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1引言

準確快速解算整周模糊度，無論是對于縮短觀測時間、保障定位精度，還是對于開拓高精度動態定位應用的新領域，都是非常重要的。當前，眾多模糊度解算方法大都是基于整數最小二乘估計理論［1-4］，此類方法解算效率高，特別適用于高精度實時動態定位。但是，由于模糊度是一個未知整數，在實際應用中沒有可供參照的客觀真值用于檢驗其準確性，而錯誤的模糊度將直接延長定位的初始化時間，降低定位精度，因此，模糊度檢驗具有重要性和困難性，一直以來是國內外眾多學者研究和關注的熱點。目前，常規的模糊度可靠性檢驗過程歸納起來可分為模糊度浮點解及整數估值2部分可靠性檢驗。對于浮點解，一般采用統計學上假設檢驗理論進行判斷和識別，如均方誤差檢驗及方差驗后檢驗，然而，在GPS快速定位過程中，對于僅觀測幾個或幾十個歷元的模糊度解算，由于觀測量間具有較強的相關性，利用最小二乘估計未知數的法方程嚴重病態，在這種情況下，模糊度浮點解失去了其原有的統計特性，反應更多的是系統的不穩定信息，此時，若再采用常規方法，將無法保證模糊度浮點解的可靠性［5］。另一方面，在整數估值可靠性檢驗中，應用最廣泛的是基于固定解中次小與最小后驗方差比檢驗(Ratio值檢驗)，選擇合理的閾值c是該方法的關鍵所在。目前常用經驗數和F分布法。對于前者c值可取1．5～5［6-7］，由于Ratio檢驗會受到觀測方程模型以及觀測值質量的影響，因此在不同情況下很難給出一個固定的c值;F分布法則認為Ratio比值服從分子分母自由度相同的F分布，c取F分布的邊界值［8-9］。然而，次小和最小殘差二次型并不完全獨立，其比值服從F分布僅是一種近似的做法，因此，F分布法也具有一定的局限性。荷蘭Delft技術大學的Teunissen教授及其研究團隊基于模糊度成功率理論提出了模擬仿真及查表2種確定閾值c的方法［10-12］，香港理工大學的ShengyueJi等人也在這方面進行了研究［13］，上述方法雖然未給出確定閾值c的具體函數表達式，但仍具有一定的理論意義。本文將基于Teunissen教授提出的模糊度成功率理論，針對Ratio檢驗法存在的缺陷，建立模糊度可靠性指標與Ratio檢驗閾值間的函數關系，從而改進Ratio檢驗模糊度方法。

2模糊度浮點解可靠性檢驗

由前述分析，在進行模糊度浮點解可靠性檢驗之前首先必須保證最小二乘估值受方程病態的影響小，即判斷所求浮點解的穩定性。

2．1浮點解穩定性分析

從最小二乘估值的最終結果出發，通過估值最大變化率來度量和判斷參數估計值的穩定性。估值變化率(estimationchangerate，ECR)可以客觀地反映出最小二乘解在歷元間的變化情況，即估值的穩定性。相鄰歷元間，待估參數xi的估值變化率表達式為:ECRi=x^(k+1)－x^(k)rate(1)式中:rate為觀測值采樣率。在方程病態的條件下，仰角不同的衛星觀測誤差大小不同，對應的最小二乘估值受干擾影響的程度不同，即各衛星模糊度浮點解的ECR也有所不同。為此，本文選取所有衛星浮點解估值中最大的ECR作為參數穩定性的指標，即:ECRmax=MAX(ECRi)(2)上述穩定性指標閾值太大，則無法保證估值的穩定性;過于保守，雖然可以得到與模糊度準確值很接近的浮點解，但解算中需要較多的歷元數。鑒于在模糊度解算中，當各種綜合誤差引起的模糊度浮點解偏離整數解大于1/4波長時，將不利于模糊度搜索固定［14］。為此，可以近似認為因法方程病態引起浮點解的偏差等效于綜合誤差的影響，即將ECRmax閾值取為0．25周。

2．2浮點解可靠性檢驗

在保證最小二乘估值受方程病態影響較小的前提下，可利用最小二乘估值的統計特性，通過檢驗驗前和驗后單位權方差估計的一致性，來評估浮點解的可靠性。構造統計量:χ2(f)=VTPVσ20或F=σ^20σ20(3)式中:V為一般的最小二乘殘差向量，P為對應的權陣，f為自由度(多余觀測數)，σ20為驗前單位權中誤差，驗后單位權中誤差σ^20=VTPV/f，給定一顯著水平α，當滿足式(4)條件，可以認為所求的浮點解具有一定的可靠性。否則，則說明觀測系統中沒有考慮一些幾何或物理誤差的影響，所求的浮點解存在較大偏差。χ21－α/2＜χ2(f)＜χ2α/2或F=σ^20/σ20＜Fα(f，∞)(4)

3模糊度整數估值正確性檢驗

利用給定的模糊度浮點解及方差求其整數估值的方法很多，如直接取整法、序貫整數估計法、最小二乘模糊度降相關法(leastsquareambiguitydecorrelationadjustment，LAMBDA算法)等，對于同一組浮點解及方差，不同的方法將可能得到不同的整數估值，因此如何確定模糊度整數估值的可靠性也是模糊度質量檢驗的重要任務之一。

3．1模糊度成功率

模糊度成功率是Teunissen教授(Teunissen1998)為評價所求模糊度整數解正確性及合理性而首先提出的一個較為嚴密的評價尺度。定義模糊度歸整域(pull-inregion)Sz為［15］:Sz={x^∈Rn|z=F(x^)}，z∈Zn(5)映射函數F表示不同的整數估計方法，這個子空間包含了通過F投影到相同整數解z的所有模糊度浮點解的集合。假設模糊度浮點解向量x^滿足正態分布，即有x^～N(a，D^x)，D^x為浮點解對應的協方差陣，模糊度整數估值z為真值a的概率:P(z=a)=∫Sa1槡|D^x|(2π)1/2nexp{－1/2‖x－a‖2Dx^}dx(6)式(6)稱為模糊度的成功率，可以看出，模糊度成功率其實就是所求正確模糊度解的概率。該評價方法從模糊度解本身固有的統計規律特性出發，通過它能夠知道求出的模糊度整數估值在多大程度上和正確的模糊度解一致，是一個非常重要而直觀的診斷手段。

3．2Ratio檢驗法的概率特性分析

Ratio檢驗也稱后驗方差比檢驗法，是以固定解中次小和最小殘差二次型之比作為檢驗量，即:K=‖x^－(asec‖Dx^‖x^－(amin‖Dx^≥c(7)式中:(amin、(asec分別為最小和次小殘差對應的模糊度固定解，c為限值。當備選模糊度滿足式(7)條件，則認為(amin為模糊度正確整數解。選擇合理的閾值c是應用Ratio檢驗進行模糊度質量檢驗的關鍵所在，由于常規確定閾值c的方法均具有一定的局限性，如第1節所述，為此，以下將結合模糊度成功率理論，采用一種基于模糊度可靠性指標的Ratio檢驗模糊度質量方法。根據式(7)可以確定滿足Ratio檢驗條件的所有模糊度浮點解集合，類似于模糊度整數估計，這些浮點解集構成了Ratio檢驗的歸整區間ΩR，可表示為:ΩR={x^∈Rn|‖x^－(asec‖2Dx^≥c‖x^－(amin‖2Dx^，c≥1}(8)以下將進一步分析歸整區間ΩR的特性。假設某一確定的模糊度整數估值z，令與之對應的實數空間即歸整域為Ωz，R，當zi∈Zn遍歷整個整數空間時，對應的實數空間將被劃分為無窮多個歸整空間Ωzi，R，各空間互不重疊，之間可存在空洞，即∪z∈ZnΩz，R=ΩRRn。以一維實數空間為例，如圖1所示，整個實數空間被分為無窮多個歸整區間，各區間之間不重疊，但之間存在一定的空隙。圖1一維實數空間Ratio檢驗法歸整域分布情況Fig．1Thepull-inregiondistributionofratio-testinonedimensionalspace也就是說Ratio檢驗的歸整區間ΩR有如下特性:Ω0，R={x^∈Rn|‖x^－t‖2D^x≥c‖x^‖2D^x，c≥1，t∈Zn\{0}}Ωz，R=Ω0，R+z，z∈ZnΩR=∪z∈ZnΩz，?????R(9)Ω0，R為當模糊度準確值a=0時的歸整域。對于歸整域Ωz，R，特別的，當確定某一整數(這里假設0)為模糊度準確值時，該整數對應的歸整區間Ω0，R為正確歸整域，其他歸整區間則為錯誤歸整域。此時，實數空間可分為3種情況:正確歸整域、錯誤歸整域以及不確定區域，如圖1所示。因此，對于Ratio檢驗法，同樣可以利用模糊度成功率來衡量其可靠性，具體表示為［11，16］:Ps，R=∫Ωaf^x(x)dxPf，R=∑z∈Zn\{a}∫ΩZf^x(x)dxPu，R=1－Ps，R－Pf，???????R(10)式中:Ps，R、Pf，R及Pu，R分別為模糊度整數估值的成功率、失敗率以及不確定域的概率，f^x(x)為模糊度浮點解對應的概率密度函數。Ω0，R={x^∈Rn|x^TD－1^xx^≤1c(x^－z)TD－1^x(x^－z)，z∈Zn}(11)可以看出，Ps，R及Pf，R主要受兩大因素影響:模糊度浮點解的概率密度f^x(x)以及歸整域Ω0，R的形狀和大小。其中概率密度f^x(x)主要由浮點解對應的方差決定，歸整域Ω0，R的形狀由Ratio檢驗方法本身確定，其大小可通過閾值c進行調節。因此，對于給定的一組浮點解及方差，在計算Ratio檢驗方法所得模糊度整數估值的成功率時，唯一可變的參數就是c值，也就是說，可以通過調節c的取值控制模糊度獲得正確解的概率。同樣，也可以根據需要事先給定的模糊度成功率或失敗率，利用其值反算出閾值c，確定可靠性較高的模糊度值。這一方法能夠有效解決Ratio檢驗法中閾值c難以確定的問題，同時還可以根據實際需求靈活給定成功率或失敗率，控制模糊度整數解的可靠性，以滿足解算要求。

3．3基于模糊度失敗率的Ratio模糊度質量檢驗

上述方法可行性的關鍵在于建立閾值c與模糊度整數估值成功率或失敗率的函數關系。以下將從Ratio檢驗對應的模糊度歸整域區間函數出發，充分利用歸整域所具有的特性，推導出該檢驗方法模糊度估值失敗率的近似表達式，建立閾值c與模糊失敗率的函數關系。由于模糊度的成功率與未知模糊度的真值無關，因此，為研究方便，以模糊度真值為零的歸整域Ω0，R為研究對象。Ω0，R可進行如下等價變換［10］:Ω0，R:c‖x^‖2D^x≤‖x^－t‖2D^x，c≥1，t∈Zn\{0}‖(c－1)x^+t‖2Dx^≤c‖t‖2Dx^，t∈Zn\{0}‖x^+1c－1t‖2D^x≤c(c－1)2‖t‖2D^x，t∈Zn\{0}(12)式(12)表明歸整域Ω0，R是一個以－1c－1t為中心，大小為槡cc－1‖t‖Dx^的n維超橢球體。對于給定的模糊度浮點解及其方差，經LAMBDA算法搜索變換后，可以獲得該組模糊度的最小方差及次小方差對應的模糊度整數估值。因此，式(12)中次小殘差二次型‖t‖2Dx^是可以確定的。唯一可變參數即閾值c，這也證明了可以通過控制閾值c的大小來調節歸整區間的范圍，從而確定整數估值的可靠性。假設模糊度向量維數為n，則整數估值成功率可表示為:PS=∫Ω0，Rf^x(x1，x2，…，xn)dx1dx2，…，dxn(13)等價變換后的歸整域已經表現出較明確的幾何意義，但其表達式仍較為復雜，且聯合概率密度無法求取，因此仍無法通過對其積分而求得對應的整數估值成功率。進一步對原始模糊度向量及其方差進行降相關的可容許整數變換:(x=T*x^，D(x=TD^xTT，T為變換矩陣，(x、D(x分別為降相關變換后的模糊度浮點解及其方差，對應的變化后整數估值及正確解分別表示為(z、(a。此時，P(z=a)P((z=(a)，即模糊度成功率可由變換后的模糊度浮點解方差及相應的歸整域來確定。式(12)歸整域Ω0，R可近似展開為:(Ω0，R:(x1+1c－1((z)12(σ21+((x2+1c－1(z2)2(σ22+…+((xn+1c－1(zn)2(σ2n≤c(c－1)2‖(z‖2D(x(14)式中:(σ2i為矩陣D(x對角線元素，(zi為經整數變換后的次小方差對應整數估值。由于降相關變換后，近似認為各模糊度間相互獨立，此外，各模糊度浮點解服從(xi～N(0，(σ2i)分布，因此模糊度成功率進一步表示為:PS=∫(Ω0，Rf(x((x1，(x2，…，(xn)d(x1d(x2，…，d(xn=∫(Ω0，Rf(x((x1)f(x((x2)，…，f(x((xn)d(x1d(x2，…，d(xn=∫(Ω0，R1(槡2π)n(σiexp－12(x21(σ21+(x22(σ22+…+(x2n(σ2(())nd(x1•d(x2，…，d(xn(15)(Ω0，R為模糊度真值為零向量的正確歸整域，但相對于PS中的被積函數，仍不易于積分求解。為了便于計算，構造歸整域(Ω(z，R:(Ω(z，R:(x21(σ21+(x22(σ22+…+(x2n(σ2n≤c(c－1)2‖(z‖2D(x(16)(Ω(z，R則為當模糊度真值為零向量時對應的一個錯誤歸整域，該歸整域表達式與被積函數較為接近，通過對該歸整域積分，可以獲得該區間對應的模糊度整數估值的概率值，即失敗率Pf，z(i)。由概率分布特性可知:正態分布的隨機變量離真值越近其概率越大。由于歸整域(Ω(z，R與正確歸整域最為接近，因此相對其他錯誤歸整域，其所占概率也最大。當模糊度向量維數為n時，與正確歸整域最為接近的錯誤歸整域Ω(z，R有2n個，除這2n個錯誤歸整域外，其他錯誤歸整域遠離正確歸整域，所占概率小，這里將其忽略，而取上述2n個最為接近的錯誤歸整域對應的整數估值概率作為模糊度真值為零向量時的失敗率，即Pf≈2nPf，z(i)。結合模糊度成功率表達式(15與錯誤歸整域式(16)，Ratio檢驗法模糊度整數估值失敗率Pf表達式為:Pf=2n(2π)－n/2•2πm(m－1)!∫R0rn－1e－r2/2dr，n=2m2n(2π)－n/2•2(2m－1)!(2π)m∫R0rn－1e－r2/2dr，n=2m+?????1(17式中:R2=c(c－1)2‖(z‖2D(x，該式建立了Ratio檢驗法整數估計失敗率與閾值c的函數關系。利用給定失敗率即可確定對應的c值，再通過c值進行模糊度整數解有效性判斷。如此，可以根據實際解算需求，通過調節模糊度失敗率指標，以獲得可靠性高的模糊度整數估值，有效解決了Ratio檢驗閾值c難以選取的問題。

4算例分析

選取天津CORS中寶坻BD、薊縣JX以及大港DG個參考站，組成一個三角形解算單元，參考站概略分布如圖2所示，三邊基線長為39km、98km以及135km，利用10min的觀測數據分別求解模糊度整數值，并通過上述方法檢驗模糊度可靠性。在所選的10min觀測數據中，三參考站共視衛星共有9顆，其中仰角最高的PRN04為參考衛星，通過雙頻線性組合法解算雙差模糊度。在寬巷模糊度準確解算的基礎上，采用無電離層組合，將天頂對流層延遲設為參數，整體解算L1載波雙差模糊度，解算方法可參閱文獻［1-4］。圖3中(b)～(d)為三條基線L1載波雙差模糊度固定情況，其中實線表示各衛星每個歷元解算模糊度整數值，虛線分別為Ratio值及閾值c。圖3(a)為各衛星仰角變化情況，從圖3(b)～(d)中可以看出，短基線BD-JX中各衛星模糊度在幾個歷元之內均快速固定，而對于基線DG-BD及JX-DG除前幾個歷元模糊度整數解波動較大外，兩基線均存在兩組相對穩定的模糊度整數解，以下將進一步判斷整數解的準確性。首先利用參數估值最大變化率ECRmax判斷模糊度浮點解穩定性，在此基礎上通過方差驗后檢驗法檢驗浮點解的可靠性。圖4為各基線模糊度浮點解最大變化率的波動情況，圖中可以看出從第100個歷元左右開始模糊度浮點解趨于穩定，經方差驗后檢驗法檢驗，可以認為3條基線從100個歷元開始模糊度浮點解具有較高的可靠性。將模糊度失敗率指標控制在5%，根據式(17)可以確定在采用Ratio檢驗中各個歷元所對應的閾值c。圖3分別給出了各基線Ratio值以及閾值c隨歷元的變化情況，當Ratio值大于閾值c時，滿足Ratio法檢驗模糊度質量的檢驗條件，此時可認為對應的模糊度整數解向量是正確的。圖3(b)，在短基線BD-JX中，很明顯，Ratio值遠大于閾值c的取值，即該組模糊度整數解是正確的。在圖3(c)、(d)中，基線DG-BD、JX-DG都存在兩部分時間段滿足Ratio＞c這一條件，但是對照圖4模糊度浮點解穩定性情況進一步分析，在初始時間段，由于其對應的浮點解最大變化率波動較大，穩定性差，因此，在檢驗過程中，首先無法滿足模糊度浮點解可靠性要求，將被舍棄。隨著歷元數的增多，在近200個歷元左右，模糊度浮點解及整數值都滿足了檢驗條件，可以認為，兩基線最終確定的模糊度整數值可靠性高，是準確的。同時，該結果與第三方軟件解算模糊度值是一致的。從圖3不同基線Ratio值的變化情況也可以看出，不同長度基線在不同歷元下Ratio值的變化范圍是不同的。若采用常規經驗值法取c為1．5～5［6-7］，則很難通過某一固定c值有效獲得可靠的模糊度固定解。因為，一方面c值過小，檢核條件低，則容易產生錯誤的模糊度固定解;而另一方面，c值越大，則檢核條件越難以滿足，如對于基線JX-DG，圖3(d)中，取c=2，那么將需要300多個歷元，才能滿足Ratio＞c，相比閾值c的動態取值，無形中延長了模糊度固定的時間。而本文提出的閾值c動態取值法能夠適用于各種情況下Ratio值的檢驗，因此，具有一定的實際意義。

5結論

基于最小二乘理論的模糊度求解中，模糊度浮點解及整數估值的可靠性檢驗是保證模糊度準確性的重要內容。對于模糊度浮點解，鑒于其受法方程病態影響而失去統計特性，提出了通過參數估值最大變化率ECRmax判斷浮點解穩定性，在此基礎上采用方差驗后檢驗法進一步檢驗浮點解可靠性;在模糊度整數估值可靠性方面，針對傳統Ratio檢驗法中閾值c難以確定的問題，基于模糊度成功率檢驗理論，成功建立了模糊度失敗率與Ratio檢驗閾值間的函數關系，使得能夠根據實際需求給定的失敗率，確定閾值c，從而保證所得模糊度固定解的可靠性。算例表明，相對常規經驗值確定閾值c方法，閾值c的動態取值可避免因c值選取不恰當而獲得錯誤模糊度固定解，有效保證了模糊度準確快速獲取的可靠性。該方法可適用于不同長度基線模糊度可靠性檢驗，具有一定的實際意義。