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《曲學》2016年第0期

摘要:隨著工程建設的不斷復雜，直梁已經無法滿足實際需求，對曲梁的研究顯得尤為必要，特別是在材料科學與工程方面，顯得尤為必要。本文通過研究國內外對曲梁的研究，并結合曲梁力學模型的理論研究，對剛度矩陣在曲梁的分析進行了探討。

關鍵詞:曲梁;梁平衡;剛度矩陣;有限單元法

在無載荷的條件下，具有平面曲線軸的梁，通常稱為曲梁。現代結構工程中，尤其是在橋梁工程中，曲梁的應用非常廣泛，在船舶工程和航天工業中也有著廣泛的應用。曲線梁樣式多樣，如連續曲梁、薄壁開口曲梁、復合曲梁、多曲梁等。根據線性分為變曲率曲梁、圓弧和直線的組合曲梁等;按截面形式分為I型、槽型等。從外觀上來說，曲線梁橋造型獨特，和周圍的環境，可以帶來美的視覺上的享受，滿足人們的審美要求;從結構上來說、曲線梁橋能很好地適應地形、地物的限制要求，使交通規劃更加科學合理，具有更好的承載能力。近年來，隨著科學技術的不斷進步，特別是材料科學方面的進步，復合材料的大量出現，使得曲梁的應用空間得到了極大的擴展。同時，隨著交通和城市建設的進一步發展，高等級公路、鐵路和城市立交樞紐的曲線橋逐漸增多。曲線梁的分析方法也受到國內外許多學者的關注。然而，由于曲梁原有曲率的存在，使得曲梁的力學性能非常復雜，研究較為困難，其中曲梁的穩定性是一個非常突出的問題，而且曲梁的屈曲理論遠遠小于直梁的屈曲理論。許多學者對曲梁理論進行了研究，但結果卻不盡相同。

一、國內外研究現狀

相對直梁的研究，曲梁的研究相對較晚，最早的研究可以追溯到十九世紀，S．Venant在1855和1856年用半逆解法分別求解柱體扭轉和彎曲問題，對圓截面曲桿的扭轉理論進行了研究。曲梁這一理論直到二十世紀50年代才開始了更深入的研究，前蘇聯學者Vlasov［1］建立了經典的穩定性理論，曲梁在直梁平衡方程中，相應的曲率被替換，得到曲梁。隨后曲梁的研究，基本上都是基于Vlasov的理論展開的。Usami等［2］基于Vlasov的模型，基于薄壁構件理論分析的基本假定，推導出曲梁的翹曲位移的近似表達式，并用于拱穩定問題的理論研究。國內曲梁比較系統的研究始于上世紀80年代，由臺灣學者Yang等人［3］從薄壁構件理論的基本假設出發，對雙軸的對稱的工字型曲梁，進行了細致分類，并建立了曲梁穩定分析的基本方程。近幾年，對曲梁的研究主要是在剛度矩陣上和通過有限元進行分析曲梁應力應變方面，其中劉鐵等人［4］針對平面內變形的微圓段進行研究，給出了等曲梁梁的單元剛度矩陣，以便對含曲梁梁的結構進行分析。而在此之前宋郁民等人［5］基于矩陣求逆理論，提出矩陣求逆的綜合法。他們的研究意義，在于實現了曲梁的分析的公式化，使得對對曲梁分析采用有限元分析成為了可能。有限元法［6］是一種高效而常用的數值計算方法。在科學計算領域中，許多微分方程的解析解通常很難獲得，我們經常需要解決各種微分方程．在離散微分方程的有限元方法，可以編寫程序，用計算機解決他們。有限元法是在變分原理的基礎上發展起來的，在拉普拉斯方程和泊松方程描述的各種物理場中得到了廣泛的應用。特別是隨著高性能計算機的逐漸普及，曲梁的力學分析模型特別是定性分析和剛性矩陣的研究對快速分析曲梁受力情況、潛在破裂位置等有明顯的幫助。

二、曲梁的理論研究

(一)基于張量理論，建立曲梁的幾何方程和平衡方程彈性力學中的應力和體力可以用張量理論表示，即可以用坐標系的平衡微分方程表示σij，j+f=0，σij，j表示應力對相應坐標的變微分，f代表體力總和。這里使用張量理論的原因在于它可以滿足一切物理定律必須與坐標系的選擇無關的特性。空間雙曲率的平衡方程也需要軸向邊界條件，可以得到初始形狀下的平衡微分方程。為了研究空間雙曲梁的幾何方程，需要同時對梁截面進行幾何描述。一是確定曲梁軸線坐標系與軸線中心坐標系的關系，以及主軸中心、中性軸與曲梁半徑的關系。同時，根據Frenet-Serret公式，得到了曲梁的變形幾何方程，包括曲梁角方程、角位移方程和應變-位移方程。

(二)曲梁形變的幾何方程和平衡方程，以及在曲梁中的應用空間雙曲率梁的平衡微分方程和變形幾何方程含有雙曲率平面內曲率和平面外撓率。曲率、撓率兩個變量影響曲梁的特性。當曲梁是恒定的，即平面曲梁描述的幾何梁弧部分。因為有一個雙曲率變為零，另一個是不變的，所以任何曲線空間可以簡化成平面圓弧。平面梁彎曲變形幾何方程的平衡微分方程比較空間梁和雙曲率變形方程的平衡方程，將大大簡化，簡化后的方程可以作為組合平衡方程和梁的曲率方程的有限元方程的基本單元可以形成新的變曲率。

(三)曲梁的簡化剛度矩陣三、結論通過對曲梁的平衡狀態分析，實現了對曲梁的力學模型的構建，這對進一步認識曲梁的力學性能起到了重要作用。通過曲梁的力學理論和平衡關系，構建了曲梁的平衡方程和幾何方程，通過矩陣變化和逆矩陣變化簡化得到了曲率梁的剛度矩陣，結合前人的研究［7］，簡單曲梁單元可作為復雜結構梁彎曲空間梁的有限元分析，該方法可更方便的應用于計算模型和計算軟件，方便用于應力和應變分析，進而更直觀、更數字化的理解曲梁的應力狀態。

作者：孫皆宜 單位：唐山學院