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摘要：本文以初中動態幾何問題中的典型錯誤及解題策略為研究內容，統計分析初中幾何題目中出現的典型錯誤、原因以及學生對動態幾何知識的學習和掌握情況，并針對解答的錯誤提出解決要點和注意事項，為學生提供幫助，為教師的教學方面提出建議。

關鍵詞：動態幾何；幾何教學；初中數學

動態幾何是學生數學學習的重要內容，動態幾何問題不止考查了廣泛的知識，也要求學生應該具有較高的綜合知識運用水平，這類知識考查了學生數學的思維方法和探索能力。然而，筆者在初中數學的教學中感受到，學生較難處理動態幾何的問題，經常會出現很多錯誤。本文結合動態幾何問題的特點，探討動態幾何的解題方式。

一、動態幾何問題的相關研究

有很多文章研究的內容是動態幾何試題的類型，它的考查形式有很多種，包括填空、選擇還有大題，作為填空和選擇來考查都會放在最后一道題目，作為大題會放在最后一道或者是最后兩道，一道大題可能設置成兩小問或者三小問，這幾題就會是整張卷子中難度較高的一類題目。幾何問題按運動對象的分類有三種：點動型、線動型和面動型，按運動方式劃分通常有三種：平移型、旋轉型和翻折型。典型錯誤是學生在解決動態幾何問題時經常出現誤差，可能不同學生會出現同一類型的誤差，或同一學生在解答不同類型的問題時出現同一類型的誤差。典型錯誤包括在解決問題的步驟中所反映出的知識錯誤，以及學生在解決問題的過程中所產生的錯誤思想。所謂的解題策略，就是要求學生能夠在解題的過程中，做到對相關技巧的運用，進而完成解題。

二、動態幾何問題的特征分析

由于動態幾何的題目所考查的知識范圍相對較廣，對學生知識綜合運用的能力要求較高，因此這些問題通常作為壓軸題。根據《課程標準》中內容分類的標準，近五年來對函數、圖形的變換、三角形等動態幾何問題考查的比較頻繁，其中函數考查的是一次函數，其他兩種函數考查相對較少，三角形考查的次數比較多，圖形的變換中平移、旋轉和三角形相似的性質也經常考查，從圖形與幾何各部分知識的表格來看，動態幾何問題這部分的知識的考查相對全面，但是還有些內容相對考查較少一些。關于三角形、圖形的變化、函數的相關知識在動態幾何問題中考查的比例較高，而考查的比例較少的有圖形與坐標和四邊形的相關知識點。

三、學生解答動態幾何問題的典型錯誤

（一）點動問題的錯誤及原因

點動問題主要是研究一個或幾個動點在幾何圖形上運動變化的過程中所產生的變化規律。點動型題目包括單點運動、雙點運動和多點運動，單點和雙點運動經常出現，因此設置了一道雙點運動的動態幾何問題來考查學生對點動型問題這一知識的理解和掌握的情況。如圖1，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動。如果P、Q同時出發，用t表示移動的時間（0≤t≤6）。1.當t為何值時，三角形QAP是等腰直角三角形？2.求四邊形QAPC的面積。圖1這道題是以四邊形和三角形為背景的，求滿足三角形是等腰三角形時動點途經的路程的長短。題目主要考查學生對動點問題的理解程度，要求學生掌握雙點運動的整個過程，從兩個點P,Q移動的整個過程中找到特殊的位置，就能探究點在運動過程中使面積變化的一般規律，題目中蘊含著數形結合方思想，解答這個題目的關鍵是看學生有沒有具備尋找特殊位置的意識以及找到的特殊位置是不是正確。

（二）線動問題的典型錯誤及原因

線動型動態幾何問題是以直線為運動對象，通過直線的平移和旋轉，探究幾何圖形運動變化規律的問題。求面積常會與該類型的問題聯系起來，因此測試卷設置了一道關于直線旋轉來求解面積的問題。如圖2，O為坐標原點，直線l繞著點A(0,2)旋轉。與經過點C（0,1）的二次函數y=1/4x2+h的圖象交于不同的兩點P、Q。1.求h的值。2.通過操作、觀察，算出三角形POQ的面積的最小值。3.過點P、C作直線,與x軸交于點B。試問：在直線l的旋轉過程中，四邊形AOBQ的是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊形的形狀。這道題是以二次函數為背景的一道幾何題目，直線旋轉求三角形面積的最小值及四邊形的具體形狀，本題有三問，第一問主要考查基礎知識，比較容易解答，后兩問的題目相對較難，要求學生要觀察直線旋轉的整個過程，找到直線旋轉后到達的某一時刻特殊的位置，最后探究直線運動使三角形POQ面積變化的一般規律，本題解答的關鍵與上一題比較相似，也是考查學生有沒有具備尋找特殊位置的能力，以及有沒有找到正確的特殊位置。

（三）形動問題的典型錯誤及原因

圖形的旋轉、平移和翻折也經常伴隨著動態幾何問題而出現，利用旋轉、平移和翻折來改動圖形（例如比較特殊的三角形、四邊形等）位置的前提下，找出該過程中的數量的關系和運動的規律，這一類型的題目也是經常考查的，因此測試卷中設置了如下所示的與三角形旋轉變化有關的問題。見圖3，在直角坐標系中，點A（，1）、點B（2,0）、點O(0,0),反比例函數Y=K/X圖象經過點A。1.求K值。2.將三角形AOB繞點O逆時針旋轉60度，得到三角形COD,其中點A與點C對應，試判斷點D是否在該反比例函數的圖象上？這道題以三角形為載體，通過三角形的旋轉變化，求三角形上的點是否在已知函數上，這類題型是初中經常出現的，題目較為簡單，要求學生在三角形旋轉的過程中懂得找到不變量和不變關系，這是解題的關鍵。

（四）學生解題時出現錯誤的原因

出錯的原因有，審題不認真，沒有找對點旋轉后相應點對應的位置，導致結果錯誤；簡單計算錯誤，將點帶入函數解析式時，求出的未知數的值錯誤，導致后面的結果錯誤。對樣本中的學生進行問卷測試的統計分析和訪談結果顯示，以下幾點典型錯誤和原因是學生在解決動態幾何問題的過程中可能存在的。1.在審題時，學生通常不能理解題目的意思，他們在閱讀題目時不夠仔細，漏掉題目的隱含條件等。2.在分析運動過程時，學生對點移動、直線旋轉、圖形旋轉翻折等的運動范疇不清楚，學生不知道圖形是怎么運動的。3.在分析運動過程時，學生不知道它們的運動規律，所以有的分類不全，如果找不到特殊時刻的位置，則是出現了分類錯誤。4.在解決問題的過程中，計算能力較差也是出現錯誤的一個原因。學生在計算步驟中容易出現計算錯誤或書寫錯誤。從以上總結中可以知道，學生在解決動態幾何問題的過程中呈現錯誤的原因主要有，學生對圖形與幾何的概念不是很熟悉；審題不認真、沒有看到題目的隱含條件；問題背景復雜，不清楚直線、圖形運動形式及變化的范圍；學生對數形結合的思想了解不深，求解動態幾何問題時很難將問題轉化為數學符號。

四、解決動態幾何問題的方法與策略

（一）解決動態幾何問題的基本策略

第一，對圖形整個運動變化的過程要清楚，知道它們所對應的等量關系與變量關系，要特別的注意那些一直不變的量。測試題的第1題是形動問題，通過旋轉后，三角形的邊和角都是不變的量，抓住這些不變的關系，來確定旋轉后新的三角形中點C、點D坐標，從而判斷點D是否會在反比例函數的圖象上。第二，思考運動剛開始時直線的關系以及可求出的角和直線，特別是那些一直不變的量的關系，利用知道的相關常量來間接地表示出題目要求的幾何量，化動為靜，抓住圖形在動態變化中停止的時間點，在這個時間點轉換為一般的圖形。第三，找等量關系。通過特殊圖形的性質及相互之間的關系，找出其中基本的等量關系式。第四，利用方程式模型求解。將有關的常量和含有變量的代數式帶入到等量的關系中建立一個或多個方程或函數模型。第五，觀察是否需要分類討論。觀察動態的點或線在題目給出的運動途徑中有沒有存在某個時刻讓點或線到達特殊的位置，然后確定分類，再觀察圖形的形狀有沒有發生變動，或圖形的有關幾何量的計算方式有沒有改變。第六，確定變動的分界點。如果已經確定該題需要分類討論，那就把某個時刻的特殊位置作為分界點，確定變化的范圍最后分類求解。

（二）動態幾何問題的教學建議

加強學生對幾何基本知識的掌握。幾何基本知識的扎實掌握是學生學習和解決數學問題的基礎，因此教師要在概念學習上強調對概念的理解，注重掌握概念的本質屬性，要循序漸進地幫助學生提高解題能力。提高學生對題目的理解和計算能力。理解題目是做題的第一步，所以學生做題時對題目不理解或審題不認真，導致學生在解題過程中不會計算，計算在數學中是很重要的部分。在測試題的第3題中，第二問的解答過程相對復雜，有些學生選擇放棄，只寫了簡單的計算，為了培養學生的計算能力，要讓學生進行計算的基礎性訓練，接著進行對題型的針對性訓練、記憶性訓練以及規律性訓練，最后讓學生進行綜合性訓練，逐漸提高學生的計算能力。加強數學思想方法的教學。需要教師對書本教材進行充分又全面的分析和鉆研，根據教材的特點合理靈活地設計教學內容。比如，教師在講《絕對值》這一課時，要挖掘出數形結合思想、分類思想、歸納思想方法等。在教學中融入數學思想方法，引導學生進行反思。

參考文獻：

[1]陳鴛.關于初中數學“圖形與幾何”教學中空間觀念的培養[J].新教育時代電子雜志（教師版），2021（6）：98.

作者：疏杭 單位：安徽省銅陵市第十中學