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第1篇

在人教A版《普通高中課程標準實驗教科書數學必修5》第一章第一節，正弦定理的教學安排約2課時，下面筆者從教材分析、學情分析、設計思想、教學目標、重點難點、教學過程、板書設計、反思研究方面談談第一課時的教學設計。

1.教材分析

本節內容在舊人教版教科書中為了鞏固向量知識，體現向量的工具性作用，用向量作為工具推導出了正弦定理，但證明過程比較繁瑣，不少學生感到很突然，難以理解。所以在新人教A版《普通高中課程標準實驗教科書數學必修5》第一章第一節中，教科書舍棄了向量方法證明，而利用學生以往的知識進行了淺顯的證明，這也吻合了利用正余弦定理解斜三角形時大多會用到必修四中三角函數的有關公式與定理，所以實質上它與三角函數屬于同一系統，也是對三角函數知識的拓展應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容的拓展延伸。正弦定理的發現、證明、應用教參安排2課時完成，本節是正弦定理第一課時。

正弦定理第一課時內容共分為三個層次：第一層次教師通過結合近段時間萬州正在建設萬州長江三橋的實例，一方面激發學生學習數學的興趣，培養學生熱愛家鄉的人文品質，另一方面引導學生對這一實際問題進行數學抽象，歸為解三角形問題，培養學生從實際問題抽象出數學模型的能力。第二層次讓學生觀察特例，大膽猜想；然后由猜想入手，帶著疑問，通過幾何畫板軟件進行數學演示實驗完善猜想，然后利用"作高法"、"等積法"、"外接圓法"、"三角函數定義法（坐標法）"四種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性；第三層次利用正弦定理進行簡單的應用，最后解決引例。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，感受"觀察――實驗――猜想――證明――應用"這一思維方法，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。

2.學情分析

對高一的學生來說，已學了三角函數，解直角三角形等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定的局限性，特別是用多種方法證明正弦定理是學生的一大難點。因此教師需恰當引導，提高學生學習的主動性，多進行前后知識間的聯系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。

3.設計思想

本節課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以"正弦定理的發現和證明"為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、團隊等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發展過程中展開思維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力和創造性思維的能力。

4.教學目標

4.1知識與技能目標：掌握正弦定理的內容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題之一。通過對實際問題的探索，培養學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協作能力和交流能力，發展學生的創新意識，培養創造性思維能力。

4.2過程與方法目標：讓學生從已有的幾何知識出發，通過對直角三角形邊角關系探索的啟發，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理。

4.3情感態度與價值觀目標：通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培養學生勇于探索、善于發現、不畏艱辛的創新品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的興趣。培養學生合情推理，探索數學規律的數學思想方法，通過三角函數、正弦定理、三角形的外接圓與面積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。還通過實例的社會意義，培養學生愛家鄉的情感和為把家鄉建設成庫區特大中心城市而努力學習的責任心。

5.教學重點與難點

教學重點：正弦定理的發現與證明；正弦定理的簡單應用。

教學難點：正弦定理的猜想提出與證明過程。

教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器。

6.教學過程

如圖1所示，教學過程分為：創境激思提出問題、觀察特例提出猜想、數學實驗完善猜想、證明猜想得出定理、知己知彼百戰不殆、運用定理解決問題、拓展探究課外延伸七個環節。

教學過程流程圖

6.1創境激思，提出問題

展示情景圖如圖2，為了配合重慶市把萬州打造成特大中心城市，萬州正緊鑼密鼓在牌樓水廠和江南沱口電廠建設長江三橋，你能用現有知識計算出大橋的長度嗎？

學完本節課，你將會輕松解決此類問題。――以此引入課題《正弦定理》。

【設計意圖】數學源于現實，興趣是最好的老師。如果一節課有良好的開頭，那就意味著成功了一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發學生思維，激發學生的求知欲，即從長江三橋這一學生喜聞樂見的實際工程提出問題，激發學生學習興趣，培養學生熱愛家鄉的情感和為把家鄉建設成特大城市而努力學習的責任心。

6.2觀察特例，提出猜想在初中學生已經學習過解直角三角形問題，

在RtABC中，已知∠C=9O°，BC=a，AC=a，AB=c，

如圖3所示，引導學生回憶在直角三角形中，邊長和角度之間有什么樣的關系。

學生容易想到：

sinA=ac，sinB=bc，sinC=cc，cosA=bc，cosB=ac，

所以asinA=bsinB=csinC，bcosA=acosB

進一步提問：這兩個關系式能不能推廣到任意三角形？是否還會有acosA=bcosB=ccosC成立呢？

【設計意圖】在直角三角形中引導學生利用已有知識得出兩個簡潔的邊角關系式，把三角形邊長與內角聯系起來，激活學生頭腦中的已有知識；以直角三角形這個特例作為切入點，引導學生轉化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結論――猜想，符合從特殊到一般思維的過程，培養學生從特殊到一般的思想意識，培養學生創造性思維能力。

6.3數學實驗，驗證猜想

6.4教師利用幾何畫板軟件進行數學演示實驗，畫一個三角形，度量出三邊長度和三個角度數值，計算顯示一組asinA，bsinB，csinC值，一組bcosA，acosB值，一組acosA，bcosB，ccosC值，不斷拖動三角形一個頂點，改變三角形形狀，觀察各組比值的變化。直觀地檢驗所提出的三個猜想關系式對任意三角形的適用性。在拖動過程中，猜想1的三個比值一直都相等，猜想2、3的兩個比值并不是都相等，簡單地剔除掉猜想2、3，保留猜想1。歸納總結數學實驗結果，完善猜想：在任意三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等：asinA=bsinB=csinC。

【設計意圖】中學生對于物理、化學、生物實驗比較熟悉，抽象的數學也進行實驗，能激起學生的好奇心和探究欲望。讓學生觀察用幾何畫板進行數學實驗，還可以使學生體會到數學的系統演繹性和實驗歸納性兩個側面，讓學生主動地投入到數學發現的過程中，發展創造性思維能力。

4.證明猜想，得出定理

【設計意圖】按照從易到難、從直觀到抽象的認知規律，循序漸進引導學生從幾何層面、數形結合層面、三角函數定義分析層面進行思考，突出重點，突破難點，得出定理。實現數與形結合、形象思維與抽象思維結合，以拓展學生思維空間的深度和廣度。

（1）證法一：作高法（如圖5）

過C作CDAB于D點，

在RtADC中，CD=bsinA，

在RtBDC中，CD=asinB，

bsinA=asinB，asinA=bsinB成立。

同理可證csinA=asinC，asinA=csinC成立。

asinA=bsinB=csinC成立。

（2）證法2：等積法（如圖6）

在任意ABC中，均有：SABC=12×底×高

故得：三角形的正弦面積公式：

SABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA

提問公式成立范圍？公式記憶特點？

兩邊同除以12abc，得sinCcsinBbsinAa

再在等號兩邊取倒數，即得正弧定理。

這個比值是多少呢？

（3）證法三：三角形外接圓法（如圖7）

作三角形ABC的外接圓，O為圓心，設圓O的半徑為R.

連接CO并延長，與圓交于點D，再連接BD.

則∠A=∠D

所以，a=CD?sinD=2R?sinA.

asinA=2R

同理，bsinB=2R，csinC=2R

asinA=bsinB=csinC=2R

注：①銳角、直角、鈍角三角形均可；

②由證法三可知，正弦定理中等號兩邊的比值的幾何意義是三角形的外接圓直徑.

（4）證法四：三角函數定義法（坐標法）（如圖8）

把三角形ABC置于X軸上方，任取一頂點與坐標原點重合，一邊與X軸的非負半軸重合。

如圖則有：點A的坐標為A（ccosB，csinB）

作ACBD，則DB=AC=b，∠DBC+∠C=180°，

則D（bcos∠DBC，bsin∠DBC）=D（bcosC，bsinC）

由DABC得到D.A兩點縱坐標相等，即bsinC=csinB

故bsinB=csinC同理可得asinA=csinC，

所以asinA=bsinB=csinC。

（5）證法五：向量法

（學生課后嘗試證明）

【設計意圖】從幾何層面、上升到利用剛剛學過的任意角的三角函數的定義進行數形結合層面，在思維水平上更上一層樓，完成了學生思維從幾何、代數到數形結合層面的螺旋式上升過程，讓學生初步體會了解析法的作用和思想，并留下用向量法證明的思考余地和拓展空間，從而使學生深刻體會形象思維與抽象思維的統一，讓學生既見樹木又見森林。

6.5知己知彼，百戰不殆

【設計意圖】通過讓學生嘗試小結，回顧正弦定理的幾種不同證明過程，觀察公式的特征及變形，讓學生體會證明的邏輯嚴謹性，同時引導學生要注意到：要想讓一個猜想成為定理必須經過嚴格的證明，而要說明一個猜想不成立只需要找到一個反例即可。以此培養和強化學生數學思維的嚴謹性和靈活性。然后讓學生觀察三角形的正弦面積公式、正弦定理，找出公式的適用范圍，公式特征，及常用變形情況。

（1）正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（比值為外接圓直徑）.

（2）正弦定理解決兩種類型的三角形問題：

①已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；

②已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角.（下節課解決）

（3）正弦定理的變形：

①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

②sinA=a2R，sinB=a2R，sinC=c2R

③a：b：c=sinA：sinB：sinC

6.6運用定理，解決問題

（1）典例精析

例1在ABC中，"sinA>sinB"，是A>B的（C）條件

A充分非必要條件B必要非充分條件

C充分條件D非充分非必要條件

（變式）：已知ABC中，bcosB=bcosC，判斷三角形的形狀。

答案：等腰或直角三角形。（容易出現只有等腰三角形的錯誤）

例2在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，a=2（3+1）

分析：∠A=180°-（B+C）=75°

由正弧定理得：b=asinBsinA=2（3+1）（22）6+24=4

SABC=12absinC=12×2（3+1）×4×（32）=6+23

例3（畫龍點睛）解決創境激思中的問題：

如何測量萬州長江三橋的長度呢？（如圖9）

分析：假設線段AB表示長江三橋，只需在牌樓水廠北岸邊上另找一個參照點C，用皮尺測出AC的距離，用測角儀測出∠BAC、∠BCA的度數，即在三角形ABC中知道兩角和一邊，用正弦定理即可求出線段AB的長，即長江三橋的長度。（自制測角儀，比一比誰做的更準確）

（2）當堂檢測反饋

【設計意圖】：為了減輕學生的課業負擔，讓學生有更多的精力去拓展思考，加強自身的綜合素質，那么教師必須提高課堂教學效率，向45分鐘要質量，爭取讓學生先做后評，當堂過關。達到順應新課改的精神：人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。所以課堂教學效果檢測卷分為了A、B、C三個層次，學生根據自己的實際進行選擇訓練。考慮到本班學生基礎較好，因此要求學生至少做完A、B兩個層次試題。

①學生當堂做《正弦定理課堂效果檢測卷》（5-10分鐘）；

②教師公布答案，學生自主小結反饋或根據學生作答情況進行集體講評。

6.7拓展探究，課外延伸

【設計意圖】為了讓學有余力的學生有更大的發展，充分發揮出他們的學習積極性，將他們的潛能挖掘達到最大化，因此設計了課外拓展作業。

【作業布置】

（1）教材第10頁習題1.1A組第1題；B組第1、2、3題；

（2）實習作業《正弦定理在測量中的應用》，參看課本第2節《應用舉例》內容。要求：

①以小組合作的形式進行實際測量，測量問題自定，要求自制測角儀，比一比看誰做的更精確；

②參與《2015年國際青少年保護長江水資源綠色行動》小組的同學測量長江河面的寬度；

③外出測量最好有一名家長陪同，必須保證安全；

④每個小組按照1.3節實習作業格式寫出實習報告或小論文，總結實習體會；

⑤每個小組在"五一節"放假結束回校第一天上交作業。

7.板書設計（如圖10）

正弦定理

一、定理證明1.證法一：作高法（鈍角三角形）2.證法二：等積法（正弦面積公式）3.證法三：外接圓法asinA=bsinB=csinC=2R4.證法四：坐標法x=rcosa，y=rsina

二、歸納小結，常用變形技巧：

a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinCsinA=a2R，sinC=c2Ra：b：c=sinA：sinB：sinA三、應用舉例例1（得出結論）ABC中，sinA>sinBA>A（例1變式）例2（畫簡單示意圖）例3（畫龍點睛）

8.反思研究

本節課內容，由于教材中正弦定理的證明方法比較特殊和簡單，學生易于理解，基本可以自行解決，但要聯想用多種方法進行證明，思維跨度相當大，對學生有較大難度，因此教師通過預設，要求學生積極主動參與一個個相關聯的探究活動過程，通過"觀察――實驗――歸納――猜想――證明"的數學思想方法發現并證明定理，讓學生經歷了知識形成的過程，感受到創新的快樂，激發了學生學習數學的興趣。其次，以問題為導向設計教學情境，促使學生去思考問題，去發現問題，讓學生在"活動"中學習，在"主動"中發展，在"合作"中增知，在"探究"中創新。

這節課的設計強調研究性的學習方法，注重培養學生的終生學習能力，結合修建長江三橋這個實際工程提出三角形邊角關系的問題，通過觀察直角三角形邊角關系的特殊性提出猜想，讓學生借助數學演示實驗進行觀察、探究、歸納總結數學實驗結果，完善猜想，然后由易到難、由直觀到抽象，從四個層面證明了正弦定理，讓學生不僅掌握用幾何的方法證明正弦定理，還掌握用坐標法證明正弦定理，讓學生初步嘗試解析法的思想和作用，最后再運用正弦定理解決一些簡單問題。

整個教學過程，筆者試圖從多角度盡量體現《數學課程標準》中明確提出的10個基本理念：提供發展平臺，構建共同基礎；提供多種證法，適應個性差異；倡導積極主動、勇于探索的學習方式；注重提高學生的數學思維能力；發展學生的數學應用意識；與時俱進地認識雙基；強調本質，注意適度形式化；體現數學的文化價值；注重信息技術與數學課程的整合；建立合理、科學的評價體系。按照建構主義觀點，知識需要經過學習者自身體驗，才能被同化和順應，因此，教學設計注重學生的主體地位，發揮教師組織和引導的作用，調動學生的主動性和積極性，使數學教學成為數學活動的教學，激發學生學習數學的興趣。

參考文獻：

[1]張守江.正弦定理教學設計案例一則[J].數學通報，2006（2）

第2篇

孫穎浩 中國工程院院士，第二軍醫大學附屬長海醫院泌尿外科主任醫師、教授、博士生導師，第二軍醫大學校長，全軍前列腺疾病研究所所長，長海醫院泌尿外科主任，中華醫學會泌尿外科學分會主任委員。

為全民健康而奮斗，這已成為國人的目標。要實現這一目標，醫學科普擔負著重任。科技創新與科學普及本是“一體兩翼”，不能偏廢。把醫學領域的創新成果及時普及到老百姓當中，并讓他們受益，這是我們醫務工作者的重要使命與職責。我的理解是，科普工作體現的是醫生的社會責任感和情懷，是一件頂天立地的事。

多年來，我在泌尿外科門診給患者看病中了解到，很多患者來這里就診前，曾受到前列腺疾病虛假醫藥廣告的欺騙，他們一年打工掙的兩三萬元輕而易舉就被騙了。非但病沒看好，生活都成了問題。鑒于門診時間有限，我會把關于前列腺疾病的常見問題打印出來，讓患者自己帶回去看，以幫助他們形成正確和科學的防病治病觀念。后來，我把這些內容匯編成一本叫《前列腺疾病100問》的書。這本書多次重版印刷，為眾多患者解決了不少的困惑。

醫生做科普并不容易。我國知名的泌尿外科大家吳階平院士曾形象比喻說，醫學科普要“見人說人話、見鬼說鬼話”。這并不是說不講醫學道理、向患者胡亂科普，而是要求醫生要有和各類患者打交道的能力，說的話能讓所有患者都聽得懂。我的導師、泌尿外科專家馬永江教授也說：要想做個好醫生，就要把疾病的前因后果讓馬路上走的人、菜場買菜賣菜的人都能聽懂。這些老一輩醫學家的話語重心長：醫生做科普一定要講對象、接地氣！

第3篇

【關鍵詞】 牛頓第一定律 慣性 絕對空間 相對論

1 引言

在大學物理的教學過程中，一般在講完第一章質點運動學后，即進入第二章質點動力學內容的講述。而在質點動力學里重點講述牛頓三大定律及其應用[1-2]。對于牛頓三大定律的應用部分，因為涉及矢量分析及其計算、微分及積分運算等高中物理基本不涉及的內容，故該部分相對來說內容比較好講，課堂效果也比較好。但對于牛頓三大定律的闡述部分，因為在高中物理里就對此有比較系統的論述，故大部分學生感覺這一部分內容和高中物理一樣，甚至有些老調重彈的感覺。因此，在大學物理課堂里講述牛頓三大定律的時候，如果不對牛頓三大定律作一些拓展的話，那課堂效果將比較差。本教學論文將從絕對空間、相對論等近代物理知識點出發對牛頓第一定律的拓展作些相關研討。根據本人的教學經驗，這種簡要的拓展對課堂效果是會起到良好作用的。它不僅可加深學生對牛頓第一定律的理解，而且也讓學生簡單了解了近代物理和經典物理的異同。特別是，通過這種簡要的拓展，可激發學生對學習物理及探索自然界規律的興趣。

2 牛頓第一定律的相關拓展

在高中物理里，物理教材一般會對牛頓第一定律的內容作如下描述：如果物體所受的合外力為零，則物體將保持其靜止或勻速直線運動的狀態不變[1-2]。需要注意的是，經過上個世紀無數物理學家的努力，以相對論和量子力學為基礎的近代物理已建立起來。而近代物理表明，牛頓力學體系，即牛頓三大定律及萬有引力定律都只是在低速、宏觀、弱引力條件下成立的[1-2]。因此，考慮到大學物理里后面也會講述近代物理的相關知識，故在大學物理里講述牛頓三大定律時將其與近代物理相關知識聯系起來的拓展是可行的。下面我們將重點對牛頓第一定律作一些拓展性的探討。

對于牛頓第一定律的相關拓展，一般可以先從力與物體的運動狀態之間的關系來闡述。在歷史上，古希臘的亞里斯多德是第一個對力和物體的運動狀態之間的關系進行思考并做出結論的人。他從一些簡單的事實如手推車現象中得出力是維持物體運動狀態的原因。因為，人推車后即給車力的時候，車就可運動起來即可具有運動狀態；而人放手不推車后即不給車力的時候，車將靜止下來即將不具有運動狀態。因此，在車運動和靜止兩種狀態中，人給車的力是至關重要。簡單來說，沒力就沒有運動，因此力是維持物體運動狀態的原因。對于該論點，在接下來的將近兩千年時間里直到伽利略的出現，人們一直認為它是正確的。從嚴格意義來說，伽利略的出現才是科學的真正誕生，因為是伽利略將科學實驗帶入了哲學思辨里。從而使得科學變成一門實驗的科學，進而將科學從哲學里分離出來。在著名的斜面實驗里，伽利略發現：當小球在很光滑的毛皮滑行時，抬起毛皮的兩邊，并固定小球在其中一邊下滑時的初始高度而降低另一邊毛皮的高度時，小球在毛皮滑行的距離雖然變長，但在另一邊毛皮小球能滑到的最高高度卻和該邊固定的初始高度一致。由這一實驗現象啟發，如果降低另一邊毛皮的高度至零，則小球將永遠運動下去。明顯，一直運動的小球在水平方向上沒有受到力的作用，也就是小球能一直維持運動但卻并沒有受到力的作用，因此力并不是維持物體運動狀態的原因。進一步，伽利略認為力是改變物體運動狀態的原因。而物體不受力時，物體具有維持運動或靜止狀態的慣性，也即慣性定律。因此，牛頓第一定律實際上與伽利略的慣性定律一致，故牛頓定律也常被稱為慣性定律。

對于力與物體運動狀態的關系的討論，有些高中作為牛頓第一定律的拓展也做了相關闡述。因此，在大學物理課堂里做上面這些闡述有可能是不夠的。實際上，在牛頓第一定律里，還可與近代物理相關知識聯系起來作進一步簡單的拓展。因為，物體的運動與靜止狀態是相對的。比如，相對于地面是靜止的物體，相對于運動的汽車而言就是運動的。因此，在牛頓第一定律描述里，物體不受力時將保持勻速直線運動狀態或靜止狀態時，實際上隱含著參考系。而我們通常將保持勻速直線運動狀態或靜止狀態的物體稱為慣性參考系。而慣性參考系背后實際上又隱含著絕對空間的概念。牛頓本人對此非常清楚，因為他清楚知道他的牛頓第二定律只適用于慣性參考系。因此，牛頓為了很好的定義慣性參考系，他在他的劃時代巨著《自然哲學的數學原理》里提出了絕對空間的概念。他認為絕對空間是存在的，而且和絕對時間一樣是均勻分布的。而慣性參考系則是相對于絕對空間靜止或勻速直線運動的參考系。至此，牛頓第一定律從邏輯來看似乎是完美無缺的。但絕對空間是否存在呢？牛頓本人對此也作了簡單的理性思考，如牛頓水桶實驗等來驗證絕對空間的存在。但是，在近代物理里隨著相對論的提出，我們知道絕對空間和絕對時間都是不存在的，即空間和時間都是相對的。在享受創建狹義相對論成功所帶來的喜悅的同時，愛因斯坦很清醒的認識到在他的狹義相對論里存在一個嚴重的困難，即：因為拋棄了絕對空間，慣性系將無法定義[3]。而狹義相對論里的兩條基本原理，即光速不變原理和相對性原理也都是在慣性系里定義的。

3 結語

在本教學研究論文里，我們對大學物理課堂里如何講述牛頓第一定律做了相關的拓展性研討。本研討主要基于力與物體運動狀態的關系、慣性定律、慣性參考系、絕對空間及相對論等脈絡來進行展開。因此，本拓展不僅可展示牛頓第一定律背后豐富的哲學、人文歷史、邏輯等內涵，也可展示其背后豐富的物理內涵。需要注意的是，雖然相對論已經取得了巨大的成功，但人類的思考與探索還依然前行。此外，在大學物理課堂里對牛頓第二定律、第三定律作相關性拓展講述也是值得教學研討的課題。本教學論文的研討也算是對此課題的拋磚引玉，希望能對同行有所幫助，從而對大學物理的課堂教學起到綿薄之力。

參考文獻：

[1]宋士賢，文喜星，吳平.工科物理教程[M].北京：國防工業出版社，2011.