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課程設置既是研究生進行課程學習的知識載體，學生科研創(chuàng)新能力培養(yǎng)中基本知識和基本方法的傳承和發(fā)展，也直接制約著培養(yǎng)目標的實現(xiàn)。課程設置還是學科點自主實現(xiàn)學科持續(xù)發(fā)展的主體作用的體現(xiàn)，關注研究生課程設置與建設是當前的熱點話題之一。2014年12月教育部公布了關于改進和加強研究生課程建設的意見[1]，要求“把培養(yǎng)目標和學位要求作為課程體系設計的根本依據。完整貫徹本學科研究生培養(yǎng)目標和學位要求，重視課程體系的系統(tǒng)設計和整體優(yōu)化。堅持以能力培養(yǎng)為核心、以創(chuàng)新能力培養(yǎng)為重點，拓寬知識基礎......”。2015年1月27日，總理在與科教文衛(wèi)體的代表座談時談到“剛才為什么我要問純數(shù)學？我們要搞原始創(chuàng)新，就必須更加重視基礎研究，沒有扎實的基礎研究，就不可能有原始創(chuàng)新”[2]。與一般研究研究生公共數(shù)學[3]或者數(shù)學二級學科[4]的課程體系不同，本文主要關注數(shù)學學科本身的課程設置問題。通過調研我國19個大學數(shù)學一級學科下，各個培養(yǎng)單位自主設置基礎數(shù)學、應用數(shù)學、計算數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計和運籌學與控制論共五個二級學科下開設專業(yè)課程的現(xiàn)狀，進行可視化統(tǒng)計分析。把各個高校開設的共性課程與哈佛大學、加州大學伯克利分校的數(shù)學課程進行對比分析。課程統(tǒng)計分析結果可以為數(shù)學學科碩士研究生培養(yǎng)方案修（制）訂提供參考，也可供理工類學科選修數(shù)學課程參考。

一、數(shù)學學科課程開設頻數(shù)可視化分析

課程數(shù)據來自于19個高等學校：北京大學（PKU），北京工業(yè)大學（PKU），北京航空航天大學（BAUU），北京交通大學（BJTU），北京科技大學（USTB），復旦大學（FDU），哈爾濱工業(yè)大學（HIT），華東理工大學（ECUST），武漢理工大學（WUT），上海交通大學（SJTU），西安交通大學（XJTU），蘭州大學（LZU），武漢大學（WHU），吉林大學（JLU），南京大學（NJU），四川大學（SCU），南開大學（NKU），浙江大學（ZJU），山東大學（SDU）。括號中的學校簡稱用于課程設置信息可視化圖形繪制（如圖1）。所選的19所高校中包括北京大學等國家重點學科院校8個。由于本次統(tǒng)計分析主要面向綜合類或者理工類院校，所以沒有納入師范類院校。

根據各個學校公開的培養(yǎng)方案中的選修課和必修課進行統(tǒng)計，把課程名稱非常接近的課程合并為同一個課程名稱,比如“代數(shù)幾何初步”并入“代數(shù)幾何”，“算法分析與設計”并入“算法設計與分析”，“現(xiàn)代分析基礎”并入“現(xiàn)代分析引論”，“小波分析及應用”并入“小波分析”，“有限元的數(shù)學理論”并入“有限元方法”，“隨機信號處理”并入“隨機信號分析”，“最優(yōu)化計算方法”并入“最優(yōu)化理論與算法”，“矩陣分析”并入“矩陣分析與計算”等。在合并之后，這19所高校的開設課程之和多達664門，采用信息可視化軟件Gephi,繪制出這19所高校及其數(shù)學學科開設課程交叉關系圖（圖1）。圖1中，學校和課程都采用代碼表示，每門課程對應一個小圓點（結點），每所學校對應于一大圓點（結點），將學校與其所開設課程通過直線相連。若同一門課程的開設學校多于一個，則此結點與多個學校相關聯(lián)，并且這類多個學校關聯(lián)的結點一般都布局在比較靠近中心的位置。若某個結點僅與某個高校關聯(lián)，則說明此課程為這個學校特色課程。從圖1可以看出，ZJU，BJTU，LZU，SDU，PKU，NKU，F(xiàn)DU都開設了較多特色課程。從高校角度看，這19所高校中，各個高校開設課程數(shù)量如圖2所示，其中開課最多的是復旦大學158門，最少的是華東理工大學26門。從課程角度看，664門課程中，有447門課程僅有一個學校開設，有118門課程獲得了3個或者3個以上學校開設。而獲得7個或者7個以上學校開設的課程僅有28門,如表1所示。表1中的課程代碼體現(xiàn)在圖1中。可見表1所列出的28門課程獲得比較多高校的重視，可以認為是數(shù)學學科的關鍵課程集。根據開設課程的頻數(shù)和相關排序，從表1還可以歸納出以下幾個結論。

（1）相對公認的最關鍵課程是泛函分析、動力系統(tǒng)、隨機過程，這也是近些年來數(shù)學學科各個分支方向的熱門課程。（2）數(shù)值計算、最優(yōu)化方法、統(tǒng)計分析等基本數(shù)學技術與動力系統(tǒng)、小波分析、有限元方法等前沿課程代表的先進方法在數(shù)學學科獲得同等重要的地位，在28門課程中的次序不相上下，所占比例也比較接近。（3）純數(shù)學課程保持了相當?shù)谋壤?shù)學作為學科自我發(fā)展的純數(shù)學方向的課程，比如代數(shù)拓撲、交換代數(shù)、黎曼幾何、代數(shù)學、拓撲學、微分幾何等都得到了重點關注。

二、依據開設課程相關性的高校聚類

由于課程數(shù)目多達到664門，而各個高校開設課程數(shù)量相對于這個數(shù)字而言只能是小比例，以其中的關鍵課程或者熱門課程為基礎進行聚類分析。我們先給出數(shù)據統(tǒng)計分析方法的基本描述。第（ii=1,2,…,19）個學校關于n門課程開設狀態(tài)用一個n維的向量xi=（c1,c2…,cn）表示,其中cj（j=1,2,…,n）為0-1變量，cj=0表示該學校未開設第j門課程，否則cj=1。將兩所學校A和B之間相關距離定義為d=1-r2，即實數(shù)1與相關系數(shù)r的平方的差。兩所學校相關系數(shù)絕對值越高，這兩所學校的距離就越短。采用R語言的iGraph軟件包編程實現(xiàn)聚類分析。其中聚類算法采用力導引布局的FR算法，輸入這19個學校的相關距離矩陣，繪制出聚類結果圖。為了讓圖像更加簡潔地體現(xiàn)聚類效果，僅畫出相關距離小于0.9的聚類結果。繪圖中邊的長度與A和B之間的相關距離相對應。取表1中排序前15（n=15）門關鍵課程進行可視分析，從圖3(a)可以看出，在相關距離小于0.9的水平上，19個學校可以分為六個類：第一類是北京大學、四川大學、武漢大學、華東理工大學、武漢理工大學；第二類是蘭州大學、山東大學；第三類是浙江大學、南京大學、北京科技大學、上海交通大學和北京航空航天大學；第四類是哈爾濱工業(yè)大學、北京交通大學、北京工業(yè)大學；第五類是西安交通大學、南開大學和吉林大學；第六類是復旦大學。這個聚類是按照這15門課程的開設情況作出的，能夠從課程設置方面體現(xiàn)出一些異同之處。如果需要找出更深層次的信息，需要結合各個學校的培養(yǎng)目標進行分析。若重點考慮其中至少有6個或者6個以上學校開設的課程，則有37門（n=37），這37門課程為基礎進行聚類分析。由FR算法可以繪制聚類結果如圖3（b）所示。與圖3（a）相比較，聚類結果有些變化，比如學校被分為8類，其原因是向量維數(shù)增加，0分量的個數(shù)增加，學校之間的相關性削弱，從而相關距離增加。

三、關鍵數(shù)學課程的中美比較分析

哈佛大學數(shù)學系的數(shù)學課程[5]中包含在表1中28門課程的是復分析、代數(shù)拓撲、代數(shù)學、李群和李代數(shù)、微分幾何等5門。面向研究生開設的課程有32門，其中有代數(shù)K-理論和流形拓撲、算術統(tǒng)計專題、代數(shù)幾何中的相交理論、結的代數(shù)不變量等12門新課程，這些新的課程與學科的新進展、當前社會和科技新需求緊密結合。學校還開設了供研究生與本科生同修的數(shù)學課程30門，包括一些經典的數(shù)學課程，比如泛函分析、動力系統(tǒng)、組合論、線性代數(shù)及其應用、概率論等。在這30門課程中開設了統(tǒng)計軟件的數(shù)學基礎等5門新課程。新課程的開設以及研究生與本科生大量課程的同修是哈佛大學數(shù)學系與國內課程設置上的兩個不同點。加州大學伯克利分校數(shù)學學科研究生課程65門[6]，其中在表1的課程有8門課程，分別是動力系統(tǒng)，偏微分方程，代數(shù)拓撲，矩陣分析與計算，黎曼幾何，調和分析，微分方程數(shù)值解,李群。65門課程中包含數(shù)學課程熱點話題、代數(shù)專題、拓撲專題、微分幾何專題等特色課程，其授課內容是由任課教師自主選定的各個方向的高級話題，因此其內容因時因人而有所變化。對比這兩所學校的開設課程與表1的關鍵課程表，可以看出，哈佛大學和加州大學伯克利分校的應用類課程如小波分析、有限元方法、時間序列等課程沒有開設，它們主要通過一些專題課程形式來教授應用、前沿、熱點知識。

四、對自主設置課程的思考與建議

本文對我國19個大學的數(shù)學類碩士學位一級學科下自主開設專業(yè)課程的現(xiàn)狀進行統(tǒng)計分析，得出如下結論：

1.各個學校開設的數(shù)學專業(yè)課程數(shù)量差異較大，多的150余門，少的20多門；各個高校課程交叉形成的關鍵課程28門，其中泛函分析,動力系統(tǒng)，偏微分方程，小波分析，復分析,有限元方法，組合優(yōu)化，最優(yōu)化理論，多元統(tǒng)計獲得半數(shù)以上高校開設；根據各個高校課程交叉的特征對各個高校進行聚類，能夠直觀分析各個高校的聚類特征和特色課程；交叉課程基數(shù)越大，聚類越分散。

2.基于哈佛大學與加州伯克利分校數(shù)學課程，可以看出國外高校在分析、幾何、代數(shù)三大傳統(tǒng)方向的基礎課與所列出的國內28門關鍵課程有較大的交集，而應用類課程交集不明顯。

3.自主開設一些前沿類、熱點類研究生課程或者專題講座，是符合目前國內外名校課程設置的通行方式。除了參考本文課程設置的統(tǒng)計分析結果，各個高校在修(制)訂專業(yè)培養(yǎng)方案時還應該結合培養(yǎng)目標[7]、學科系統(tǒng)性[8]以及各學科點的辦學特色，研究課程設置，為人才培養(yǎng)質量的提高制定可行的方案。

作者：李紅軍 滕鵬舉 張年超 張陽陽 單位：北京林業(yè)大學理學院