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《機械設計雜志》2015年第十一期

工作空間是指機器人機構末端操作器能夠到達的空間區域，它是機構對作業任務包容性的度量，因而成為機器人設計時首先要擬定的技術參數。決定工作空間位置形狀和大小的主要因素是機構的運動學參數，除此以外，工作空間還受到運動副的結構約束和構件運動干涉的限制，與串聯機器人相比，并聯機器人具有多個分支和更多的構件及運動關節，其工作空間應該是多個分支都能同時到達的區域，多關節多構件又加大了構件干涉和運動副限制的可能，導致并聯機器人機構普遍存在工作空間小的缺陷。因此建立運動學參數與工作空間的關系，以便設計的機構具有預定的工作空間，這是機構設計的基本任務。目前這類問題的研究較多且深入，Merlet［1］通過建立運動學參數滿足預定工作空間要求的約束條件，實現了并聯機構的優化設計。Chen等［2］研究了Stewart并聯機構的位置空間，在滿足預定工作空間要求的前提下，優化結構參數。劉大煒等［3］將機構關節轉角及構件干涉處理成對機構的運動約束方程，得到空間4RRR并聯機構最優構型。運紅麗等［4］考慮了運動副約束和連桿干涉，導出了工作空間表達式，并以工作空間的體積為目標優化結構參數。李浩等［5］綜合考慮了結構參數和運動副結構約束，建立機構工作空間的優化模型，比較了不同優化算法的效果、穩定性和效率。周結華等［6］建立了機構運動副、球面副約束及構件干涉的解析式，以機構位置正解方程構造出機構轉動空間的求解算法。

在并聯機構的應用中，需要判定規劃的連續軌跡能否實現，只有所給的軌跡位于工作空間之內，并且沿軌跡運動過程中無構件干涉，同時關節變量也在關節結構的限制范圍，才能保證該軌跡可以實現，為此需要清楚工作空間的位置形狀和大小，還要清楚構件干涉和關節限制對工作空間的分割狀況。由于并聯機構具有多個分支，且正向和逆向位置問題又都具有多解，這使得通過仿真判別運動干涉變得十分困難。目前構件的干涉判別僅限于理論分析，還沒有一種準確快速的算法能檢查預定軌跡是否會出現運動干涉。文中以平面3自由度并聯機構為例，研究了機構的工作空間與結構參數的關系，在此基礎上分析構件發生運動干涉的全部情形，提出判定并聯機構干涉的準則和計算方法。

1機構位置反解

平面3自由度并聯機構的動平臺通過相同的3條分支與基礎平臺相連，每個分支包括一個主動構件和一個從動構件，運動副全部采用轉動副，具有結構簡單、制造容易等優點，由于結構簡單，能設計成結構最緊湊的并聯機器，可用于并聯機床、激光加工、電子元件制造等精密操作中的機械裝備設計。為了保證結構對稱，基礎平臺和動平臺上的轉動副中心分別位于兩個等邊三角形的頂點處，分別以這兩個三角形的中心為原點，建立參考坐標系O-xy和動坐標系P-x′y′，坐標軸x和x′分別平行A1A2和C1C2，坐標軸y過頂點A3，y′過頂點C3，如圖1所示，空間實體模型如圖2所示。對3個主動關節的轉動進行伺服控制，動平臺可以實現兩個移動和一個轉動自由度。

2機構工作空間

工作空間是指動平臺參考點至少能隨動平臺以一種姿態到達的空間區域，并聯機構具有多分支的結構特征，工作空間應該是各分支能夠同時到達的區域。對于每個分支ArBrCrP，如果最長構件長度Lmax不大于另兩構件長度之和，參考點P可以到達的區域是以Ar為中心的圓形區域，半徑等于三桿長度之和，否則參考點P可以到達的區域是以Ar為中心的環形區域，大圓半徑為三桿長度之和，Rmax=L1+L2+L3，小圓半徑為最長桿與另兩桿長度和之差，Rmin=2Lmax-（L1+L2+L3），其中L3=CrP。平面3自由度并聯機構可達工作空間即是3個分支都能到達的區域。對于第1種情況，工作空間為各分支圓形區域的交集，其邊界由3段圓弧圍成，對于第2種情況，又有3種可能的情形。

3機構運動干涉的判別

上面確定的工作空間，沒有考慮到構件截面的物理尺寸所引起的運動干涉和運動副結構方面的限制，并聯機構的多分支結構特征，使得支鏈間可能會出現運動干涉，這些產生構件干涉和受運動副結構限制的區域表現為工作空間中的一些帶狀或島狀區域，它們將整個工作空間分割成多個彼此不連通的塊狀區域。在機構路徑規劃時，如果某個作業任務需要的位形跨越了兩個或兩個以上的塊狀區域，則這樣的任務實質上是不可能實現的，為了判定某個作業任務是否可行，就必須確定構件運動干涉對工作空間的分割狀況。

3．1構件干涉的判定準則平面3自由度并聯機構所有構件都做平面運動，且它們的運動平面平行于同一固定平面，因而它是結構最簡單的3自由度并聯機構，可以作為最緊湊并聯機器設計的首選構型。為了突出機構緊湊方面的設計要求，通常將各構件的對稱面布置在同一平面上，這必然會引起構件之間發生運動干涉，因而，在實際應用中中必須清楚構件運動干涉對工作空間的影響情況。

3．2機構運動干涉的檢查機構從動構件與動平臺連接的端部采取了開口的方式，只要開口部分的長度大于動平臺的邊長，就可以避免它與動平臺之間出現運動干涉，如圖2所示。因此機構的運動干涉只發生在一個分支和另一分支的主動構件和從動構件之間。對于大多數情況，并聯機構的位置反解都有兩組或更多組解，即給定動平臺的位形，每個分支都有多個可能的位置，且各分支彼此獨立。因此對于工作空間的某一點，判別機構是否存在構件發生運動干涉，這個問題看似簡單，實則困難，它必須考慮到每個分支所有可能的位置。如果在一個分支的一種位置與另一分支的一種位置之中至少存在一對構件運動干涉，則兩個分支在該位置發生運動干涉，如果一個分支的一種位置與另一分支的所有位置都存在運動干涉，則該分支的這個位置會引起機構發生運動干涉，因此判定機構是否會發生運動干涉的準則是：對于給定的動平臺位形即工作空間的某一點，如果滿足下面兩條件之一，則機構在工作空間的該點發生運動干涉。（1）如果機構的一個分支的所有位置都與另一分支的所有位置之間會發生運動干涉。（2）如果機構的一個分支的每一種位置都至少與另外的一個分支的全部位置發生運動干涉。如果兩分支存在構件干涉，則兩分支在該位置發生運動干涉，機構包含這一位置的所有位形都出現運動干涉，只有當機構所有位形都存在干涉，則機構在工作空間的該點發生運動干涉，反過來說，如果機構在以上全部N種位形中，只要存在一種位形，使得任意兩分支之間都沒有構件干涉，則機構在工作空間的該點可以避免出現運動干涉。

4應用實例

給定機構的結構參數：L1=0.569m，L2=0.569m，a=0.986m，b=0.120m，h1=52mm，h2=52mm，首先分析機構運動學參數對工作空間的影響，按幾何分析確定的工作空間，沒有考慮動平臺的方位，對于工作空間的任一點動平臺至少能以一種姿態到達該點，但是對任意給定的位形（θ，x，y），即便（x，y）位于工作空間的范圍，并不能保證該位形就可以實現，為了判斷機構對作業任務的包容性，需要在動平臺整個位形空間表示出工作空間。在所給的運動學參數中，每個分支最長構件的長度小于另兩個構件的長度之和，因而工作空間內無空洞，可以采用下面的數值法搜索出工作空間的邊界。檢查所有關節轉角準（r）1，準（r）2和準（r）3是否處于關節結構允許的變化范圍。只有當機構至少存在一種型態無運動干涉，且該位形下所有關節轉角也屬于各自的變化范圍，才能確定工作空間的該點是可達的。由于運動干涉判別式（5）~式（11）和關節結構約束都是不等式，它們必然對應于工作空間上的一些連續區域，圖6給出了工作空間θ=0的截面上的判定結果，陰影部分為工作空間上出現運動干涉或超出關節結構約束允許范圍的位形，它們成為工作空間內的不可實現的位形，主要分布在工作空間的邊界附近。

5結論

用幾何分析得到的工作空間雖然沒有考慮動平臺的轉動能力，但是它也能保證動平臺至少能以一個方向到達，適應于對動平臺僅有位置要求的作業任務是足夠的。得到工作空間的位置形狀和大小與結構參數的關系，因而可以在機構綜合時，事先提出對工作空間的要求，并將機構對工作空間的要求處理成對結構參數的幾何約束，優化機構的動態性能。從純幾何角度得出構件運動干涉的全部可能形式，并給出干涉判別解析式，針對并聯機構多分支且分支又有多解又彼此獨立的特征，提出并聯機構運動干涉判別的準則和方法，具有普遍的指導意義。用幾何法分析機構的運動學性能，具有簡單快速和概念清楚等優點，這對構型簡單的少自由度并聯機構十分有效。

作者：魏宏波 魯開講 單位：寶雞文理學院 機電工程系