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《大學物理雜志》2014年第六期

1計算思路

假定構成任何大小的某種金屬，如Au或Ag，由面心立方晶格最小單元———結晶學單胞沿3個晶軸方向多次重復堆砌而成．從一個完整的單胞開始，堆砌是在3個晶軸方向上等量地增大．這樣形成新的所有塊體仍然是立方體，如圖1所示(限于篇幅，這里只繪出4個立方體塊)．最小的塊體就是1個單胞，緊接著的第二個塊體是含有8個單胞的立方體，第三個含有27個單胞，以此類推第n個立方體，應含有n3個單胞．可以想見，如果n很大，這個立方體的邊長相對于晶胞參數(設為a)而言也就很大，當然其表面和體內原子數也很大．在構筑好立方塊之后，我們就著手對其表面原子數和體內原子數進行計算．

2遞推公式

引進3個變量Nsur、Nint和r分別表示某種立方塊(對應某個數n)的表面原子數目、體內原子數目和二者之比:r=Nsur/Nint．先從一個完整的單胞開始，即n=1情形．按照固體物理知識，其內部沒有原子即Nint=0，而原子全部在體表:原子占據8個頂點和6個面心位置．這樣，Nsur=8×18+6×12=4，其中該式第一項表示每個頂點位置的原子只有八分之一屬于該單胞，而每個面心的位置的原子只有一半屬于該原子．這里需要解釋一下:該式的第一項仍然是頂點原子貢獻的數目;第二項是6個面上原子貢獻，每個面此時有5個原子占據;最后一項是12條棱上各有1個原子占據位置，但每個位置對原子個數的貢獻率為四分之一．此時，體內的原子個數其實，式(5)是很好理解的．為了便于說明問題，圖2給出了由面心立方單胞沿3條軸同時增大n倍后構成的立方塊的一個面原子位置示意圖．其中黑色實心球代表頂點位置，三角形代表面上由相鄰兩個堆砌單胞的頂點重合位置，灰色六角形代表堆砌單胞面心上的原子占據位置，空心球代表棱上原子占據位置．于是有:將三者相加，便得到第5式．最終體表原子數。

3討論

可見，在n≥3時，體內原子數就超過體表原子數．當n很大時，由式(7)可得比值與體表和體內原子數的關系以及體內原子數相對于體表原子數之比示意圖．對于宏觀大小的一方塊Cu，比如重量為100g，其體積大概在11．2cm3(當作立方塊，其邊長為2．24cm)，這塊銅大約含有9．4×1023個原子．這樣便可粗略估計出其表面原子．因為4n3=9．4×1023，由此可以得到n≈6．17×107．由式(5)可得Nsur=2．28×1016，而體內原子數Nint仍大約為9．4×1023，比起表面原子數目高出107倍．可見，這塊Cu比表面效應很小．但是當n減小，小到r在10－3～100時，或體內原子數目只比表面原子多100～103倍時，比表面效應就會明顯．由此可以推算出這時材料的尺寸．對于Cu而言，其晶胞參數為0．361nm［5］，當體內原子數目比表面原子多103倍時，n～1450，估算出顆粒的大小為1450×0．361nm≈523nm．當體內原子數目比表面原子多102倍時，n～150，顆粒的大小為150×0．361nm≈54．2nm．當體內原子數目比表面原子多101倍時，n～16．可以估算出顆粒的大小為16×0．361nm=5．78nm．一般而言，納米材料尺寸在1～100nm之間，對Cu，當納米顆粒尺寸為100nm時，n=100/0．361≈277，即由4×2773(≈8．2×107)個小單胞堆砌而成的顆粒具有較顯著的比表面效應．又比如Ag，其晶胞參數為0．409nm［4］，按照相同辦法，當體內原子數目比表面原子多102倍時，n～150，顆粒的大小為150×0．409nm≈61．35nm;當體內原子數目比表面原子多101倍時，n～16．可以估算出顆粒的大小為16×0．409nm=6．54nm．而金屬納米顆粒已有產品在市場上出售，用于表面等離子體激元引起的表面增強拉曼散射等方面．如市場上出售的Ag納米顆粒尺寸最小約為10nm［6］左右，這與我們的估算基本一致．實驗室制備的金屬納米粒子最小尺寸也非常接近我們的估算值．當然，上面的推導是在假定塊材是由最小單胞理想堆砌下而得到的．其實材料內部還存在缺陷、無序等．但這種估算對于固體物理課程的初學者如何估算材料尺寸小到什么時候其比表面積效應就較為明顯有所幫助．該方法還可以推廣到如何計算材料的表面積等方面．

4結束語

本文介紹了由面心立方晶胞組成的塊體材料其表面與體內原子數目之比的一種計算方法，由此可以估算出這類材料尺寸小到什么程度時它的比表面效應就突顯出來．

作者：李廣吳明在王磊單位：安徽大學物理與材料科學學院