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摘要：數學教學效率的高低是決定影響數學教學質量的關鍵因素．建立科學、合理的教學評價體系對保證和穩步提高教學質量起著舉足輕重的作用．目前的數學教學質量評價主要以學生考試的及格率、優秀率等作為定量評價的指標，甚至成為評價學校和教師教學質量的主要依據，這雖然在一定程度上體現了課堂教學效率，但對于強調效率意識來說是遠遠不夠的，在評價體系中必須加入評價教學效率的指標．數據包絡分析（DEA）模型是常用的投入產出分析工具，從教學投入和教學產出兩個方面，對數學教學效率評價進行研究，是方法論方面做的新嘗試，為數學教學效率評價研究提供一個新的思路．

關鍵詞：數學教學；教學效率；效率評價；數據包絡分析

1引言

隨著我國課程改革的逐步深入，數學教學過程中的效率問題愈來愈引起人們的關注．目前數學教學過程中效率不高的問題仍很嚴重，造成學生數學課業負擔過重．那么如何才能使數學教學效率更具有效性．這一問題促使我們要建立一套合理的教學效率評價體系．通過建立科學的教學效率評價指標體系，正確評價課堂教學效率，不僅有助于教師認真備課、研究教法，有效利用課堂教學時間，減輕學生過重的課業負擔，同時保質、保量地完成課堂教學任務，而且還可以促使學生提高聽課質量，探索有效的學習方法．

高效數學教學評價研究是一項復雜的工作，國內外對此問題從不同角度進行了一些的研究，研究方法也差異很大．本文借用經濟學中評價生產效率的“帕雷托最優”的思想，在國內首次嘗試從教學的投入和產出兩個方面，運用數據包絡分析方法，評價數學教學的有效性，從而發現教學過程中哪些方面存在不足，進而有針對性地加以改進．本研究從方法論方面作一些嘗試和探索，旨在為數學教學效率評價的研究提供一個新思路．

2相關理論

2.1數學教學效率的界定

國內學者對教學效率界定有多種，主要有“預期實現學說”[1]，“__________投入產出比例說”[2]，“時間利用狀況說”[3]，“學習效率衡量說”[4]等．我國教育科學“十五”規劃課題——數學教學效率論課題組對數學教學效率的界定為：“數學教學效率從兩個維度來認識，在學生的時間投入方面，指能夠充分利用時間，全身心、主動地參與數學學習．在數學教學結果方面，指多方面學習效果，這里包括：認知成績、理性精神、效率意識、良好的認知結構和數學學習能力[5]．綜上所述，高效率數學教學過程的界定在數學課堂教學過程中，是通過數學教師對數學本質的理解，充分利用課堂有限時間，積極啟發引導學生積極思維，深刻理解，不斷完善認知結構，使得學生獲得多方面的數學教育效果．

2.2國內外對教學效率評價方法的綜述

我國對教學效率的評價方法一般是注重時間意識，突出了評價學生掌握數學知識的速度，但卻忽視了對學生內化數學觀念、體驗數學精神效果率的評價以及對學生可持續發展數學活動效益率的評價[6]．而在國外評價效率方法中，不僅關注教師的特性或是個性，而且更加重視對教學效果——學生的學習結果的評價與研究[7]．這說明國外評價教學效率是以學生為評價中心，體現了一種“以人為本”的數學教育價值關系．

從國內外對教學效率評價采用的方法看，國內學者不斷借鑒國外的先進方法，從定性研究向定量研究過渡，新的統計方法和模糊評價方法已經被廣泛地采用．特別是模糊評價方法，能夠有效地將定性分析與定量分析結合起來，多層次、多因素地進行綜合評判，科學性好、可信度高[8]，但在應用中容易受到決策者的個人偏好的影響．此外，它在對教學效率進行評價時，缺乏對教學效率中教學工作的投入和產出關系的考察，這是它在方法學上最大的缺陷．

2.3評價方法

2.3.1評價模型——數據包絡分析（DEA）

數據包絡分析方法（DataEnvelopmentAnalysis,簡稱DEA）是將數學、經濟與管理的概念與方法相結合，形成的具有特色的模型、方法和理論[9]．它是研究具有相同類型的部門（或單位）間的相對有效性，處理多目標決策問題的有利工具．DEA模型是常用的投入產出分析工具．我們以“數學教學效率論課題組”對數學教學效率的界定為依據，在國內首次嘗試應用DEA模型方法，對數學教師的教學效率有效性進行評價．

2.3.1DEA模型（C2R）的原理

假設有n個部門或單元（稱為決策單元，decisionmakingunits），這n個決策單元都是具有可比性的．每個決策單元都有m種類型的投入（表示該決策單元對“資源”的耗費）和S種類型的產出（它們是決策單元在消耗“資源”之后，表明“成效”的一些指標）我們希望輸入越小越好，而輸出越大越好．

將決策單元j記為DMUj（1≤j≤n），ijx=jDMU對第i種輸入的投入量，≥0ijx；ijy=jDMU對第r種輸出的產出量，≥0ijy；ijv=jDMU對第i種輸入的一種度量（或稱權）；iju=jDMU對第r種輸出的一種度量（或稱權）．為了方便，在這里記TijjmjX(x,x,,x)=12􀀢，TijjijY(y,y,,y)=12􀀢，Tmv(v,v,,v)=12􀀢，Tsu(u,u,,u)=12􀀢．建立如下的分式規劃模型（C2R模型）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤==0,01,1,2,,max()002uvjnvXuYVvXuYCRjTjTITPTI􀀢．

然后使用C2變換可以將其化為一個等價的線性規劃的形式（ICRP2）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=−≥==0,010,1,2,,max()0022ωμωωμμXXYjnYVPTjTjTICRTIICR􀀢．

3研究過程

3.1被試

我們于2008年6月選擇大連市內的4所普通高中的高二學生，選取了20個數學水平相當（數學統考的各班學生平均成績相近）的班級學生作為測試樣本，同時也相應選取這20個班的數學任課教師作為評價對象．

3.2評價指標

評價指標分兩大類，包括反映教學投入指標和反映教學產出指標．

教學投入指標初選教師的學歷、教齡、教學用時間（備課時間、講授時間和課外答疑和批改作業時間）、進修和培訓時間、是否使用多媒體等其它教學手段、教師課堂教學評價、學生學習時間．由于上述的一些指標各評價單元非常接近，在評價中不起作用，故最后確定學生課余學習時間（X1）、教師的教齡（X2）、教師的備課時間（X3）和教師課堂教學評價（X4）等4項指標．

產出指標是通過測試方法間接得到的．如考察學生認知成績，設計試題測試包括學生思維、理解能力（Y1）、創新能力（Y2）、考察認知結構（Y3）可測試學生思維的廣度，考察問題意識（Y4）可測試學生思維的批判和嚴謹性．效率意識的測試由于操作困難，沒有進行測試．

3.3評價結果

3.3.1測試數據

共發卷20份教師調查問卷，并對這20名教師作了常規的教學質量評價，對20個班級學生發放測試卷902份，卷面滿分150分．對反映教學產出各項指標測試的總平均結果

如表1所示．

表1各項產出測試成績統計結果

單項Y1Y2Y3Y4

滿分33144756

總平均分20.112.9428.1623.52

得分率(%)61215942

統計20個班級的學生各項指標測試平均成績，計算出它們的平均得分率，作為反映產出的指標，列于表1中的產出指標，關于20名教師的教學投入和學生的學習投入見表

2中的產出指標．各項投入指標的調查結果如表3所示．

3.3.2DEA模型計算結果

將反映教學投入和產出的指標代入模型中，應用DEA軟件進行計算．其中投入指標教學質量（X4）與投入實際意義呈反向，故在代入模型時是取其倒數參與計算．評價結果見表4、表5．從表4計算結果看，有30%的教師（編號為4、5、6、12、18、19的6名教師）的總體教學效率為100%，即達到帕雷托最優，教學投入和產出都達到最優狀態．其余參評的教師教學效率都表現為總體無效率，沒有達到帕雷托最優，其中最低的（編號為20）效率系數為68.14%，表示該評價單元的教學投入和產出總體上只達到理想狀態（最優目標值）的68.14%．

對于各個無效率的評價單元，具體分析這些評價單元的教學投入和產出的各個指標，就可以知道它們與最優目標值的差距在哪里，差距有多大．以編號為20的評價單元為例，從表2中的各投入指標和在表5中的它們對應的目標值可以看到，該班學生的平均學習時間（X1）約為97分鐘，而根據它的教學產出，其目標值應為66.1分鐘，表明學生平均學習時間只發揮68.1%（66.1÷97=68.1%）的效率，與目標值還有31.9%的距離；教師平均每節課的備課時間（X3）為大約60分鐘，而它的目標值為40.9分鐘，發揮的效率也只有68.1%．另從表2中的各產出指標和它們對應的表5中的目標值可以看到，班級學生測試項目Y1得分率為49.6%，而它的目標值得分率為53.2%，表明該指標只達到最優目標值的93.2%（49.6%÷53.2%=93.2%），與目標值還有6.8%的距離；學生測試項目Y3得分率為48.9%，已達到它的最優目標值，該項指標效率達到100%．該評價單元的其它各項投入和產出指標也可類似分析．

綜合分析該評價單元的情況，從教學產出4項指標（表5）看，它們的相對效率并不低，從Y1到Y4分別為93.2%、92.8%、100%、100%，但是從它的教學投入指標（表4）看，X1到X4的相對效率分別為68.1%、68.1%、68.1%、60.9%，就會發現該評價單元取得的現有成績的原因可能是大量學習時間投入取得的．這表明教師應注意改進教學方法，提高教學效率．

4分析與討論

4.1對教學質量評價的啟發

由表2中20名教師教學質量評價得分，以及表4中他們對應的總體效率值，二者的皮爾遜相關系數為0.521（p=0.019），可以認為它們是相關的，這與傳統觀點認為課堂教學質量高其教學效率也應該是高的是一致的，但二者也并不完全一樣．評價單元中有的質量評價得分較高，但教學效率并沒有達到100%，如第16個評價單元，教學質量得分為95，在所有評價教師中得分最高，但其總體教學的效率值為94.38%，沒有達到理想狀態，即還沒處于帕雷托最優解中．

目前的數學教學質量評價中主要以學生考試的及格率、優秀率等作為定量評價的指標，甚至成為評價學校和教師教學質量的主要依據．雖然它們也在一定程度上體現了課堂教學效率，但是對于強調效率意識來說是遠遠不夠的．實證分析也提示我們，在教學質量評價體系中必須加入評價教學效率的指標．

4.2對方法論的啟發

我國數學教育研究中所用的測量與評價方法多局限于描述性和單因素的方法，只能說明一些簡單的問題．對于復雜的問題，只限于定性的探討，難有說服力．本文創新之處首先是運用數據包絡分析方法，從教學的投入和產出的角度出發，綜合考察了多個指標，得到各評價單元反映教學效率高低的效率值，同時也計算出了各評價單元各項指標的最優目標值，為參評教師今后的教學工作提供了改進依據．其次我們在評價數學教學效率中也充分考慮了教學質量因素，初步解決了教學質量指標在模型中量化的難點，將其作為一項投入指標參與評價，因為教學質量的高低對教學效率有很大影響．本文在方法論方面做的這些嘗試，為數學教學效率評價研究提供一個新的思路．

需要說明以下兩點：一是數據包絡分析方法最后得到的反映效率高低的系數，只是一個相對數，它會隨著評價單元的不同或評價的不同而改變．二是本研究選取的各項投入和產出指標還不完善，有的指標并不能完全反映教學投入和產出，主要是難以對它們進行測量，還需要用更細致和更復雜的統計測量技術．這也是日后有待研究和改進的地方．

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