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《力學(xué)與實(shí)踐雜志》2015年第六期

摘要

用能量方法研究了跳躍振子的平衡與分岔.用勢能駐值條件確定了平衡位置所滿足的方程，通過勢能極值判斷平衡的穩(wěn)定性.在不同的彈簧構(gòu)型下，數(shù)值計(jì)算了平衡隨系統(tǒng)彈性剛度和質(zhì)量比變化的分岔圖.結(jié)果表明，彈性剛度和質(zhì)量比較小時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；剛度和質(zhì)量比充分大時(shí)，系統(tǒng)分岔出一個(gè)新的穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個(gè)新的不穩(wěn)定平衡點(diǎn).

關(guān)鍵詞

能量采集器，跳躍振子，平衡，分岔，穩(wěn)定性分析

Thompson等[1]最早提出跳躍(snap-through)振子作為屈曲的模型.跳躍振子由2條斜向線性彈簧，1個(gè)阻尼器及1個(gè)質(zhì)量塊組成，如圖1所示.跳躍振子有多種應(yīng)用.Brennan等[2]用跳躍振子建模昆蟲飛行機(jī)理，與線性系統(tǒng)比較后確定了動能的峰值.Cao等[3]研究跳躍振子斜置彈簧水平的極限情形，成為典型的光滑但不連續(xù)的系統(tǒng).特別是近年對非線性能量采集器的廣泛研究中，跳躍振子作為一種非線性實(shí)現(xiàn)方式而受到人們重視[4].McInnes等[5]采用隨機(jī)共振來增強(qiáng)含跳躍振子的動能采集器，仿真表明在隨機(jī)激勵下所采集能量有顯著增加.

Ramlan等[6]提出了非線性雙穩(wěn)態(tài)跳躍振子，研究表明當(dāng)激勵頻率遠(yuǎn)小于自然頻率時(shí)，這種裝置將獲得更多的能量.Li等[7]基于跳躍振子設(shè)計(jì)一種電磁式能量采集器，并用數(shù)值方法研究了在簡諧激勵下的周期和混沌運(yùn)動.Jiang等[8]提出了基于跳躍振子的非線性壓電能量采集器，并用解析和數(shù)值方法分析了從隨機(jī)振動中采集的電功率隨相關(guān)系統(tǒng)參數(shù)的變化.

盡管跳躍振子已經(jīng)有大量研究，但在以往的工作中往往都忽略了質(zhì)量塊自身重力的影響，從而認(rèn)為系統(tǒng)有2個(gè)穩(wěn)定平衡位置，它們關(guān)于2個(gè)彈簧在框架上連接點(diǎn)的連線對稱.本文從能量角度分析，確定了平衡位置，并判斷了穩(wěn)定性.進(jìn)而通過數(shù)值算例考察了系統(tǒng)的靜態(tài)分岔.

1平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的能量分析

在圖1所示系統(tǒng)中，因?yàn)樽枘崞鞑挥绊懫胶馕恢茫梢栽诖_定平衡位置時(shí)忽略，從而將系統(tǒng)作為保守系統(tǒng).設(shè)振子的關(guān)于2個(gè)彈簧在框架上連接點(diǎn)的連線位移為x，質(zhì)量塊質(zhì)量為m，彈簧的剛度為k，彈簧無變形時(shí)斜線的長度為L，框架中心與邊緣的距離為l.質(zhì)量塊m受剛性桿約束做直線運(yùn)動.系統(tǒng)的勢能為重力勢能和彈性勢能之和.重力勢能的零勢面取為2個(gè)彈簧在框架上連接點(diǎn)的連線所在水平面，彈性勢能原點(diǎn)為彈簧原長.

2靜態(tài)分岔的數(shù)值算例

在以下計(jì)算中，裝置邊緣與中心的距離取為l=0.04m，重力加速度g=9.8m/s2.在本文的計(jì)算中，對于不同的無量綱參數(shù)度趨近于1的4種情形.圖中實(shí)線表示穩(wěn)定平衡點(diǎn)，虛線表示不穩(wěn)定平衡點(diǎn).從上述計(jì)算結(jié)果可知，系統(tǒng)在2個(gè)彈簧在框架上連接點(diǎn)的連線下方有1個(gè)穩(wěn)定平衡和1個(gè)不穩(wěn)定平衡，這對平衡點(diǎn)對任意參數(shù)都存在，其中穩(wěn)定平衡的位置隨著ω20的增加迅速趨于連接點(diǎn)的連線，且λ的增加加快這種趨近.對于充分大的ω20，在2個(gè)彈簧在框架上連接點(diǎn)的連線下方也有1個(gè)穩(wěn)定平衡和1個(gè)不穩(wěn)定平衡，λ的增加使得出現(xiàn)這對平衡點(diǎn)需要ω20的值增大，而新出現(xiàn)的穩(wěn)定平衡更靠近連接點(diǎn)的連線.存在2個(gè)穩(wěn)定平衡位形時(shí)，這2個(gè)平衡點(diǎn)也并非關(guān)于連接點(diǎn)的連線對稱.

3結(jié)論

本文用能量方法研究了跳躍振子的平衡及其穩(wěn)定性，并考察了靜態(tài)分岔.由平衡條件導(dǎo)出了平衡點(diǎn)所滿足的方程.應(yīng)用拉格朗日定理及其逆定理判斷平衡的穩(wěn)定性，并數(shù)值分析了平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性隨參數(shù)的變化，得到分岔圖.研究表明：(1)系統(tǒng)在彈簧連接點(diǎn)連線的下方存在1個(gè)穩(wěn)定平衡和1個(gè)不穩(wěn)定平衡.(2)隨著系統(tǒng)彈性剛度和質(zhì)量比值的增加，在連接點(diǎn)連線上方出現(xiàn)新的穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡，新的穩(wěn)定平衡隨著該比值的增加遠(yuǎn)離連接點(diǎn)連線，而下方的穩(wěn)定平衡點(diǎn)隨著該比值增加迅速趨近連接點(diǎn)連線.(3)彈簧在連接點(diǎn)連線時(shí)的長度與彈簧原長時(shí)的比值對分岔圖有定量的影響.隨著該比值的增加，下方的穩(wěn)定平衡點(diǎn)更快地趨于連接點(diǎn)連線，而出現(xiàn)上方的新穩(wěn)定和不穩(wěn)定平衡所需要的彈性剛度和質(zhì)量比增大，新的平衡位置更靠近連接點(diǎn)連線.

作者：勵軻 陳立群 單位：上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所 上海大學(xué)力學(xué)系 上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室