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自1973年Black－Scholes公式提出后，套期保值理論就以該公式為基礎迅速發展。Black－Scholes公式基于完全競爭的市場這一假設為歐式未定權益提供了定價方法。完全競爭的市場指的是市場上有足夠多的可交易資產，無交易費用，無任何交易約束及組合約束，并且有充分的流通性。基于該假設，市場中的每一種衍生工具都存在自籌資金的復制組合。然而，這些假設在實際金融市場幾乎是不存在的，即金融市場多為不完備市場或不完全競爭的市場［1］。由于幾乎不可能找到符合上述假設的完備市場，越來越多的學者開始研究不完備市場的情況。在不完備市場下，通常難以得到Black－Scholes模型那種期權的公平價格，已有的定價方法也將失去其作用。筆者旨在研究存在賣空約束的金融市場上的歐式期權定價方法。在總結賣空約束下未定權益定價方法的基礎上，推導出公平價格的計算公式，重點對超復制方法的模型進行了改進，將參數股息率g(t)考慮進去得到新的上下套期保值價。

1約束條件下金融市場套期保值

在不完全競爭的市場中，經典復制方法Black－Scholes模型不再適用，即在不完備市場上找不到唯一的風險中性鞅測度。目前，可用于不完備市場期權定價問題的常用解決方法有3種:效用最大化法、均值方差套期保值法和超復制方法［2］。

1．1效用最大化法DAVIS從效用最大化方面入手定義了期權定價［3］，他將效用最大化框架用于不完備市場的期權定價問題，即潛在期權購買者有特殊的風險態度，更準確地說其目標在于最大化到期時間T時刻財富的期望效用，如式(1)所示:Y(v)=supπ∈ΓE{U［Vv(T)］}(1)式中，Γ為所有可用策略的組合。假設投資者在財富中持有一定量的期權，其用來最大化的期望效用函數又可改寫為:W(δ，v，p)=supπ∈ΓE{U［Vv－δ，π(T)+δ/p•M(T)］}(2)式中:δ為投資者轉移到期權的財富量;p為期權股價。在均衡下投資者將不持有任何期權，即δ=0的條件下投資者達到最優。于是對式(1)和式(2)的求解是等價的。當δ=0時，分別對兩式中的期望效用函數的財富和期權進行求導，所得到的邊際效用函數應相等。其經濟原理在于，均衡下投資者沒有任何動機將財富轉化為期權，因為任何1單位財富和期權所預示的邊際效用相等。受以上均衡經濟的啟發，求得式(1)和式(2)中的邊際效用，并將其等價聯立求解公平價格，可以得到如下表示形式:p^=E［b0(T)•Z0(T)•M］(3)

1．2均值方差套期保值法MARKOWITZ的均值方差模型為評估資產的風險回報提供了有力的框架［4］。王春鳳等使用均值方差套期保值法推導出有效邊界，并認為所有使二次效用函數最大化的終點財富都在有效邊界之上［5］。有效邊界代表期望收益，而標準差代表風險。約束市場可表示為(槇M，B)，其中槇M為L2中的一個非空閉凸錐，B為L2中的一個已知因素，B＞0。槇M對應存在約束的金融市場，B對應由財富初值1所產生的財富終值。因此(槇M，B)為存在隨機無風險利率和隨機波動的金融市場。上述結論適用于單一期間、多期間和連續時間的權益組合。筆者僅假設該市場不允許自撥利潤，強行使得市場無套利機會。假設投資者的可得收益為m，其極限值為槇m0，其最佳收益可表示為Y=b•B+cm槇0，其中c為二次效用函數u(Y)=EB［Y/B］－A•VarB［Y/B］中風險厭惡系數A的倒數，b為系數。于是在給定最佳收益期望水平V的前提下，可求出相對應的最小方差組合，即:minVarB［m/B］(4)若服從約束，EB［(b•B+m)/B］=V。改變V值并將對應解匯總即可得到均值方差有效邊界。

1．3超復制方法存在組合約束的金融市場無法找到唯一的風險中性鞅測度，但可以建立一個包含Black－Scholes價格u0的風險中性區間［plow，pup］，該區間有以下特征:(1)該區間以外的每個價格都會帶來套利機會。(2)該區間內的每個價格都不會帶來套利機會。其中:pup為上套期保值價，即在存在約束的市場M(K)上建立超復制組合的最小初始財富;plow為下套期保值價，即購買者所能負擔的最大資金數額，并且同時能最終獲得用于償付債務的未定權益回報［6］。問題的關鍵是plow，pup的計算。筆者引入兩個非空閉凸集K+和K－表示組合約束和上下套期保值集合，定義上下套期保值集合分別為U和L。上下套期保值價可表示為:pup=inf{v，v∈U}(5)plow=sup{v，v∈L}(6)根據式(5)和式(6)，可以進一步得到不等式:pup=inf{v，v∈U}≥p0(7)plow=sup{v，v∈L}≤u0(8)式(7)和式(8)意味著，對于Rn下的任意非空約束集K+和K－，有0≤plow≤u0≤pup，其中p0=EQ［b0(T)•M(T)］，即無套利價格，也即Black－Scholes價格。若定義集合H(槇H)循序可測過程x={x(t)，0≤t≤T}的集合，則局部鞅Zx(•)可表示為:Zx(t)=exp［－∫t0λx(s)•dW(s)－1/2•∫t0‖λx(s)‖2•ds］(9)配合x的邊界條件，有:sup(t，ω)∈［0，T］×Ω‖x(t，ω)‖＜∞(10)可以推斷Zx(•)確實是一個鞅。根據GIRSANOV的定理可知測度Px(A)=E［Zx(T)•AA］=Ex［1A］是一個概率測度，過程W(•)是一個Px布朗運動。使用鞅表示形式和Doob－Meyer分解定理可證明［7］:pup=supx∈DEx［槇bx(T)•M(T)］(11)plow=infx∈DEx［槇bx(T)•M(T)］(12)這正是存在于無約束組合的輔助市場上的Black－Scholes價格。

2模型建立與改進

2．1公平價格前面介紹了幾種可在存在組合約束的金融市場使用的方法，在超復制方法中筆者定義了上下套期保值價格并找到了無套利區間［plow，pup］。然而要找到唯一的未定權益價格，該區間還不夠窄，因此還需通過另一途徑尋找該區間中的平價［8］。效用最大化法適用于確定平價［9］。最終的目標是使T時刻的終點財富最大化(零時刻的財富為正)，即對式(1)求解。時間t=0時，期權價格p=M(0)。商可以用δ(δ＜v)量的數額購買期權，那么可購買到的期權份額為δ/p，則可將該問題概括為一個隨機控制問題，即式(2)。另外，函數W(δ，p，•)與函數Y(•)是一致的。于是將公平價格定義如下［10］:p滿足Wδ(0，p，v)=0，則未定權益價格p稱為公平價格。進一步，若上式存在唯一的弱解，那么對應于未定權益在零時刻正的初始財富V的價格^p即為公平價格。

2．2考慮股息率時超復制方法模型筆者在尋找無套利區間［plow，pup］時，得出上下套期保值價格的式(11)和式(12)。但考慮股息率g(t)時，超復制方法計算的結果將更具有實用性。假設超復制方法模型考慮股息率g(t)時，上下套期保值價格可以表示為:pup=supx∈DEx［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］(13)plow=infx∈DEx［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］=h(14)下面引用KARATZAS與KOU的方法，通過對模型的修正證明上述假設成立。基本思想是分別證明pup≥h，plow≤h，則可得出等式。對于每個x∈D，Qx(•)為Px下D［0，T］階的半鞅，根據鞅表示定理和半鞅的Doob－Meyer分解定理，可知:Qx(t)=h+∫t0ψ*xdWx(s)+Ax(t)(15)結合Doob－Meyer分解定理，有:dQμ(t)=ψ*xdWμ(s)+Aμ(t)(16)可得到其分解的唯一形式為:ψx•exp{∫t0ζ［x(u)］•ds}=ψμ(t)•exp{∫t0ζ［μ(u)］•ds}，0≤t≤T(17)令x≡0，從Tanaka－Meyer公式可知:d［b0(t)•V(t)］=－b0(t)•dC(t)+b0•V(t)•π*•σ(t)•dW0(t)(18)因此可得V(•)=V－h，π，C(•)，即證得pup≥h。假設plow＞0，對于任意x∈L都存在(π，C)∈A－(－v)使得V－h，π，C(T)≥－M(T)。可得:v≤Ex［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］(19)亦即證明了plow≤h。

3結論

筆者總結了存在賣空約束的金融市場上歐式期權定價存在的問題。由于在不完全競爭的市場無法找到唯一風險中性鞅測度，經典復制方法Black－Scholes模型失效，因此總結了3種有效方法，即效用最大化法、均值方差套期保值法和超復制方法。超復制方法的結果表示:在賣空約束條件下存在包含Black－Scholes價格u0的無套利區間［plow，pup］，即式(11)和式(12)。該價格正是無約束的新輔助市場上的Black－Scholes價格。考慮到該無套利區間仍然不夠窄，仍無法找到唯一的價格，可以使用效用最大化法計算平價^p，p(v)=E^x［b^x(T)•M(T)］，其中p(v)為無約束輔助市場M^x上M(T)的Black－Scholes價格E^x［b^x(T)•M(T)］，該市場M^x利率為r(•)+ζ［^x(•)］，增值率為μ(•)+^x(•)+ζ［^x(•)］。實際中更加有效的計算是考慮參數股息率g(t)，通過式(13)和式(14)可得到新上下套期保值價。