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摘要：高等數學是一門通信工程專業的必修基礎課程，為后期通信專業課的學習提供必要的保障。為培養該專業學生的通信網絡建模思維及解決實際問題的能力，通過通信中典型的實例分析，分析數學模型的構造過程，并結合相應的軟件編程開展對所建立模型的求解，強化了學生的建模思想，引起了強烈的學習興趣，加深了對通信工程專業的理解和認識。結果表明：在高等數學中融入通信網絡建模及求解的方式方法，得到了被試學生對象的認可，提高了數學的教學效果。

關鍵詞：通信網絡；數學建模；高等數學；條件極值

引言

在我國，高等數學是各大高校理工科專業學生的必修課，也是為各理工科專業課程的學習奠定基礎的一門課程[1]。以往的教學，教師往往注重微積分、解析幾何及微分方程的理論講授，重在各種理論推演方法，這與學生的期望相悖。調查顯示，學生希望學到更多的與本專業有直接關聯的知識，而高等數學作為基礎課程，往往使學生感到枯燥乏味，提不起興趣[2]。為解決這一矛盾，許多專家學者開始探討在理工科課程教學中增加數學建模元素，可以一定程度地與實際相結合，引起學生學習的興趣。在高等數學課程的學習過程中，融入數學建模的教學策略已經被廣泛開發使用[3]。但對于通信工程專業來講，由于低年級大學生尚未學習通信系統和理論知識，通信網絡相關問題的建模很少用于高等數學的教學環節。因此，筆者研究了把通信網絡問題的建模引入高等數學的課堂教學中，結合條件極值和相關軟件，加強對學生的建模思想和思維的訓練。

一、概述數學建模思想和思維

對通信網絡的建模分析有積極的影響，特別是科研人員或研究生對構建數學模型的能力要求非常高，這是因為對通信系統性能的分析或信噪比、誤碼率、效能等指標的定量分析都需要構建相應的問題模型。因此，從低年級開始對通信工程專業學生的建模能力和水平進行培養和訓練是非常必要的。筆者采用了以下兩個實例問題開展研究。1.基站選址問題。假設在一個矩形區域進行基站鋪設業務，計劃投資5000萬元來鋪設通訊中繼站。根據實際情況已經找出7個候選位置作為中繼站的候選位置，而矩形區域包括15個社區[4]。由于每個基站只能覆蓋有限個社區，再加上區域內地理位置、交通等環境條件的影響，每個基站的鋪設費用以及覆蓋面積大小各不相同。要求在不超預算的情況下，找出最佳的鋪設方案使得盡可能地覆蓋區域內的人口。2.區域覆蓋問題。假設在一個正方形區域中有一個橢圓形的湖泊。除湖泊外的任何地點都可以增設節點，試構建一個自組織網絡，將除湖泊外的地面部分用若干個圓全部覆蓋。要求相鄰的兩個圓的相交面積大于等于兩個圓中面積較大的圓的面積的5%，且全部圓的半徑的代數和為最小[5]。

二、實例問題在教學中的運用

由于選取的實例是在一定的要求條件下，優化單個目標的問題，故應當結合高等數學中多元函數的極值章節來滲透。對于基站選址問題，考慮的是盡可能多地覆蓋區域內的社區數量，而將投資預算定為不等式約束條件。另外，由于每個社區的人口密度不同，所以每個基站的覆蓋面積可以用人口密度作為權重，以突出人口密度大的基站應該優先鋪設的實際意義。對于區域覆蓋問題，可采取分而治之的建模思想，考慮到目標是使覆蓋區域的所有圓的半徑之和最小，故優先使用半徑大的圓而不是半徑小的圓。因此，第一步是用容許半徑最大的圓對區域進行覆蓋；第二步是刨除橢圓形湖泊的區域；第三步是對正方形區域的邊界進行處理，對于大部分面積落在區域外部的圓進行半徑縮減的處理。建模完畢之后，講授條件極值的知識，包括充分必要條件和拉格朗日乘子法。對模型的求解既可以通過手算也可借助于Mathematica與Lingo數學軟件，對建立好的優化模型進行求解。如果在上述問題中增加實際條件，如基站選取位置時避開河流或高山、人口密集的區域增加覆蓋強度等，面對這些約束，僅僅使用手算難以解決。可以將數學模型寫出，整理成Mathe-matica或Lingo軟件能夠分析的模式，輸入變量的范圍、目標函數和約束條件的表達式，就能借助軟件求出最優解決方案。為了驗證是否是最優的解決方案，可以把模型分別輸入到兩種軟件中，比對所得到的結果是否一致，如果一致說明結果有很大概率是最優解；否則，就所得到的解，帶入數學模型，計算解的可行性和目標函數值，從而得出哪一個軟件給出的解更好。求解過程不在此贅述。

三、教學效果上述通信網絡實例建模問題

在高等數學教學過程中實施一段時間后，我們對授課學生進行了回訪調查，經過與教研組的專家和任課教師討論后，確定調查的問題如下：（1）基站選址和區域覆蓋問題的實例能否積極影響自己對通信專業的認知？（2）兩個實例問題的教學能否增強自己對數學建模思維和思想的掌握？（3）數學軟件實驗能否對高等數學的學習起到幫助？每個問題有三個選項，分別是A.能、B.模棱兩可、C.不能。經過分析整理，調查結果如下：對問題（1），A、B和C選項的比例分別為71.29%、9.68%和19.03%；對問題（2），A、B和C選項的比例分別為83.87%、0.00%和16.13%；對問題（3），A、B和C選項的比例分別為83.87%、0.00%和16.13%。由此得知，超過七成的學生感到兩個實例問題的使用能積極影響自己對所學專業的認知；大約接近兩成的人感受到負面影響，經過個別訪談獲知，通信工程專業的學生在大學之前未接受過通信網絡及建模的訓練，感覺被教學中采用的實例和建模思想“嚇到”了，甚至一聽到建模就不能集中精力聽講。對問題（2）和（3），超過八成的學生選擇了A，而B選項竟然沒有學生選擇，這表明大多數人都從這種教學策略中得到了有益的學習，認可了這種滲透機制，同時表現出學生對盡早接觸本專業核心內容的渴望。

四、結論

對通信工程專業的學生，通過在高等數學的教學過程中，引入通信網絡的實例分析，訓練學生的數學建模方法和建模思維，初步形成解決本領域實際問題的認知，結合高數中函數極值和條件極值等章節，以Mathematica和Lingo軟件作輔助，對所得到的模型進行求解，并驗證解決方案的優劣，既加深了學生對極值問題的理解，磨練了數學軟件的使用，又培養了他們對實際問題進行數學建模的思維和思想，并對通信專業有了淺顯的認識，為學生在該領域的自身發展奠定了良好的基礎。

參考文獻：

[1]林昕茜.數學建模思想在高等數學教學中應用價值的研究[J].桂林電子科技大學學報,2009,(2):155-158.

[2]馬元魁.培養大學生科研創新能力的數學實驗課程教學改革探索[J].教育教學論壇,2015,(12):95-96.

[3]劉洪霞,秦婧,郭花.數學建模思想滲入大學數學課堂教學的試驗研究[J].數學建模及其應用,2015,(4):61-65.

[4]上官士青,辛浩然.數學建模通信基站選址問題的lingo求解[J].科技信息,2009,(23):92-93.

[5]瞿勇,金裕紅,宋業新.LINGO在AdHoc網絡區域覆蓋中的應用[J].兵工自動化,2011,30(10):58-60.

作者：張秀1，2；張新1，2 單位：1.天津師范大學，2.天津師范大學