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《振動工程學報》2016年第一期

摘要：

提出了一種動力學系統的物理參數辨識方法。應用Padé多項式對動力學系統的動剛度曲線進行擬合，通過最小二乘法確定Padé多項式中的系數矩陣，利用遺傳算法對Padé擬合式中的參數進行優化，從而得到系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。數值算例表明該方法具有較高的辨識精度且適用于黏性阻尼系統和非黏性阻尼系統。

關鍵詞：

參數識別；系統辨識；結構動力學系統；Padé擬合；最小二乘法

在動力學響應分析過程中，系統辨識起著十分重要的作用，結構動力學系統的物理參數辨識一直是結構動力學領域的研究熱點。準確辨識結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，是準確地預計結構動力學響應的前提。Phan［1］等利用系統的輸入輸出信號，通過狀態空間模型辨識系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。Chen和Tsuei［2］同時考慮了黏性阻尼和結構阻尼來對系統的物理參數進行了辨識。Lee和Kim［3］對Chen和Tsuei的方法進行了改進，將原來方法拓展到多輸入多輸出系統，并在實驗驗證中發現，Tsuei等人的方法若從動剛度的角度出發，辨識過程將得到很大簡化，且辨識結果受測量誤差和噪聲的影響較小。但是，正如Lee和Kim［3］在文中所說，利用結構動剛度進行動力學參數辨識的研究還很少。廣泛應用于系統降階及參數擬合的Padé多項式是一種曲線擬合方法。Chazot［4］等將Padé多項式用于黏彈性結構降階，其計算效率與直接計算方法相比，得到很大提高。王學雷［5］提出了一種基于Padé近似的頻域辨識方法，研究了基于積分最小二乘指標的SISO時滯系統頻域辨識問題。葉華［6］等利用Padé多項式來逼近時滯環節，提出了一種時滯電力系統特征值的計算方法。Fournodavlos和Nestoridis［7］從數學角度也研究了Padé在參數擬合方面的應用。作者［8］在之前的研究中，曾研究過利用Padé多項式對頻域廣義氣動力擬合，得到時域氣動力表達式，進而研究帶遲滯非線性環節二元機翼的氣動彈性響應問題。本文從線性結構動力學系統的動剛度出發，采用Padé多項式擬合，對動力學系統的物理參數進行辨識。首先分別從黏性阻尼和非黏性阻尼兩種動力學系統介紹了系統參數辨識方法，并通過數值仿真算例對兩種動力學系統的物理參數進行辨識，驗證了該方法具有較高的辨識精度。

1系統物理參數辨識方法

1．1黏性阻尼系統由式（11），（13）可見，βi的取值會影響參數辨識的結果，因此，在對動剛度矩陣進行擬合時，需要對βi的取值進行優化，即βi值的確定為一個尋優過程。本文利用遺傳算法對優化變量βi值的選取進行優化，優化目標為使得重構后的動剛度矩陣與原始的動剛度矩陣在關心的頻率范圍內其誤差的范數最小，其中，重構的動剛度矩陣通過對重構的頻響函數求逆獲得。此時剛度矩陣也不再是一個常矩陣，但對黏性阻尼系統和非黏性阻尼系統來說，剛度矩陣都應是常矩陣，所以當辨識得到的阻尼矩陣和剛度矩陣不再是常矩陣時，說明之前假設的阻尼模型不恰當。由此可見，采用式（11）或（13）不僅可以辨識結構的阻尼，還能夠在一定程度上反映出結構的阻尼機理：即如果識別出的頻率修正項比較小甚至接近為零時，說明結構的阻尼為黏性阻尼，否則，結構的阻尼應按照非黏性阻尼模型重新辨識。

1．2非黏性阻尼系統對非黏性阻尼結構，其阻尼項一般用核函數的卷積分表示［10］，系統的運動方程可寫為令c（t）＝C0g（t），C0為對稱的正定系數矩陣，g（t）為核函數的類型。顯然，當g（t）＝δ（t），δ（t）為狄拉克函數（Diracdeltafunction）時，式（15）退化為黏性阻尼系統。

2數值仿真算例

2．1算例1如圖1所示的三自由度質量－彈簧系統，假設阻尼為黏性阻尼。本例中Padé多項式的取修正項數l＝2，利用Matlab遺傳算法工具箱對βi的取值進行優化，選擇概率、交叉概率等參數的選取采用默認值（本文所有算例均采用默認值），采用遺傳算法得到的一組優化解為［β1β2］＝［－1．4572．296］，相應地按照第1．1節的黏性阻尼系統辨識過程進行參數辨識，得到系數矩陣如下。然而，在實際情況中，往往存在模態截斷的問題，此時，動剛度曲線為有限長度，即動剛度曲線沒有覆蓋全部模態，如本例中僅利用覆蓋第一階模態的0～2Hz頻段內的動剛度曲線進行辨識，采用相同的辨識過程進行辨識，則遺傳算法得到的一組優化解。

2．2算例2如圖2所示的二自由度質量－彈簧系統，假設阻尼為黏彈性阻尼。

2．2．1用黏性阻尼模型進行辨識為了說明本文方法對系統阻尼模型的辨識功能，首先對算例給出的黏彈性阻尼系統采用黏性阻尼模型進行辨識。同樣，取Padé多項式的修正項數l＝2。可見，質量矩陣得到準確辨識，但識別得到的系統剛度矩陣不是常數陣，阻尼矩陣為實數矩陣，由前文所述可知，選用黏性阻尼模型對該系統進行辨識是不合理的。這里，僅給出在1～100rad／s頻率帶寬范圍內，辨識得到的阻尼矩陣（或剛度矩陣）與原始阻尼矩陣（或剛度矩陣）中的一些元素隨頻率的變化曲線對比，如圖3和4所示。由圖3和4可見，雖然剛度矩陣中的元素K11和K22的最大相對誤差分別為1．99％和3．32％，但已表現出隨頻率變化的特性，而且阻尼矩陣的虛部信息明顯缺失，所以用于辨識的阻尼模型選用黏性阻尼模型是不合理的，應按非黏性阻尼模型進行辨識。

2．2．2用非黏性阻尼模型進行辨識當辨識阻尼模型選用非黏性阻尼模型時，采用前述針對非黏性阻尼系統的Padé多項式擬合法，對系統的物理參數矩陣進行辨識，取修正項數l＝2。如圖5所示為對βi的取值優化前，取不同βi值得到的辨識結果，其中實線表示的是松弛因子μ取100時的原始阻尼矩陣中的元素隨頻率的變化曲線。顯然，需要按前一節所述對βi的取值進行優化。可見，松弛因子和系數矩陣得到了精確地辨識。在1～100rad／s頻率帶寬范圍內，如圖6所示為辨識得到的阻尼矩陣與原始阻尼矩陣的各個元素隨頻率的變化曲線對比（根據阻尼矩陣對稱性，C21＝C12，C22＝C11）。顯然，阻尼矩陣的辨識精度也相當高。當出現模態截斷時，如本例中僅利用覆蓋第一階模態的0～20rad／s頻段內的動剛度曲線進行辨識，采用相同的辨識過程進行辨識，則遺傳算法得到的一組優化解為［β1β2］［］＝100．006128．503，辨識得到的系數矩陣如下。

3結論

（1）本文利用Padé多項式對系統的動剛度進行擬合，提出了動力學系統參數辨識的一種新方法，該方法同時適用于黏性阻尼系統和非黏性阻尼系統。并且，本文方法的辨識結果能夠反映一定的阻尼機理，當頻率修正項較小或接近為零時，用于辨識的阻尼模型應按黏性阻尼模型進行辨識；當頻率修正項較大時，用于辨識的阻尼模型應按非黏性阻尼模型進行辨識。（2）本文以Padé多項式修正項中的參數為變量，求得辨識得到的動剛度矩陣與原始的動剛度矩陣之間的誤差矩陣，以誤差矩陣的范數為目標函數，通過遺傳算法對修正項中的參數進行優化，從而提高Padé多項式曲線擬合的精度，辨識得到的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣具有較高的準確度。

作者：楊智春 丁允停 王樂 單位：西北工業大學結構動力學與控制研究所