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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)理工、經(jīng)管類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課,概率論的知識(shí)和技術(shù)在科學(xué)研究、國民經(jīng)濟(jì)以及日常生活中都被廣泛地應(yīng)用。鑒于這門課程的特點(diǎn),傳統(tǒng)的教學(xué)方法注重理論的推導(dǎo),不能很好地給學(xué)生一個(gè)直觀上的理解,忽略了概率知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用背景,使得應(yīng)用性很強(qiáng)的一門課程與實(shí)際存在一定的差距。如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高概率統(tǒng)計(jì)這門課程的教學(xué)質(zhì)量,是每一位從事該門課程教學(xué)的教師在思考的問題。我們結(jié)合概率論這門課的教學(xué),談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,給出有利于這門課學(xué)習(xí)的一些粗淺的方法。

1了解概率論的發(fā)展歷程

學(xué)好一門課程,首先要對(duì)其歷史有所了解,知道這門學(xué)科的一些基本問題以及概念公式的來歷。概率論起源于賭博游戲,17世紀(jì)中葉法國貴族梅勒在賭博中遇到了這樣一個(gè)問題:甲乙兩名賭徒進(jìn)行一場(chǎng)賭博,約定誰先贏到7局為勝者,現(xiàn)甲贏了5局,乙贏了4局,賭局因事終止,問賭資如何分配？梅勒就此問題向法國數(shù)學(xué)家帕斯卡及費(fèi)馬求教。此時(shí)荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯恰巧在巴黎游學(xué),得知此問題后,于1657年在其著作《論賭博游戲中的計(jì)算》中獨(dú)立解決,這也是概率論中的第一篇論文,也標(biāo)志著我們概率論的誕生。他們?nèi)颂岢龅慕夥ㄖ?都首先涉及了數(shù)學(xué)期望這一概念,并由此奠定了古典概率論的基礎(chǔ),這一時(shí)期也被成為古典概率階段。隨著概率論在各個(gè)學(xué)科以及社會(huì)各領(lǐng)域的應(yīng)用,一大批非常優(yōu)秀的學(xué)者投入到其研究中來。瑞士人雅克比-貝努力在遺作《猜度術(shù)》中首先提出并證明了概率歷史上第一個(gè)大數(shù)定律,即貝努力大數(shù)定律,深刻的揭示了頻率與概率之間的關(guān)系。棣莫佛在《分析雜論中》提出了乘法原理以及正態(tài)分布等概率中的一些非常重要的概念并介紹了概率中另外一個(gè)非常重要的極限定理,即中心極限定理。概率論發(fā)展到1901年,中心極限定理才被嚴(yán)格的證明了,及后數(shù)學(xué)家利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從以正態(tài)分布。這一時(shí)期,一個(gè)標(biāo)志性的事件是拉普拉斯1812年在其著作《概率分析理論》中闡述了概率的古典定義,這也標(biāo)志著概率成為一門數(shù)學(xué)學(xué)科。這一階段,特征函數(shù),差分方程等分析工具被應(yīng)用到概率論的研究當(dāng)中,故也稱為分析概率階段。

2一些概念及公式的直觀理解

在概率論的學(xué)習(xí)當(dāng)中,有三組公式非常重要的,即乘法公式,全概率公式及貝葉斯公式。按照通常的方法授課,即利用數(shù)學(xué)推理得到這些公式,學(xué)生雖然可以記住公式的形式,但在做題中很難能夠靈活運(yùn)用。這三個(gè)公式本來是用來解決實(shí)際問題的,有其直觀背景。通過一年來的教學(xué)實(shí)踐,我們給出其實(shí)際背景。對(duì)于乘法公式,其中,我們可以這樣來理解:事件本身比較復(fù)雜,求其概率時(shí),可以將其分解為n個(gè)步驟。做完一步后,再來看下一步,依次類推。這樣全概率公式的直觀背景就很清楚了,學(xué)生也容易理解。令Β1,...Βn為樣本空間S的一個(gè)劃分,且,則對(duì)任何事件A,我們有全概率公式:。我們可以將A事件看成是煤礦發(fā)生礦難這一事件,Β1,...Βn可以視為導(dǎo)致礦難發(fā)生的原因,全概率公式就給我們提供了一種風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的方法。同樣的對(duì)于貝葉斯公式:,我們可以看作礦難A發(fā)生后,責(zé)任的分派問題。如果全概率公式可看成“由因索果”的話,貝葉斯公式即為“由果索因”。在應(yīng)用這兩個(gè)公式時(shí),關(guān)鍵是要找到所有原因,即樣本空間的劃分,以及結(jié)果,這樣就可以有的放矢。

3借助多媒體制作仿真畫面組織情景教學(xué)

在學(xué)習(xí)頻率的穩(wěn)定性及概率的統(tǒng)計(jì)定義時(shí),如果利用多媒體,模擬出一口袋中放有大小、質(zhì)地完全相同的10只球,只有黃、白兩種顏色,每次只能摸出一球,觀察其顏色,然后放回再摸,摸500次、1000次、1500次、2000次、10000次、15000次、50000次、100000次或更多次球,讓學(xué)生計(jì)算出摸到黃球的頻率,再分析其中黃球的只數(shù),教師引導(dǎo)他們分析總結(jié)得出結(jié)論。通過這種方式學(xué)生很容易理解頻率的穩(wěn)定性及概率的統(tǒng)計(jì)定義等問題。以上各環(huán)節(jié)制作成仿真的多媒體畫面,學(xué)生從虛擬的場(chǎng)景中便可學(xué)到頻率的穩(wěn)定性及概率的統(tǒng)計(jì)定義,從而大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及對(duì)知識(shí)的理解能力。

4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論框架

學(xué)任何一門課,學(xué)生都應(yīng)該要知道這門課要解決的主要問題,大體上的理論框架。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的一門學(xué)科。如何研究,就要做隨機(jī)試驗(yàn),然后把隨機(jī)現(xiàn)象看成樣本空間中的事件,研究規(guī)律性,也就是要求事件的概率。事件即為集合,是一個(gè)比較抽象的概念,也就需要把事件數(shù)量化,引入隨機(jī)變量的概念,把事件的概率轉(zhuǎn)化為應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)研究隨機(jī)變量的性質(zhì)。我們知道隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性完全可以由其分布函數(shù)來確定,即分布函數(shù)是一個(gè)整體概念。對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的隨機(jī)變量來說,有時(shí)候分布函數(shù)難以求出或者只需知道一些指標(biāo)即可,我們引入了期望,方差,協(xié)方差等數(shù)字特征來刻畫隨機(jī)變量。其為局部概念,由分布函數(shù)得到這些數(shù)字特征是由整體到局部。從哲學(xué)觀點(diǎn)來看,由局部完全回到整體是不可能的,但通過中心極限定理,我們可由數(shù)學(xué)期望,方差等部分回到整體,即對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù)做出近似估計(jì)。那么在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中,如何確定數(shù)學(xué)期望,方差等數(shù)字特征呢？這就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分所講的內(nèi)容了,即通過點(diǎn)估計(jì),區(qū)間估計(jì)以及假設(shè)檢驗(yàn)等方法給出這些數(shù)字特征的估計(jì)量。這就是我們這門課大體上的理論框架。

總而言之,由于概率統(tǒng)計(jì)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性很強(qiáng),在講解課本理論的同時(shí),我們需要不斷的聯(lián)系實(shí)際,做到理論與實(shí)際的結(jié)合,讓學(xué)生對(duì)我們這門課有生動(dòng),直觀及全面的認(rèn)識(shí),不斷培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與積極性。