證明雙參數威布爾分布可以合理的描述U型混凝土試件的抗沖擊壽命參數。并可以由線性回歸分析，得出參數b、bln(Na)和相關系數R2的值。驗證過程分成兩步來實現，首先，將沖擊實驗中每一組試件的抗沖擊壽命參數(N1，N2)按順序統計量的形式從小到大排列，并給出未排列前原始實驗數據所對應的秩序數i;然后用F(N)和R(N)的期望估計來原始3參數威布爾分布公式(1)中的參數(β、η、γ)進行重新標度，并考慮到混凝土材料在沖擊實驗中存在最小沖擊壽命的問題，令b=β，Na－N0=η，N0=γ，即T～W(β，η，γ)變為N～W(b，Na，N0)。則在同一落錘質量水平作用下，各U型混凝土試件沖擊壽命N的分布規律可以由以下概率密度函數表示。對于沖擊實驗結果表2中的沖擊壽命(N1，N2)，按照上述方法及公式(7)，以Y=ln{ln［1/R(N)］}為縱坐標，X=ln(N)為橫坐標，通過最小二乘法進行線性回歸分析，得到在4種落錘質量水平下的回歸直線圖及對應的回歸參數b、bln(Na)和相關系數R2的值分別如圖2和表3所示，其擬合所得直線斜率即為雙參數威布爾分布的形狀參數b。由上述分析及圖2和表3可見，其相關系數R2的值均大于0．9，所以X=ln(N)和Y=ln{ln［1/R(N)］}之間存在明顯的線性關系，即上述公式(7)成立，從而證明雙參數威布爾(Weibull)分布可以合理地描述混凝土的初裂沖擊壽命(N1)和破壞沖擊壽命(N2)。

4結論

(1)鑒于混凝土抗沖擊實驗數據的離散性，將混凝土的抗沖擊壽命N看作一個隨機變量，利用概率統計的原理對其進行分析描述，可以更加合理、準確科學的評價其抗沖擊性能。(2)U型試件混凝土的初裂沖擊壽命和破壞沖擊壽命的概率分布，可以很好地用雙參數威布爾分布理論進行描述和分析。得到的實驗數據及分布規律能夠為進一步研究混凝土的斷裂、沖擊等破壞過程提供參考。

作者：朱學超朱涵李浩然單位：天津大學建筑工程學院天津大學濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室