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一、引言

社會保障基金（簡稱社保基金）是指依據(jù)國家法律、法規(guī)和政策的規(guī)定，為滿足社會保障的需要，通過各種渠道、采取各種形式籌集到的用于社會保障各項用途的專項資金。2001年，為使社保基金試水資本市場，我國成立了全國社會保障理事會，主要負責管理全國社會保障基金。目前，全國社會保障基金共有5個系列的投資組合，分別是“1”字開頭的股票投資組合、“2”字開頭的債券投資組合、“5”字開頭的新股型組合、“6”字開頭的穩(wěn)健配置組合以及“0”字開頭的指數(shù)化投資組合。其中，“0”字頭的001、002組合由社保基金會投資部自行管理，其余的由社保理事會委托具有社保基金投資管理人資格的金融機構管理。全國社會保障基金自成立至2009年末，累計投資收益額2448.59億元，年均投資收益率為9.75%（《全國社會保障基金理事會基金年度報告》（2009）），遠遠高于銀行年存款利率。但是社保基金在獲得相對較高收益的同時，又承擔著怎樣的風險？社保基金投資的首要原則是安全性，準確地測度社保基金投資風險對控制風險的前提，對保證社保基金投資的安全性具有重要的意義。目前關于我國社保基金投資組合風險測度的研究，主要采用的是簡單的VaR方法測度若干只重倉股的風險（崔玉杰等，2003；劉子蘭、嚴明，2006）[1-2]。尚未將相對先進的風險測度技術引入到社保基金投資組合風險測度中。投資組合風險測度的關鍵問題之一是金融資產相關結構的建模。Copula被認為是刻畫金融資產相關結構的一種新方法，它將邊緣分布與變量間的相關結構分開來進行研究，使得對問題的分析更加靈活。自從Embrechts（1999）[3]將Coupla引入到金融領域后，Copula在風險測度領域取得了一系列的成果（Embrechts等，2003；李建平等，2010）[4-5]。近年來，一些學者把GARCH模型、極值理論（EVT）與Copula結合，研究投資組合的風險。劉志東（2006）[6]提出了基于Copu-la-GARCH-EVT模型的資產組合選擇模型及其混合遺傳算法。應益榮和詹煒（2007）[7]基于Copula-EVT模型研究了資產組合的ES。傅強、邢琳琳（2009）[8]基于Copula-EVT模型測度了投資組合的CVaR。Wang等（2010）[9]基于GARCH-EVT-Copula模型研究了外匯組合的VaR和CVaR。本文將GARCH-VET-Copula引入到社保基金投資組合風險測度中，以期更加準確地測度風險，為社保基金風險管理提供科學的決策依據(jù)。

二、測度模型

（一）GARCH模型

金融時間序列的一個顯著特點是存在條件異方差，Engle于1982年提出自回歸條件異方差（ARCH）模型來刻畫時間序列的條件二階矩性質，并通過條件異方差的變化來刻畫波動的時變性及聚集性。用ARCH模型對非平穩(wěn)時間序列建模過程中會遇到滯后階數(shù)過大甚至趨于無窮，導致計算上的過高復雜性，這就引入了廣義ARCH—GARCH模型。ìí?????rt=μt+εtεt=h1/2tξt,ξt~i.i.F(?)ht=α0+∑i=1qαiε2t-i+∑i=1pβiht-i（1）其中，p0，q0，α00，αi0（i=1，2，...，q），βi0（i=1，2，...，p）。式（1）稱為GARCH（P,Q）模型。均值項μt一般用自回歸移動平均過程ARMA模型進行擬合，滯后階數(shù)一般根據(jù)自相關圖和偏自相關圖以及AIC、SC等確定。不同的ξt分布可以得到不同的GARCH模型，常見的假設F(?)為標準正態(tài)分布N(0,1)、自由度v的tv分布、廣義誤差分布（GED）。若用極值理論EVT的廣義極值分布或者廣義Pareto分布來擬合ξt的條件分布F(?)，模型就稱為EVT-GARCH。

（二）極值理論（EVT）

一般來說，金融資產收益都具有尖峰厚尾的特征，極值理論不是針對整個分布建模，僅考慮尾部，避開了分布假設難題，有助于處理風險度量中的厚尾問題。一元極值分布理論包括BMM（BlockMaximaModel）和POT（PeaksOverThreshold）。前者主要是對組最大值建模，需要采用大量的數(shù)據(jù)；后者則是對觀察值中所有超過某一較大閾值的數(shù)據(jù)建模，能有效地使用有限的極端觀察值，因此通常被認為在實踐中是最有用的。本文采用POT進行建模。基于EVT建模時，必須要求收益率序列是獨立同分布的。首先采用FIGARCH模型對收益率序列建模，提取標準化的殘差ξt。假設F(z)為Z（ξt所對應的隨機變量）的分布函數(shù)，u為閾值，z-u表示超額值，其超額分布函數(shù)記為：Fu(y)=P(Z-uy|Z>u)=(F(z)-F(u))/(1-F(u))（2）對于條件超額分布函數(shù)Fu(y)，存在一個廣義pa-reto分布函數(shù)GPDζ,β(y)使得Fu(y)≈GPDζ,β(y)，即對于充分大的閾值u，超額值的分布函數(shù)可以用廣義Pareto分布（GPD）近似。即GPDζ,β(y)=ìí?????1-(1+ζyβ)-1/ζζ≠01-exp(-yβ)ζ=0（3）其中，ζ是形狀參數(shù)，β是尺度參數(shù)。ζ>0表示是厚尾的；當ζ<0時，0x-β/ζ。在計算投資組合的VaR時主要用到的是尾部數(shù)據(jù)，所以對尾部分布的擬合極為重要。本文首先采用式（1）對收益率序列建模，提取標準化的殘差ξt，然后采用Danielsson和Vries（2000）[10]的半?yún)?shù)法來構建尾部分布的函數(shù)F(ξt)：應用經驗累積分布函數(shù)（cdf）對{ξt}的中間部分建模，應用極值理論對其尾部進行建模。對于中間部分，采用非參數(shù)高斯核估計法（NonparametricGaussianKernel）來擬合；對于尾部，采用廣義帕累托分布（GPD）對其進行擬合，從而得到模型標準化殘差ξt的分布函數(shù)F(ξt)：Fζ,β(ξt)=ìí?????????1-nuLn(1+ζξt-uLβ)-1/ζ,-∞<ξtuLcdf(ξt),uL<ξtuU1-nuun(1+ζξt-uuβ)-1/ζ,uU<ξt<∞（4）根據(jù)Neftc（i2000）[11]，選取10%和90%作為序列閾值的分位數(shù)，即uL為滿足cdf(ξt)10%的最大值，uU為滿足cdf(ξt)90%的最小值。

（三）Copula函數(shù)

研究投資組合的風險，除了正確地對邊緣分布建模以外，準確地刻畫金融資產間的相關結構也是關鍵問題之一。Copula理論為研究變量間相關性結構提供了一種新方法，由于其能夠很好地擬合變量之間復雜的非線性相關性，并且不依賴于邊際分布，Copula在現(xiàn)代風險管理領域中得到了越來越多的應用，被認為是非常適合的、強有力的建模工具。常見的橢圓簇Copula函數(shù)有GaussianCopula、t-Copula等。相對于正態(tài)Copula，t-Copula函數(shù)有著更厚的尾部，更易捕捉投資組合中各變量尾部的相關結構。本文使用t-Copula來反映變量之間的相關關系。兩階段極大似然估計法是估計Copula模型參數(shù)的常用方法。本文中t-Copula模型的參數(shù)估計方法如下。

第一步：估計法估計邊緣分布即式（4）的參數(shù)，即θ?i=argmax∑t=1Tlnfi(ξit;θi),i=1,2,...,N（5）其中，fi(?)為式（4）的導函數(shù)。θi是待估參數(shù)。

第二步：將第一步估計所得的參數(shù)值帶入t-Copula函數(shù)中，再次采用極大似然估計法估計t-Copula函數(shù)中的參數(shù)θc。θ?c=argmax∑t=1Tc(F1(ξ1t;θ?1),F2(ξ2t;θ?2),...,FN(ξNt;θ?N);θc)（6）（四）基于MonteCarlo的投資組合VaR計算在估計出投資組合中金融資產的邊緣分布和金融資產間的相關結構即Copula函數(shù)后，采用MonteCarlo模擬法計算投資組合的VaR。具體的步驟如下：（1）生成N個獨立且均服從（0,1）上均勻分布的時間序列{ut,i}M×N。（2）模擬各金融資產的收益率序列將{ut,i}M×N轉換為{rt,i}(t=1,2,...,M；i=1,2,…,N)：根據(jù)式（4）估計所得的邊緣分布（即金融資產）的分布函數(shù)Fi，運用Fi的反函數(shù)將序列{ut,i}M×N轉換為標準化殘差序列ξt,i，即ξt,i=Fi-1(ut,i)，然后根據(jù)式（1）求得相應的收益率{rt,i}，得到與原收益率序列具有相同特征的模擬數(shù)據(jù)。（3）計算投資組合未來的收益率根據(jù)金融資產i在投資組合中的權重wi，計算投資組合的收益率{rt}，計算公式如下：rt=log[1+∑i=1N(er1,t-1)?wi],t=1,2,…,M（7）（4）計算投資組合的VaR只要模擬次數(shù)M足夠大，那么置信水平α下的風險值VaRtα+1可以用序列{rt,i}(t=1,2,..,M)的α分位數(shù)近似。

三、實證分析

社保基金投資組合是以季度為時間單位進行調整的，由于投資組合每個季度投資的股票數(shù)量不等，少則1只，多則幾十只，根據(jù)投資組合的分散程度，僅選擇權重排名靠前的三或四只重倉股代表該季度的投資組合。本文以2010年第四季度的社保基金投資組合為研究對象，以2007年1月4日到2010年12月31日為研究的樣本區(qū)間，其中，2007年1月4日到2010年9月30日的數(shù)據(jù)用于風險建模，2010年10月9日到2010年12月31日的數(shù)據(jù)用于Kupiec檢驗。為了準確刻畫投資組合中股票的相關性，對于交易日t，只要有1只股票沒有交易，則把當天所有觀測數(shù)據(jù)刪除。所有數(shù)據(jù)來源于Wind數(shù)據(jù)庫。數(shù)據(jù)的處理及參數(shù)估計采用軟件Eviews5.0和Matlab7.0。

（一）基本統(tǒng)計分析

將股票價格定義為股票每日的收盤價Pt,j，并將股票在第t個交易日的收益率定義為：rt,j=log(Pt+1,j/Pt,j),t=1,2,...,T（8）為簡單起見，假定每個投資組合投資的資產總額為1單位。為節(jié)約篇幅，本文僅以2010年第四季度組合103為例，演示社保基金投資組合風險測度的過程。選取權重排名靠前的上海汽車、福耀玻璃和國投電力3只股票代表該組合，相對權重分別為36.15%、33.42%和30.43%。表1給出了各股票收益率的描述性統(tǒng)計。由表1可知，在樣本觀察期間內，3只股票的平均收益均為正，收益偏度統(tǒng)計值均為負，意味著收益存在著下跌的可能；峰度統(tǒng)計值表明各股票收益分布具有比正態(tài)分布更厚的尾部特征；J-B檢驗統(tǒng)計量均大于臨界值5.8825，相伴概率也均小于0.01，拒絕了收益序列服從正態(tài)分布的假定；進行Engle’sARCH/GARCH效應檢驗，結果表明{rt,1}、{rt,2}和{rt,3}都具有明顯的條件異方差性。

（二）邊緣分布建模及參數(shù)估計

用Ljung-BoxQ-統(tǒng)計量分別對{rt,1}、{rt,2}和{rt,3}進行自相關性檢驗，并根據(jù)AIC和SC準則確定滯后階數(shù)，判斷的結果為：{rt,1}的均值方程模型為AR(2)，而{rt,2}和{rt,3}的均值項可以直接采用常數(shù)。由于GARCH(1,1)模型能夠刻畫絕大部分金融風險的波動，所以采用GARCH-t模型對{rt,1}、{rt,2}和{rt,3}分布建模，參數(shù)估計結果見表2。由表2中的ARCHLM統(tǒng)計量可知，采用GARCH模型對{rt,1}、{rt,2}和{rt,3}建模，消除了ARCH效應。由標準化殘差序列{ξt,1}、{ξt,2}和{ξt,3}的自相關圖（圖1）可知，標準化殘差序列不存在自相關性，進一步驗證了采用GARCH模型建模的合理性。為減少參數(shù)估計誤差，將Bootstrap方法和極大似然估計相結合，擬合{ξt,1}、{ξt,2}和{ξt,3}的上、下尾。Bootstrap方法是由Efron在1979年首先提出的，該方法的基本思想是把可獲得的初始樣本看做一個總體，從中重復隨機抽樣，得到Bootstrap再抽樣樣本，然后進行統(tǒng)計量的估計，對于很多統(tǒng)計量已被證明Bootstrap方法滿足大樣本的相合性（葉五一等，2004）[12]。由于該方法當樣本容量較小時也可以用，因此可以用該方法對帕累托分布（GPD）的參數(shù)估計進行改進。上、下尾部的參數(shù)估計結果如表3。進一步將{ξt,1}、{ξt,2}和{ξt,3}基于式（4）與經驗分布的擬合進行比較，如圖2，發(fā)現(xiàn)基于式（8）的擬合效果較好，尤其是{ξt,2}的擬合效果最好。

（三）Copula模型的參數(shù)估計及投資組合VaR的計算

采用兩階段法估計t-Copula參數(shù)，相關系數(shù)矩陣R和自由度DoF估計結果為：R=ìí???1.00000.04910.04780.04911.00000.48210.04780.48211.0000，DoF=11.1440為計算VaR，首先，根據(jù)t-Copula的參數(shù)R和DoF，由MonteCarlo模擬法模擬2000次，生成3個獨立且均在（0,1）上服從均勻分布的隨機變量序列{ut,1}，{ut,2}，{ut,3}；然后，根據(jù)式（4）的逆函數(shù)，將{ut,1}，{ut,2}，{ut,3}轉化為標準化殘差序列{ξt,1}、{ξt,2}和{ξt,3}；其次，根據(jù)式（1）計算3只股票收益率{rt,1}，{rt,2}，{rt,3}；接著，結合3只股票在投資組合中的權重，計算投資組合的收益率{rt}；最后，預測2010年10月9日的投資組合VaR，得出95%置信度下投資組合的VaR為0.1307。為評估模型的預測效果，根據(jù)2010年10月9日到2010年12月31日的數(shù)據(jù)預測投資組合的VaR，并進行Kupiec檢驗。Kupiec檢驗也叫做LR似然比檢驗，其基本思想是假定實際考察天數(shù)為N0，失敗天數(shù)為n，則失敗率為p=n/N0。設VaR置信度為p*。假定VaR估計具有時間獨立性，則失敗天數(shù)n服從參數(shù)為N0和p的二項分布，即n~B(N0,p)，在零假設p=p*下，似然比LR=-2ln[(1-p*)N0-n(p*)n+2ln[(1-n/N0)N0-n(n/N0)n~χ2(1)，在5%的顯著水平之下，如果LR>3.8415，拒絕本模型。進一步檢驗模型效果，在置信度為99%和95%下，基于GARCH-EVT-Copula模型預測了2009年10月9日到2009年12月31日的VaR，并得出了60個交易日內失敗的天數(shù)、失敗率及LR統(tǒng)計值（如表4所示）。無論是在97.5%置信度還是95%置信度下，LR的值均小于3.8415，不能拒絕GARCH-EVT-Copula模型，說明基于GARCH-EVT-Copula模型預測VaR是合適的。按照類似的方法和步驟，結合投資組合股票的權重，同樣可以計算社保基金其他投資組合日VaR值，計算結果如表5所示。

四、結論

社保基金是社會保障制度的物質基礎，其安全和保值增值是社會保障事業(yè)健康發(fā)展的關鍵。社保基金進入資本市場，其最終目的是在保證安全性的前提下實現(xiàn)收益的最大化，因此，測度社保基金的投資組合風險水平具有重要的意義。本文以2010年第四季度“1”字頭的12個股票型投資組合（投資組合101-112）為研究對象，基于GARCH-EVT-Copula測度社保基金投資組合的風險：采用GARCH模型對投資組合的邊緣分布建模，提取標準化殘差，基于極值理論對標準化殘差的分布建模，采用極大似然法和Bootstrap方法估計分布函數(shù)的參數(shù)，以Copula方法刻畫風險資產之間的相關結構，運用MonteCarlo模擬法計算投資組合的VaR。對投資組合日VaR的預測效果進行Kupeic檢驗，檢驗結果表明基于GARCH-EVT-Copula模型測度社保基金投資組合的風險是合適的。