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摘要：

常規的均勻層狀介質理論已經不適用于高分辨率地震勘探，需要進一步發展隨機介質理論，為研究復雜非均勻介質中的地震波場理論奠定基礎。本文首先利用三維VonKarman型自相關函數模擬三維隨機介質并給出了詳細的建模流程，通過引入三維錐形函數，來壓制建模時離散計算產生的誤差，提高了模型的可信度。然后詳細討論了自相關長度、譜指數、標準差對建立的三維隨機介質模型的影響。最后分析了模型內的速度變化和概率分布情況。模擬結果表明利用三維VonKarman型自相關函數可以更靈活地模擬三維隨機介質。

關鍵詞：

三維隨機介質；三維VonKarman型自相關函數；自相關長度；譜指數

在地震勘探中，長期以來都是以傳統的均勻介質或層狀均勻介質理論為基礎，從而忽略了實際地震勘探中介質的局部非均勻性，但是隨著高分辨率地震勘探的不斷發展、勘探目標已由常規油氣藏逐漸轉向復雜油氣藏，介質中分布的大量微小異常會影響勘探結果[1]。用傳統的介質模型理論很難準確地描述這些異常，而以統計學理論為基礎的隨機介質模型可以較為靈活、方便、有效地描述這些介質的微小異常，從而便于研究局部非均勻介質的地震波場的變化特征[2-4]。國內外很多學者對隨機介質理論已經進行了大量理論研究，并取得了一些成果。Ikelle等建立了二維隨機介質模型并進行了正演模擬[5-7]。國內自2001年至今，姚姚等在這方面做出了很多成果，他們給出了隨機介質模型的建立方法、并對各種隨機介質模型進行了波動方程正演模擬以及波場特征分析等方面進行了深入的研究[8-19]。本文利用三維VonKarman型自相關函數建立了三維隨機介質模型，引入三維錐形函數來壓制離散誤差，并對自相關長度、譜指數、方差三個模型參數對三維隨機介質模擬的結果和特點分別進行了詳細討論，并對模型內的速度和概率分布情況進行了分析，來驗證模型的可行性。

1三維隨機介質的建模原理及步驟

1.1隨機介質的建模原理隨機介質模型可由大尺度和小尺度的非均勻的兩部分所組成，大尺度部分描述介質的平均特性，即傳統意義上的地質模型；小尺度部分是加在地質模型上的隨機擾動，通常使用一個均值為零的、平穩的空間隨機過程來表示。以三維彈性隨機介質為例。各向同性的彈性介質由其密度ρ和拉梅系數λ、μ所確定。

1.2隨機介質的構建步驟構建平穩隨機過程的步驟如下：（1）選擇自相關函數。如今的自相關函數有高斯型、指數型、VonKarman型、混合型及一些改進型的自相關函數，它們分別具有不同的特點，適應不同的地質情況。本文采用VonKarman型相關函數，它描述的隨機介質具有多尺度、自相似的特點。

2隨機介質模型的誤差壓制

由于在離散數據的計算過程中會產生誤差，使得隨機函數不滿足假設條件，因此在計算隨機功率譜時，引入三維錐形函數來消除這種誤差。建立了大小為250×250×250個網格（步長為1m）的三維錐形函數（見圖1），錐形函數的半徑為0.5m-1，從圖1中可以看出，錐形函數的作用是壓制隨機模型中的低波數分量。

3三維隨機介質的建立及特點分析

為了便于對比分析，在引入三維錐形函數的前提下，假設各模型網格大小250×250×250（步長為1m），背景速度v0=3500m/s，模型的其他特點通過改變標準差、譜指數、自相關長度來控制。

3.1固定標準差、譜指數，研究自相關長度對模型的影響固定模型參量：標準差ε＝0．1，譜指數長度ax＝ay＝az=2，改變自相關長度a、b、c和可以產生不同的三維隨機介質模型，詳情（見圖2）。圖2a和2b的自相關長度均相等，模擬的是各向同性時的三維隨機介質模型。由圖2a和2b可以看出，自相關長度越大，模擬的三維隨機介質模型的尺度越大。圖2c和2d的自相關長度不同，增大某一方向的自相關長度，則該方向速度趨向于一致，隨機模型的層狀特點逐漸明顯，通過增加1個或2個方向的自相關長度到無窮大可以模擬各種各向均勻的薄互層狀隨機介質[18]。

3.2固定標準差、自相關長度，研究譜指數對模型的影響固定模型參量：標準差ε＝0．1，自相關長度a=b=c=1m，改變譜指數ax，ay，az，可以產生不同的三維隨機介質模型，詳情（見圖3）。圖3a和3b同樣模擬的是各向同性時的三維隨機介質模型，由圖3a和3b可以看出，譜指數的大小對應著隨機介質尺度的大小，并且譜指數越大，所得到的隨機介質模型越光滑。圖3c和3d表明，通過增加1個或2個方向的譜指數到無窮大同樣可以模擬各種各向均勻的薄互層狀隨機介質。

3.3固定譜指數、自相關長度，研究標準差對模型的影響固定模型參量：自相關長度a=b=c=1m，譜指數ax=ay=az=2，引入三維錐形函數，改變標準差，可以產生不同的三維隨機介質模型，詳情（見圖4）。從圖4中可以看出，其他參數不變的情況下，改變標準差，從所得的三維隨機介質模型幾乎看不出區別，但是從旁邊的色標值可以看出，標準差越小，其速度擾動越小，即標準差不同，得到的隨機擾動的范圍就不同，從而可以反映出實際介質的非均質性。

4隨機介質模型中的速度變化及概率分布

從上面所建立的模型圖中可以非常清晰地看到隨機介質模型的特點，改變自相關長度、譜指數和標準差，可以得到不同的介質模型，但是無法了解模型內的速度變化和概率分布情況。從圖2a中所建立的模型的x、y、z方向上隨機抽取一維數據體，詳情（見圖5）。另外統計出各個速度概率分布，速度變化區間為500m/s，詳情（見圖6）。從圖5和圖6中可以得到，模型內的速度值在x、y、z方向上都是在背景速度v0=3500m/s上下浮動，與隨機介質的基本假設比較吻合，即隨機擾動的均值為零，但擾動的范圍與標準差有關。從圖6中可以看出，模型內的速度在x、y、z方向上呈正態分布，與相差越小，速度分布樣本數越多，概率越大。統計結果表明，隨機介質模型內的速度大多分布在1倍標準差范圍內，其概率大約為75%，2倍標準差范圍內的速度概率大約為15%。因此可知，隨機介質模型內的速度符合統計規律，說明所建立的模型具有可行性。

5結論

在前人的基礎上，給出了三維VonKarman型自相關函數模擬隨機介質的詳細流程。在建模過程中，通過引入三維錐形函數，減小了隨機建模時離散數據的計算誤差。為了討論自相關長度、譜指數等參數對模擬隨機介質時的影響，通過改變這些參數來模擬三維隨機介質模型，可知每種參數對模型結果的影響不同。從模擬的圖可以看出，運用VonKarman型自相關函數模擬的三維隨機介質模型與實際的地下巖芯圖十分相似，通過改變各種參數(自相關長度、譜指數、標準差等)，能夠靈活地描述多種實際介質在小尺度上的非均勻性的特點。隨機介質模型理論為進一步研究實際三維地質體中小尺度的非均質性對地震波傳播特征的影響打下了一定的基礎。

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作者：楊帆 單位：中石化華北油氣分公司采油一廠