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社保基金是社會保障制度的物質基礎，其安全和保值增值是社會保障事業健康發展的關鍵。社保基金進入資本市場，其最終目的是在保證安全性的前提下實現收益的最大化。自2001年中國成立全國社會保障基金理事會后，社保基金開始試水資本市場，據《全國社會保障基金理事會基金年度報告》（2009），自全國社會保障基金成立至2009年末，累計投資收益額2448．59億元，年均投資收益率為9．75％，遠遠高于銀行年存款利率。但是社保基金在獲得相對較高收益的同時，又承擔著怎樣的風險？社保基金投資的首要原則是安全性，準確地測度社保基金投資風險是控制風險的前提，對保證社保基金投資的安全性具有重要的意義。測度投資組合風險，關鍵問題之一是準確測度組合中資產間的相關結構。自從Embrechts將Copula引入到金融領域［1］后，Copula在風險測度領域取得了一系列的成果［2－4］。從理論上講，Copula方法可以簡單推廣到高維情形，但現有文獻中的Copula函數絕大多數為二元Copula，對高維Copu－la函數的構造研究尚處于初始階段。得益于Bed－ford和Cooke、Kurowicka和Cooke等人的工作，高維數據建模可以采用pair－copula（也稱為Vinecopula，藤copula）方法［5－7］。Bedford和Cooke在簡單構造模塊pair－copula的基礎上引入了一種構造復雜多元相關結構模型的新方法，它將多元聯合密度函數分解成一系列pair－copula模塊和邊緣密度函數的乘積，為copula方法推廣到高維提供了理論基礎［5］。相比于經典分級模型，當變量間不存在條件獨立性時，paircopula模塊構建不要求條件獨立假設，因此，這種新的方法在描述高維相關構建時就更加靈活［8］。近年來，pair－copula被用于金融資產收益率建模和其他的數據建模［9－11］。國內學者也逐步將pair－copula應用到風險管理領域，如杜子平、閆鵬、黃恩喜、程希俊等人［8，12］。傳統的n維copula函數對多元數據建模在描述尾部相關性時只有一個參數，沒有考慮到維數的影響，現實中資產組合中兩兩資產間的尾部相關性往往不同，這就可能導致在分析多維資產間的相依結構時出現誤差，而基于pair－copula建模就可以有效地避免此問題。本文基于pair－copula模型測度社保基金投資組合的風險：首先，確定pair－cop－ula的分解類型，即C－Vines或D－Vines；其次，選擇copula函數類型，即選擇正態copula、T－copula或其他的copula函數建模；再次，基于GARCH－EVT對邊緣分布建模，得到獨立同分布的序列，并采用極大似然估計法估計每對Copula函數的參數；最后，基于pair－copula參數估計的結果，根據Aas等人給出的算法思想［9］模擬pair－copula分解模型的仿真序列，計算投資組合的VaR和ES，并將基于pair－copula預測VaR的結果與傳統的n維copula預測的結果進行比較研究。

一、pair－copula的理論基礎

考慮一個n維向量X＝（X1，X2，…，Xn），其聯合概率密度函數為f（x1，x2，…，xn），可以分解為f（x1，x2，…，xn）＝fn（xn）•fn－1｜n（xn－1｜xn）•fn－2｜n－1，n（xn－2｜xn－1，xn）…•f1｜2，…，n｜（x1｜x2，…，xn）（1）根據Sklar定理［13］，多元聯合分布函數可以通過copula函數和邊緣分布Fi（i＝1，2，…，n）表示：F（x1，x2，…，xn）＝C12…n（F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn））（2）那么，多元聯合密度函數可以表示為f（x1，x2，…，xn）＝c12…n（F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn））•f1（x1）…fn（xn）（3）其中，c12…n（•）表示n維的copula密度函數，fi（xi）代表邊緣密度函數。當n＝2時，式（3）變為f（x1，x2）＝c12（F1（x1），F2（x2））•f（x1）•f（x2）又因為f（x1，x2）＝f（x2）f（x1｜x2）故有f（x1｜x2）＝c12（F1（x1），F2（x2））•f1（x1）即對于條件概率密度函數f（x1，x2），可以分解為pair－copula的密度函數c12（F1（x1），F2（x2））和一個邊際密度函數f1（x1）的乘積。更一般的情況，式（1）中的每一項可以分解為適當的pair－copula函數乘以一個條件邊緣密度，即f（x｜v）＝cxvj｜v－j（F（x｜v－j），F（vj｜v－j））•f（x｜v－j）（4）其中，v是一個d維向量，vj是從v中隨機選擇的一個向量，v－j表示v向量中除去vj。當d＝2時，有f（x1｜x2，x3）＝c13｜2（F（x1｜x2），F（x3｜x2））•c12（F（x1），F（x2））•f1（x1）。總體而言，在合適的分解規則下，多變量的聯合密度函數可以表示為一系列的pair－copula密度函數與邊緣條件概率密度函數的乘積。Pair－copula結構中包含邊際條件分布F（x｜v）。對于每一個j，均有F（x｜v）＝Cx，vj｜v－j（F（x｜v－j），F（vj｜v－j））F（vj｜v－j）（5）其中，Cx，vj｜v－j是一個雙變量copula的分布函數。特別地，如果v是一個單變量，有F（x｜v）＝Cxv（F（x），F（v））F（v）（6）當x和v是（0，1）上的均勻分布時，用h（x，v，Θ）代表條件分布函數F（x｜v），即h（x，v，Θ）＝F（x｜v）＝Cxv（F（x），F（v））F（v）（7）其中，h（•）的第二個參數是條件相關變量，Θ是連接x和v的copula函數的參數集。

二、高維分布的pair－copula分解對于高維聯合分布，存在多種pair－copula結構。如，五維聯合分布存在240種不同的pair－copula分解。Bedford和Cooke引入了稱之為“正則藤（theregularvine）”的圖形建模工具來描述這些pair－copula［6］。N維變量的藤是一類樹的集合，樹j的邊是樹j＋1的節點，j＝1，2，…，N－2，每棵樹的邊數均取最大。C（Canonical）藤和D藤是兩類最特殊的藤，其中，C藤中，在每棵樹Tj中僅有唯一的點連接到n－j條邊；D藤中，樹中任一結點所連接的邊的條數最多為2。C藤和D藤的適用范圍不同：當數據集中出現引導其他變量的關鍵變量時，適合用C藤建模，而當變量相對獨立時，則適合用D藤建模。圖1和圖2分別給出了4維C藤和D藤。藤由樹、結點和邊組成，每棵樹上有若干個結點，每個結點的元素都對應一個pair－copula密度函數。Bedford和Cooke給出了基于藤的n維聯合密度函數的表達式［5］：對于C藤，有f（x1，x2，…，xn）＝∏nk＝1f（xk）∏n－1j＝1∏n－ji＝1cj，j＋i｜1，…，j－1（F（xj｜x1，…，xj－1），F（xj＋i｜x1，…，xj－1））（8）對于D藤，有f（x1，x2，…，xn）＝∏nk＝1f（xk）∏n－1j＝1∏n－ji＝1ci，i＋j｜i＋1，…，i＋j－1（F（xi｜xi＋1，…，xi＋j－1），F（xi＋j｜xi＋1，…，xi＋j－1））（9）

三、高維聯合分布下的pair－copula建模

pair－copula建模主要分為三塊：1．選擇pair－copula的結構，即選擇C藤、D藤或者是其他的分解規則；2．選擇pair－copula的類型；3．估計pair－copula函數的參數。選擇C藤或D藤，一個原則是：當數據集中出現引導其他變量的關鍵變量時，適合用C藤，而當數據集中的變量相對獨立時，適合用D藤。通常是通過比較Kendall’sτ或者是Spearman’sρs的大小來測度某個變量與其他變量的相關程度。常見的二元pair－copula函數類型有正態、T、Clayton、Gumbelcopula，正態copula不能刻畫尾部相關性；T－copula既能刻畫上尾相關性，也能刻畫下尾相關性；Claytoncopula只能刻畫下尾相關性；而Gumbelcopula卻相反，只能刻畫上尾相關性。最簡單的方法是通過畫變量的散點圖來選擇pair－copula類型。模型參數的估計方法很多，常用的是極大似然估計法，本文也基于該方法估計模型參數。但是與傳統的n維copula參數估計方法不同，對pair－copula密度函數作極大似然估計前，必須先估計出每棵樹的參數初值。Pair－copula參數估計的基本思路：第一步，基于原始數據估計第1棵樹上的copula函數的參數；第二步，基于第一步參數估計的結果及h函數，計算觀測值（即條件分布函數值），基于此觀測值估計第2棵樹上的copula函數的參數；第三步，重復第一步和第二步，直到計算出每棵樹上copula函數的參數。將第一、二、三步所得的參數值作為初始值，最大化總體似然函數，求得最終的參數估計值。以4維D藤為例，具體說明paircopula參數的估計步驟。步驟1基于原始數據，采用GARCH－EVT模型對每個資產的分布建模，估計出邊緣分布的函數Fi（xi），得到服從（0，1）上均勻分布的序列v0，1＝F1（x1），v0，2＝F2（x2），v0，3＝F3（x3）和v0，4＝F4（x4），并基于這四個序列估計T1上的copula密度函數c12（v0，1，v0，2），c23（v0，2，v0，3）以及c34（v0，3，v0，4）的參數Θ11，Θ12和Θ13。步驟2根據步驟1中估計的Θ11，Θ12和Θ13值以及h函數，分別計算F（x1｜x2）＝v1，1＝h（v0，1，v0，2，Θ11），F（x3｜x2）＝v1，2＝h（v0，3，v0，2，Θ12），F（x2｜x3）＝v1，3＝h（v0，2，v0，3，Θ12），F（x4｜x3）＝v1，4＝h（v0，4，v0，3，Θ13）作為T2的觀測值，估計T2上的copula密度函數c13｜2（v1，1，v1，2）和c24｜3（v1，3，v1，4）的參數Θ21和Θ22。步驟3根據步驟2中估計的Θ21和Θ22值以及h函數，分別計算F（x1｜x2，x3）＝v2，1＝h（v1，1，v1，2，Θ21），F（x4｜x2，x3）＝v2，2＝h（v1，4，v1，3，Θ22）作為T3的觀測值，估計T3上的copula密度函數c14｜23（v2，1，v2，2）的參數Θ31。步驟4將前三步所得的參數值Θ11，Θ12，Θ13，Θ21，Θ22和Θ31作為初始值，最大化對數似然函數：∑Tt＝1［logc12（F（x1，t），F（x2，t））＋logc23（F（x2，t），F（x3，t））＋logc34（F（x3，t），F（x4，t））＋logc13｜2（F（x1，t｜x2，t），F（x3，t｜x2，t））＋logc24｜3（F（x2，t｜x3，t），F（x4，t｜x3，t））＋logc14｜23（F（x1，t｜x2，t，x3，t），F（x4，t｜x2，t，x3，t））］（10）得到參數估計的最終值，再通過式（10）求出n維聯合密度函數f（x1，x2，x3，x4）。通常，初始值與最終值的差別不大。

四、基于pair－copula的投資組合VaR和ES計算

一般來說，很難求出投資組合的VaR和ES的解析式，通常采用MontCarlo模擬方法。用MontCarlo模擬計算投資組合VaR和ES的關鍵在于對pair－copula分解模型的仿真，即通過正則藤分解下copula分布函數Cx，vj｜v－j（•，•）求出的條件分布函數F（xj｜x1，x2，…，xj－1），生成服從多元聯合分布的仿真序列｛x1，x2，…，xn｝。Aas等人給出了仿真方法［9］，發現pair－copula分解模型的仿真序列和實際序列擬合的很好。根據Aas等人給出的仿真思想［9］用matlab7．9編程，得到仿真序列｛x1，x2，x3，…，xn｝，利用標準化殘差的逆分布函數（即逆概率積分變換），得到標準化殘差序列，然后根據上文中估計所得的GARCH模型求出收益率r′t，i，i＝1，2，…，n，由此可得資產i在時間（t，t＋1）內的損失率為Li，t＋1＝（Pi，t－Pi＋1，t）／Pi，t＝（Pi，t－Pi，texp（0．01r′i，t＋1））／Pi，t＝1－exp（0．01r′i，t＋1）（11）假設投資組合中資產i的權重為wi，i＝1，2，…，n，則投資組合在時間（t，t＋1）內的損失率為Lp，t＋1＝∑ni＝1ωiLi，t＋1＝∑ni＝1ωi（1－exp（0．01r′i，t＋1））（12）重復MonteCarlo模擬若干次得到投資組合的損失率的仿真序列，進而求出該序列的經驗分布，給定置信水平1－α，根據P｛Lp，t＋1≤VaRt＋1（α）｝＝α求出投資組合在時間（t，t＋1］內的VaR值，進而根據ESα＝E（Lp，t＋1｜Lp，t＋1≥VaRt＋1（α））求出投資組合的ES值。

五、實證研究

（一）數據來源及基本統計分析

《全國社會保障基金投資管理暫行辦法》對社保基金投資的金融工具種類和比例做出了規定：1．銀行存款和國債投資的比例不得低于50％。其中，銀行存款的比例不得低于10％。在一家銀行的存款不得高于社保基金銀行存款總額的50％。2．企業債、金融債投資的比例不得高于10％。3．證券投資基金、股票投資的比例不得高于40％。根據社保基金的投資渠道和投資資產比例，首先構造一個基準投資組合，設定各類資產的投資比例分別為：股票w1＝30％，國債w3＝50％，基金w2＝10％，企業債、金融債w4＝10％。選用滬深300指數、國債指數、基金指數以及企債指數（將金融債也歸為企業債）分別代表社保基金投資的股票、國債、基金、企業債與金融債。樣本數據時間區間為2005年5月10日至2010年12月10日，共1364組數據。所有數據來源于大智慧行情系統，數據處理及參數估計均采用Matlab7．9和OxMetrics5．0。將價格定義為指數每日的收盤價Pt，i，并將指數i在第t個交易日的收益率定義為rt，i＝100×log（Pt＋1，i／Pt，i），i＝1，2，3，4（13）滬深300指數（H）、國債指數（G）、基金指數（J）和企債指數（Q）對數收益率的描述性統計如表1所示。均收益均為正，基金指數的平均收益率最大，滬深300指數的平均收益率次之，國債指數的平均收益率最小，但是國債指數收益率的波動也是最小，驗證了“低風險低收益”。四個指數的收益率中，只有滬深300指數收益率偏度為負，意味著收益率存在著下降的可能性。峰度統計量表明四個指數收益率分布均具有比正態分布更厚的尾部特征；J－B檢驗統計量的值及其相伴概率，也表明收益率均不服從正態分布。對四個指數收益率進行Engle’sARCH／GARCH效應檢驗，結果表明收益率序列都具有明顯的條件異方差性。Ljung－BoxQ統計量顯示，滯后10階，在5％的顯著水平下，四個指數收益率均存在自相關性。單位根ADF檢驗表明，收益率序列均不存在單位根，是平穩的。

（二）邊緣分布建模

根據表1中的Ljung－BoxQ統計量，結合AIC和SC準則，在1％的顯著性水平下，確定滬深300指數和基金指數的均值方程為AR（0），其余兩個指數收益率的均值方程模型為AR（1）。基于GARCH（1，1）－T對收益率序列建模，利用OxMetrics5．0估計參數，結果如表2。由表2可知，四個指數的GARCH（1，1）模型的參數估計值都是顯著的；標準化殘差序列的Ljung－BoxQ統計值和ARCH效應檢驗表明標準化殘差序列不存在自相關和ARCH效應。借鑒Neftci的做法［14］，選取10％和90％作為序列閾值的分位數。基于極大似然估計法估計四個指數的上、下尾部參數（中間部分采用非參數核估計）擬合的結果如表3。

（三）pair－copula建模

1．pair－copula的分解

基于Kendall’Stau及C藤、D藤的適用范圍，選擇合適的pair－copula分解類型。經GARCH－EVT過濾后的兩兩標準殘差序列間的Kendall’Sτ值如表4所示。列均不存在單位根，是平穩的。（二）邊緣分布建模根據表1中的Ljung－BoxQ統計量，結合AIC和SC準則，在1％的顯著性水平下，確定滬深300指數和基金指數的均值方程為AR（0），其余兩個指數收益率的均值方程模型為AR（1）。基于GARCH（1，1）－T對收益率序列建模，利用OxMetrics5．0估計參數，結果如表2。由表2可知，四個指數的GARCH（1，1）模型的參數估計值都是顯著的；標準化殘差序列的Ljung－BoxQ統計值和ARCH效應檢驗表明標準化殘差序列不存在自相關和ARCH效應。根據Kendall’sτ值，相關性從強到弱依次為：H－J，G－Q，H－Q，J－Q，J－G，H－G，除了滬深300指數與基金指數之間具有較強的相關性外，其余指數間的相關性較弱，因此，四個指數間不存在引導其他變量的先導變量，所以不適合用C藤分解，故選擇D藤，結構如圖3所示。

2．pair－copula的參數估計

由于金融資產時間序列間經常同時呈現上下尾相關，相比于其他類型的copula函數，T－copula更好地反映了變量間的上下尾相關性，為了簡單起見，以T－copula作為pair－copula的類型。基于Matlab的DynamicCopula工具箱，先估計初始參數值，然后代入式（10）中，最大化對數似然函數值，得到參數估計的終值。結果如表5所示。為進一步比較分析，本文也基于4維T－copu－la模型估計社保基金投資組合，結果如下：相關系數矩陣R為：R＝1．00000．9173－0．0641－0．02780．91731．0000－0．0782－0．0301－0．0641－0．07821．00000．2973烄烆烌－0．0278－0．03010．29731．0000烎自由度為9．3415，對數似然函數值為256．4871。從對數似然函數值，也可以看出，基于pair－copula模型的擬合效果要優于傳統的n維copula。

3．投資組合風險的仿真計算及后試檢驗

估計出pair－copula模型的參數后，根據Aas等人給出的仿真程序［9］，采用MonteCarlo方法模擬服從pair－copula分解的聯合分布函數的仿真序列，根據投資組合中資產的權重，計算投資組合的收益率，進而計算投資組合的VaR和ES。根據《全國社會保障基金投資管理暫行辦法》中的相關規定，假設滬深300指數、國債指數、基金指數和企債指數的權重分別為0．3，0．5，0．1和0．1。根據表5給出的pair－copula參數估計最終值，仿真5000次，得到四個指數的仿真收益率序列，再根據式（14）計算得到投資組合的仿真損失率序列。根據VaR和ES的定義，計算得t＋1時刻95％置信度下的VaR和ES分別為：0．4382，0．4901。為進一步檢驗模型是否合適，對投資組合VaR進行Kupiec檢驗，也稱LR似然比檢驗，其基本思想是假定實際考察天數為N0，失敗天數為n，失敗率為p＝n／N0，VaR置信度為p＊。假定VaR估計具有時間獨立性，則失敗天數n服從參數為N0和p的二項分布，即n～B（N0，p），在零假設p＝p＊下，似然比LR＝－2ln［（1－p＊）N0－n（p＊）n］＋2ln［（1－n／N0）N0－n（n／N0）n］～χ2（1），在5％的顯著水平下，如果LR＞3．8415，拒絕本模型。分別基于多元T－copula和pair－copula模型預測了樣本內的日VaR，得出了預測失敗的天數、失敗率以及LR值，結果如表6所示。由表6可以看出，在95％的置信度下，拒絕了T－copula模型，而無論在95％還是在99％置信度下，均接受了pair－copula模型，總體而言，基于pair－copula模型預測的效果要優于基于多元T－copula的預測效果。圖4給出了5％分位數和95％分位數下基于pair－copula的VaR預測值。

六、結論

與傳統的多元copula函數相比，pair－copula分解不僅考慮了維數的影響，能夠更好地刻畫投資組合中不同資產風險兩兩之間的尾部相關性，而且可以根據實際數據擬合的情況對每一對copula函數選擇不同類型的copula函數，建模更加靈活。本文基于Aas等人的pair－copula模型和參數估計方法，結合邊緣分布建模的GARCH模型和極值理論（EVT），提出了投資組合風險測度的GARCH－EVT－pair－copula模型，為測度投資組合的風險提供了一種新的方法，并將該方法應用到社保基金投資組合的風險測度中。實證研究測得95％置信度下日VaR值和ES值分別為0．4382和0．4901，并且Kupiec檢驗說明本文提出的模型預測日VaR的能力要優于普通的多元copula模型。