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《廣東石油化工學院學報雜志》2014年第二期

1模型的選擇

設X1,X2,,,Xn為獨立同分布的隨機變量序列,其分布函數為F(x)。稱Mn=max{X1,X2,,Xn}為樣本極大值,它的分布稱為極值分布。如果存在常數列{an>0}和{bnIE},以及一個非退化的分布函數H,使得其中L、R分別為位置參數和尺度參數,且R>0。Ñ型分布稱為Gumble分布,Ò型分布稱為Frechet分布,Ó型分布稱為Weibull分布[6]。在極值理論早期,往往人為的選取某種分布族。這樣處理缺點是:(1)怎樣利用有限的數據選取最合適的分布族;(2)一旦分布族被選定,隨后的推斷都建立在這一假設之下,如果選取不當,將帶來嚴重的偏差。廣義極值分布統一以上三種極值分布,廣義極值分布的分布函數為:

2模型的參數估計及檢驗

本模型的參數估計方法是極大似然估計,極大似然估計是一種直觀、最有效的參數估計方法,具有廣泛的適應性[7],極大似然估計原理就是根據樣本的情況選擇參數H^=(L^,R^,N^),使得該樣本發生的概率最大,即設x1,x2,,,xn是來自隨機變量x的樣本X1,X2,,,Xn的觀察值,要使似然函數L(H)=Fni=1Hc(xi)最大,就是要lnL(H)=lnFni=1Hc(xi)=Eni=1lnHc(xi)最大(由于L(H)是lnL(H)的單調函數,L(H)和lnL(H)同時達到最大值)。

3實例分析

廣義極值分布模型為最大值預測提供一種較為理想的模型,模型要求最大值數據來自等單位時間長度。本文根據中國地震信息網(http:)提供的余震目錄,選取2008年5月12日至2008年5月21日汶川地震的余震數據,共10天的余震震級為基礎,每天找出3個數據,即每8個小時取出一個最大余震震級數據,按時間順序整理最大余震震級數據如下:6.3,5.2,5.8;6.1,4.8,4.6;5.8,5.1,5.1;4.4,4.3,4.5;5.9,4.3,5.0;4.2,6.1,4.2;4,2,4.5,4.1;5.5,3.8,5.0;4.3,4.4,3.5;3.5,4.5,4.3。圖1是最大余震震級散點圖,橫軸為等單位時間序列號,縱軸為等單位時間內最大余震震級。圖形顯示最大余震震級沒有明顯的變異性,因此可將余震數據看做是廣義極值分布的樣本,即單位時間內最大震級不超過x的概率:P(X[x)=H(x)。我們利用極大似然估計參數計算出(L,R,N)的估計值為(4.457,0.666,-0.121),由于N的值為負數,因此汶川地震的最大震級服從Ó型極值分布,該分布具有有限的上端點,這符合余震震級有上界的現實。利用最直觀的P-P圖和Q-Q圖對分布進行檢驗,從圖2中的P-P圖和Q-Q圖可看出,所有點都幾乎在一條直線上,因此可以認為用廣義極值分布模型擬合樣本效果較好。另外,柯爾莫哥諾夫檢驗結果是:D*30=0.17,若給定顯著水平a=0.05,查表得D*30(0.05)=0.24,得到D*30<D*30(0.05),通過檢驗,故認為最大余震震級符合廣義極值分布的。因為單位時間內最大震級超過M的概率:P(X>M)=H(M),所以未來T個單位時間內發生最大震級超過M的概率為:P(X>M)=1-[H(M)]T。現以8個小時為單位時間預測震后一個月(30天)內汶川的最大余震震級和發生的概率,結果見表1。由表1可見,震后一個月內出現6.5級的余震概率是0.73,可能性非常大,要特別注意防范,實際上震后14天(5月25日)發生了6.4級的余震,與模型預測結果相吻合。至于更大余震震級,其出現的概率都很小,而實際上也沒有發生。

4結論

本文主要針對汶川余震數據建立廣義極值模型,應用最大似然估計計算出相應參數,根據廣義極值分布計算震后一個月內最大余震震級和發生的概率,發現與實際情況一致。這說明無論是在理論上還是在實踐中,極值理論都是早期強余震震級預測的一種有效方法。晚期強余震可能和實際情況不完全一致,這是因為余震可能誘發余震,余震群并非完全獨立,這在一定程度上削弱了模型要求的獨立性條件。對于晚期強余震,是否仍然可以使用廣義極值分布進行研究還有待于進一步的探討和研究。

作者：賈朝勇潘玉榮單位：蚌埠學院數理系