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《振動工程學報》2016年第一期

摘要：

軸向高速運動可以削弱梁的橫向剛度，使得結構的固有頻率降低。研究了軸向運動對簡化為梁類結構的戰術導彈橫向振動的影響。首先，將戰術導彈簡化為梁結構；其次，分別給出了考慮軸向運動導彈的梁模型與無軸向運動效應的梁模型；最后，通過算例分析了軸向運動效應對梁模態的影響。研究發現當考慮軸向運動效應后，彈體結構的頻率有所下降，而下降速度與結構的質量分布模式有關，集中質量模型頻率下降較慢，而等效密度模型頻率下降較快。因此研究軸向效應對某型導彈橫向振動頻率的影響時，需要選擇較準確的質量分布模式。

關鍵詞：

軸向運動梁；導彈模態；Hamilton原理；固有頻率

結構的軸向運動會誘發其產生橫向振動并可能導致失穩，這一問題具有廣泛的工程背景，受到了眾多研究者的關注。這一類問題第一次由Mote在20世紀60年現［1－2］，他對帶鋸以及軸向運動物質的振動特性進行了研究，探討了影響結構穩定性的因素。軸向運動效應對于軸向高速運動結構的研究意義更大，如戰術導彈結構，其飛行時速度較大，最大可超過10馬赫，在考慮軸向運動效應后，對結構的固有頻率的預示結果影響最顯著，而固有頻率的預示結果直接關系到姿控系統的設計以及彈上減振設備的設計，因此研究軸向運動效應對結構固有頻率的影響是非常有意義的。前人在研究高超聲速飛行器的結構動力學特性時，都是將其簡化為兩端自由梁模型，只考慮飛行器的質量分布及剛度分布，再計算固有模態，并不考慮軸向運動效應。Williams等［3］基于兩端自由的Bernoulli－Euler梁，計算了某型高超聲速飛行器的固有模態，根據飛行器不同的飛行時段，調整了系統的質量分布，計算了各時刻結構的模態，并進行了比較。Culler等［4］對高超聲速飛行器進行建模時，不僅考慮了不同時刻飛行器質量的變化，而且考慮了氣動加熱時剛度的改變。MichaelA和Bolender等［5］建立了一個非線性的，基于物理的吸氣式高超聲速飛行器的動力學模型。再對模型進行線性化，結果表明存在一個為機身彎曲自然頻率2倍以上的氣動彈性模態，而且該模態與機身彎曲模態耦合非常強烈。尹云玉［6］在計算固體火箭的彎曲振動模態時，采用鐵木辛克梁來模擬導彈，并給出了梁單元的剛度矩陣和集中質量陣的計算公式。綜上所述，前人在研究導彈在飛行過程中的模態時，并未考慮軸向運動效應對橫向模態的影響。為了研究軸向效應對簡化為梁類結構的導彈橫向模態的影響，本文基于戰術導彈的結構參數提出了一種無軸向運動效應模型和兩種考慮軸向運動效應模型，對比分析軸向運動效應對導彈固有頻率預示結果的影響。

1結構模型

在分析戰術導彈低階結構動力學特性時，一般采用梁模型進行建模，其中導彈剛度分布采用各艙段的材料以及等效厚度的形式進行模擬，而質量分布采用通過集中質量進行模擬，描述關鍵部位、艙段連接處和關鍵器件的質量分布，且各分站質量以帶質量的0維單元連接在各節點上。

1．1模型一：考慮軸向運動效應的梁模型圖1所示為一任意截面的梁，該梁兩端自由，梁沿其軸線方向可運動。設梁長度為l，在坐標a處連接一集中質量m，在小擾動下梁在坐標x處的橫向位移為y（x，t）。梁的截面變化連續，面內抗彎剛度為EI（x），梁單位長度的質量密度為ρ（x），梁在軸向的剛體運動速度為v（t）。此處不考慮梁軸向的伸縮變形。由以上公式推導過程可以看出，軸向運動對結構動力學特性的影響主要體現在剛度項上，而其中速度和加速度對剛度項的影響均為其與質量特性的乘積關系，而此處結構的質量特性體現在兩個方面：一個是結構沿長度方向的單位長度密度，二是集中質量。由于一般給定的質量屬性是按照分站集中質量的模式給出，分站質量不僅模擬了艙段結構的分布質量，同時也模擬了某些器件的集中質量。所以本文在研究模型一時假設以下兩種質量模型：集中質量模型：以分站質量形式連接在梁各分站位置，該方法為當前導彈動特性計算分析方法。計算時直接將各分站質量作為集中質量連接在各對應位置。

1．2模型二：無軸向運動效應梁模型不考慮軸向運動對梁橫向振動的影響，梁單元采用普通梁模型，其中采用形如下式的型函數導數與材料參數矩陣乘積在單元長度上積分的方法，得到各單元的剛度矩陣。

2算例

本小節通過算例對比不同模型在預示彈體結構固有模態時的差異性。基于1節中的計算公式，采用Matlab編程分別計算可以得到兩種導彈模型的前3階固有模態。本節中分別在導彈首秒和末秒狀態下，研究兩種模型的固有頻率隨軸向飛行速度的趨勢。為對比固有頻率預示結果，模型一的各階振型函數采用模型二計算得到的振型函數。其中，模型二計算得到的首秒與末秒的前3階歸一化振型如圖2和3所示。根據如圖2和3的振型結果，對兩種模型的固有頻率隨軸向飛行速度變化規律進行預示。首秒狀態下，兩種模型的固有頻率隨軸向飛行速度變化趨勢的預示結果如圖4～6所示。末秒狀態下，兩種模型的固有頻率隨軸向飛行速度變化趨勢的預示結果如圖7～9所示。從以上的預示結果可以得出以下結論：a）在0馬赫時，等效密度模型與集中質量模型的頻率預示結果在吻合較好，在第3階誤差稍大，達到4％左右。這是由于本文中將集中質量的轉化為等效密度的方法造成，使得計算的等效密度可能與真實狀態有誤差［8］；b）考慮軸向運動效應時，等效密度分布和集中質量分布的固有頻率均出現不同程度的下降，這一現象與文獻［9］一致，而下降速度與導彈所用的質量分布模式有關；c）等效密度模型的頻率下降速度較快，首秒狀態下第1階和第2階在1馬赫左右下降約3Hz，而第3階在2馬赫時下降了近10Hz，而末秒狀態類似，第1階在3馬赫左右下降了3Hz，而第2階和第3階在1馬赫左右下降了6Hz；d）集中質量模型的頻率下降較小，在10馬赫時各階頻率下降均在1％以內；e）由于實際導彈的質量分布是介于集中質量分布模式與一致質量分布模式之間的，因此在研究軸向效應對某型導彈橫向振動頻率的影響時，需要選擇較準確的質量分布模式。

3結論

軸向高速運動可以削弱梁的橫向剛度，使得結構的固有頻率降低。本文研究了軸向運動對簡化為梁類結構的戰術導彈橫向振動的影響。首先，簡化導彈為梁－質量塊模型。其次，分別給出了考慮軸向運動下導彈的梁模型與無軸向運動效應的梁模型。最后，通過算例分析了軸向運動效應對梁模態的影響。研究發現：當考慮軸向運動效應后，彈體結構的頻率有所下降，而下降速度與結構的質量分布模式有關，集中質量模式頻率下降較慢，而等效密度模式頻率下降較快。由于真實彈體結構的質量模型介于這兩種模型之間，既有彈體結構的分布質量，也有某型部件的集中質量，因此在研究軸向運動效應對導彈橫向振動頻率的影響時，需要選擇較準確的質量分布模式。

作者：王亮 陳懷海 趙長見 商霖 廖選 單位：中國運載火箭技術研究院 南京航空航天大學振動工程研究所 國防科學技術大學航天科學與工程學院