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摘要：首先分析和探究帶有增長、聚合和破損過程的群體平衡方程；其次把伸縮變換群法用于群體平衡方程，獲得群體平衡方程所接受的伸縮變換群、自相似解、精確解和約化的常微分－積分方程；最后所獲得結(jié)果表明伸縮變換群法不但可用于偏微分方程而且可用于偏微分－積分方程．

關(guān)鍵詞：群體平衡方程；伸縮變換群法；自相似解

群體平衡［1］的概念對(duì)化學(xué)工程師、地球物理學(xué)家、物理學(xué)家、氣象學(xué)家、生物物理學(xué)家等都很重要，其應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛［1－3］，如固體物的破損或粉碎過程、微生物和細(xì)胞種群的生長或死亡過程、聚合過程、結(jié)晶和沉淀過程、基因調(diào)控過程、分散相系統(tǒng)等．群體平衡方程［1－3］越來越成為一個(gè)重要的研究主題，由于它的應(yīng)用領(lǐng)域涉及較多交叉學(xué)科［2］，如環(huán)境和工程學(xué)、農(nóng)業(yè)工程學(xué)、生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)、血液學(xué)、制藥工程學(xué)、生物化學(xué)與分子生物學(xué)、形態(tài)結(jié)晶學(xué)、細(xì)胞生物學(xué)等．根據(jù)實(shí)際應(yīng)用建立一個(gè)群體平衡方程并不困難，主要障礙是沒有精確求解這些實(shí)體模型的能力和方法［4－5］．由于群體平衡方程的高度非線性性和多樣性以及代數(shù)項(xiàng)和積分項(xiàng)類型的復(fù)雜性，許多群體平衡方程都缺乏精確解，因此其求解技術(shù)只能借助于數(shù)值方法［1－3］，如矩方法、差分方法等．目前，文獻(xiàn)［2，4－5］給出了群體平衡方程的最新應(yīng)用領(lǐng)域和近幾年的求解技術(shù)及進(jìn)展．

1方程（7）所接受的伸縮變換群

直接采用改進(jìn)的李群分析法［13－14］尋找方程（7）的無窮小李對(duì)稱算子是非常棘手的問題．下面采用伸縮變換群法求方程（7）所接受的伸縮變換群，考慮伸縮變換群

2方程（7）的自相似解

2．1情形K（x，y）＝k0

對(duì)于常數(shù)核函數(shù)情形K（x，y）＝k0，利用核函數(shù)的性質(zhì)（2）得到γ＝0．算子Y1對(duì)應(yīng)的不變量為f，x．因此，方程（7）的解的表達(dá)式可寫成f（x，t）＝φ（x），其中函數(shù)φ滿足常微分－積分方程

2．2情形K（x，y）＝k1（x＋y）

對(duì)和核函數(shù)K（x，y）＝k1（x＋y），采用核函數(shù)的性質(zhì)（2）可得到γ＝1．算子Y1對(duì)應(yīng)的不變量為f，x．因此，方程（7）的解的表達(dá)式可寫成f（x，t）＝φ（x），其中函數(shù)φ滿足常微分－積分方程3結(jié)束語將伸縮變換群法用于一類帶齊次核函數(shù)的偏微分－積分方程，找到該方程所接受的伸縮變換群、自相似解、精確解和約化的常微分－積分方程，結(jié)果表明采用伸縮變換群研究一個(gè)新的偏微分－積分方程是簡潔且有效的．

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作者：林府標(biāo) 張千宏 單位：貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院