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作者：吳澤玉王東煒單位：鄭州大學(xué)華北水利水電學(xué)院

基于振型的位移展開

1基于振型的位移公式推導(dǎo)

振型是結(jié)構(gòu)空間位移的坐標(biāo)基，所有位移都可通過振型進行展開。同理，內(nèi)力和應(yīng)力也可由振型展開，據(jù)此可定量化反映結(jié)構(gòu)某方向上的變形狀態(tài)。結(jié)構(gòu)位移的展開公式如下，設(shè)結(jié)構(gòu)的位移表達式為其中，s為位移空間向量;v為位移的幅值，即最大值。式(1)展開的關(guān)鍵是s向量的推導(dǎo)，假定s向量可展開為在式(2)兩側(cè)前乘Tr，并利用振型展開的正交性，可以得到利用式(3)和式(4)可將任意空間向量展開成以結(jié)構(gòu)振型為坐標(biāo)基的空間向量之和的形式。

2基于振型的位移展開

(1)平面問題的振型展開某5層框架結(jié)構(gòu)，如圖1所示，每層的質(zhì)量和剛度均為m和k，結(jié)構(gòu)的位移有以下兩種形狀，應(yīng)用本結(jié)構(gòu)的振型加以展開。利用以上推導(dǎo)出來的公式，可求出A和B展開以Φ為坐標(biāo)基的式子AT和BT，見下頁式(7)和式(8)所示。

從式(7)、式(8)可以看出，對于位移形式較為簡單的A式，第一振型占主導(dǎo)地位，各自由度處幾乎占總反應(yīng)的80%以上;相對較為復(fù)雜的B式，第一振型占總反應(yīng)的比例有所下降，但仍以第一振型為主。所以對于中、低高度類型結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的Pushover方法具有一定的使用價值。(2)空間位移的振型展開假定某3層5榀3跨規(guī)則框架結(jié)構(gòu)，如圖2所示，長度方向5跨40m，寬度方向為3跨13m，層高3m。坐標(biāo)軸方向:長度方向為x軸，寬度方向為y軸，高度方向為z軸。混凝土強度等級為C40。

結(jié)構(gòu)除承擔(dān)自重外，另外沿X軸和Y軸正方向每層梁柱交點施加集中荷載。對結(jié)構(gòu)進行動力特性分析，前5階頻率和振動形態(tài)如圖3所示。取結(jié)構(gòu)中某一榀框架柱空間位移值，用前8階振型展開，并觀察各方向上位移量所占比例。某柱的位移分量為:［1．45E－03，2．00E－03，－5．45E－05，－2．24E－04，1．95E－04，0;1．92E－03，2．59E－03，－6．73E－05，－1．31E－04，1．7E－04，0］，表示單元i端和j端自由度位移，分別為每端的3個平動和3個轉(zhuǎn)動，共12個位移量。位移用前8階振型展開式如式(11)所示。

從式(11)可以看出，由前8階振型的位移展開式基本上達到了總位移的80%以上，滿足一般結(jié)構(gòu)設(shè)計精度的需要，故用振型指導(dǎo)概念設(shè)計僅需觀察前幾階振型即可。

基于振型的概念設(shè)計

對于一般建筑，概念設(shè)計時，平面和空間布置盡可能規(guī)則、剛度連續(xù);在振型上，前幾階振型以平動或彎曲振型為主，推遲或減小剪切振型、扭轉(zhuǎn)振型、局部振型和耦合振型。結(jié)構(gòu)的變形主要表現(xiàn)為4種情況:平動變形、純扭變形、平動耦聯(lián)變形和平扭耦聯(lián)變形。平動和扭轉(zhuǎn)振型方向因子計算公式如下。平動振型方向因子:當(dāng)結(jié)構(gòu)的外形確定后，平動振型方向因子和扭轉(zhuǎn)振型方向因子完全確定。振型方向因子的大小決定了各階振型中不同方向上變形狀態(tài)及所占比例，對分析結(jié)構(gòu)在荷載作用下的力學(xué)性能具有重要意義。圖2中框架結(jié)構(gòu)振型方向因子如表1所示。

由于本框架橫向?qū)挾?3m，縱向長度40m，前兩階振型為平動振型，分別為縱向和橫向變形;第3階振型為弱平動耦聯(lián)，同時伴有扭轉(zhuǎn)變形;第4階基本上還表現(xiàn)為橫向平動;第5階為較強的平動耦聯(lián)，伴有扭轉(zhuǎn)變形。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計時，要注意角柱的配筋，同時邊柱的配筋也要引起注意，防止扭轉(zhuǎn)破壞。利用振型指導(dǎo)結(jié)構(gòu)概念設(shè)計的步驟如下:

(1)建立結(jié)構(gòu)模型，對其進行動力特性分析，結(jié)構(gòu)頻率避開場地特征頻率、設(shè)備工作頻率和人的敏感頻率等范圍，滿足適用性和安全性要求。

(2)觀察結(jié)構(gòu)振型模式，利用振型方向系數(shù)量化各階振型中不同方向上變形量，判斷結(jié)構(gòu)的變形狀態(tài)。

(3)對于某些不規(guī)則結(jié)構(gòu)的角柱和邊柱，鑒于其變形的特殊性，應(yīng)采取必要的構(gòu)造措施，防止脆性破壞。

(4)對于特別不規(guī)則結(jié)構(gòu)，應(yīng)加強某些樓層或某些桿件的構(gòu)造措施，提高結(jié)構(gòu)的延性性能。

結(jié)論

利用結(jié)構(gòu)振型為坐標(biāo)基，對任意位移進行展開，進而利用振型方向因子對各振型不同方向上的變形值進行量化，得到以下結(jié)論:

(1)任意位移均能以振型為空間坐標(biāo)基進行展開，并且根據(jù)結(jié)構(gòu)的規(guī)則程度，僅需前幾階振型就能滿足工程精度需要。

(2)利用振型方向因子可以量化結(jié)構(gòu)在荷載作用下的變形順序及平扭振型所占的比例。

(3)通過結(jié)構(gòu)位移展開和振型方向系數(shù)的分析表明，結(jié)構(gòu)振型完全可以作為概念設(shè)計階段判斷結(jié)構(gòu)規(guī)則性的工具，概念清晰，使用方便。

(4)通過振型分析，提高對結(jié)構(gòu)變形有利的振型所占比重，例如平動和彎曲振型，降低或推遲對結(jié)構(gòu)變形不利的振型所占比重，例如剪切振型、扭轉(zhuǎn)振型和耦合振型。