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1教學中存在的問題

筆者多次在我校城市學院（我校獨立學院稱為“城市學院”）從事概率論與數理統計的教學工作，在每次期末考試，我都發現學生數理統計部分的成績不理想，以2007年秋的試卷為例，試卷在數理統計方面的三個題都不難，其中一個題是求未知參數θ的矩估計量＾θ和矩估計值，并判斷＾θ是否為無偏估計量；另外兩個題分別是一個正態總體在方差已知時，求均值的置信區間和在方差未知時，對均值的假設檢驗．三個題的題型和書中的例題一樣，作業也對這方面的題作了訓練，但學生對這三個題的解答不理想，不如對概率論題目的解答，特別是后進同學，得分較低，甚至有空白不做的現象．

2存在問題的原因分析

1．學生的主觀原因．作為城市學院的學生，其學習基礎和能力與統招生會有一定的差距，在同樣教材和同樣教學內容的情況下，城市學院的學生接受知識必定相對困難．一些學生在課程的前半截尚能堅持，但隨著課程的深入和內容的不斷增多，就越來越堅持不住，他們不同程度地不理解數理統計的思想方法，感到內容多而且抽象，只能對公式死記硬背，甚至幾乎放棄數理統計．

2．教學內容上的原因．概率論與數理統計共48學時，該課程的特點是概念多，結論多，公式多，記憶的壓力較大．作為后18學時的數理統計更具有內容枯燥，理論抽象的特點，其內容的順序安排也使得各種不利因素進一步強化．數理統計的教學基本內容和考試點無外乎以下五個部分：（1）數理統計的基本概念；（2）抽樣分布與抽樣分布定理；（3）參數的點估計；（4）區間估計；（5）假設檢驗．一般教材安排的內容順序基本上也是如此，其中抽樣分布與抽樣分布定理是學生掌握的一個薄弱環節，是學習的一個難點．該部分連續給出一些概念、性質和結論，由于時間的關系，許多性質和結論不可能給予證明，僅僅是生硬的給出，有的結論中的數學公式很長．由于該部分內容處于數理統計的開始階段，使得一些基礎不好的學生望而生畏，喪失了學好數理統計的信心．實際上，抽樣分布與抽樣分布定理是為區間估計和假設檢驗作理論準備的，而緊跟在該部分內容后面的參數的點估計中根本沒有涉及到抽樣分布與抽樣分布定理的內容，抽樣分布定理沒有得到及時的應用，這使得學生對該部分內容的掌握更加困難．參數的區間估計和假設檢驗各自包含關于一個正態總體參數的、兩個正態總體參數的、非正態總體參數的三個大方面，而這三個大方面又分別包含若干種情況（就我校使用的教材即文獻［1］而言，參數的區間估計和假設檢驗各自介紹了10種情況，總共20種情況），再加上每種情況又可以再分成單側和雙側置信區間或單側和雙側假設檢驗，使教學內容顯得冗長、繁瑣和枯燥，一個基礎不太好的初學者在短時間內完全掌握這些內容并記住相關的結論確實有一定的困難，更談不上對這部分內容的融會貫通，因此不少學生在有關一個正態總體參數的時候尚可堅持，而在有關兩個正態總體參數和非正態總體參數時便感到力不從心．

3教學改革的內容城市學院的學生經過學習必須達到國家的要求，從而成為合格的本科大學生，但又要從學生的實際出發，筆者以為應從以下幾個方面入手去搞好數理統計的教學．

1．突出重點，分散難點，由淺入深

要講透重點內容，精講相關的例題，確保對重點內容的融會貫通，而對其它內容，特別是那些用一樣的方法處理的內容，則強調掌握方法，根據時間和學生的接受能力區別對待，適當兼顧．如參數的區間估計和假設檢驗，重點應是雙側置信區間和雙側假設檢驗，而重中之重是有關一個正態總體參數的，在教材中這樣的區間估計和假設檢驗各自包含了3種情況，總共6種情況．通過對一個正態總體參數的雙側置信區間和雙側假設檢驗的細致講解，使學生確實掌握區間估計和假設檢驗的基本概念和思想方法．為達到更好的效果，可把內容調整為如下順序：（1）數理統計的基本概念．包括總體、樣本、統計量等基本概念；（2）參數的點估計．包括矩估計法，最大似然估計法，估計量優良性的評選準則；（3）抽樣分布與抽樣分布定理（Ⅰ）．包括標準正態分布（用U表示）的分位數，χ2分布和t分布的定義、性質和分位數，與一個正態總體相關的抽樣分布定理；（4）區間估計的概念，一個正態總體參數的區間估計；（5）抽樣分布與抽樣分布定理（Ⅱ）．包括F分布的定義、性質和分位數，與兩個正態總體相關的抽樣分布定理；（6）兩個正態總體參數的區間估計，非正態總體參數的區間估計；（7）假設檢驗的概念，一個正態總體參數的假設檢驗；（8）兩個正態總體參數的假設檢驗，非正態總體參數的假設檢驗；（9）單側置信區間和單側假設檢驗以及其它教學內容（前面（4），（6），（7），（8）中指的是雙側置信區間或雙側假設檢驗）．這樣的調整要點和注意事項是：（1）將參數估計一章拆開，其中參數的點估計提到抽樣分布與抽樣分布定理之前，數理統計的基本概念之后，目的是使抽樣分布定理在緊跟其后的區間估計中馬上得到應用．（2）將抽樣分布與抽樣分布定理拆成兩部分，這樣就分散了難點，避免了定理和結論的過分集中．抽樣分布與抽樣分布定理（Ⅰ）和（Ⅱ）之后分別是一個正態總體參數的區間估計和兩個正態總體參數的區間估計，拆成的兩部分內容分別在緊跟其后的教學中得到了及時的應用，使學生及時看到抽樣分布定理的用途，有利于學生掌握抽樣分布與抽樣分布定理以及區間估計的整個內容．（3）抽樣分布與抽樣分布定理（Ⅰ）是學好一個正態總體參數的區間估計和假設檢驗的前提，從而是抽樣分布與抽樣分布定理的重點所在．只有真正學好一個正態總體參數的區間估計和假設檢驗，才能由淺入深地學好其它情況下的區間估計和假設檢驗．（4）參數的區間估計和假設檢驗從一個正態總體的到兩個正態總體的，再到非正態總體的，是一個由易到難，由淺入深的過程，學習的困難越來越大，要求掌握的程度應逐漸減弱．兩個正態總體和非正態總體的情況所用的一些公式較長，非正態總體的情況在推導時還應用了中心極限定理，它們作為必須的教學內容不能舍去，尤其是兩個正態總體的情況，但在教學中，應注重體會和應用在學習一個正態總體的情況時總結出的思想方法，開展啟發式教學，引導學生積極思考，保持學生的學習興趣，適當減輕學生記憶的壓力．（5）教材中在介紹假設檢驗時，對每種情況都將雙側和單側檢驗一起給出，筆者以為在最后單獨講解單側置信區間和單側假設檢驗更適合學生的實際情況，這樣可使坡度變緩，防止內容冗長和繁瑣而使學生失去學習的興趣，使學生先集中力量學好重點內容，并在重點內容的學習中盡快掌握思想方法，這部分教學仍然要注重體會和掌握方法．（6）調整后的順序方便了初學者由淺入深的學習，使學生集中時間學好重點內容，但拆分了教材中的一些章節，使知識的系統性不如教材的順序安排，為此最后應按教材的順序對內容進行全面總結．

2．注重思想方法簡單而直觀的解釋

教學中的數學理論是嚴謹的、抽象的，對基礎不好的學生而言，更不是容易理解的，而數理統計中的的許多內容都有簡單而直觀的解釋，它的基本思想是用從樣本中獲得的信息對總體的未知參數和分布進行推斷，簡單地講，就是根據抽樣結果，對總體的未知情況作合理的猜測．在教學中，應結合實際背景，用通俗的語言和日常的事例，直觀而簡捷地講清基本思想和方法．比如，矩估計的思想方法是依據樣本矩依概率收斂于總體矩的原理，用樣本矩估計相應的總體矩，通過解方程將未知參數用樣本的函數表出；最大似然估計的思想是依據“概率最大的事件最可能出現”的原理，在已得到試驗結果的情況下，認為使這個結果出現的可能性最大的未知參數的取值最像真正的參數，從而將其作為參數的估計值；假設檢驗的推理思想就是數學上反證法的思想，在推斷時應用了實際推斷原理，即“認為小概率事件在一次試驗中不會發生”．事實上，在日常生活中，小概率事件是一些意外事件，像“火車事故”、“買彩票中大獎”等等，而我們在坐火車時，不會顧慮火車是否會發生事故．買彩票后，對未中大獎會有一個理智的心態，也就是一般不會去考慮這些小概率事件，即認為它們通常不會發生；注意到所有區間估計或假設檢驗中的方法都是有共性的，簡單地說就是取適當的變量，再確定相應的概率表示式（大概率表示式或小概率表示式），區間估計就是解這個大概率表示式中的不等式，解出未知參數所在的由統計量表示出的范圍．而假設檢驗就是根據小概率表示式，看樣本值使小概率事件是否發生，若發生，則拒絕原假設．否則，便接受原假設等等．通過簡單而直觀地解釋，避免嚴謹和抽象給學生造成的神秘感，增強學生的信心，使學生更容易理解數理統計的思想方法．

3．注意對知識的歸納和總結

面對數理統計中的眾多公式和結論，要及時進行歸納和總結，這是一個由繁到簡，去粗取精的過程．比如，在學習數理統計之初，總結有關正態分布的結論；將四個變量U，χ2，T和F的重要性質、各種情況下的區間估計和假設檢驗總結和歸納成表格；總結常見分布中未知參數的矩估計量和最大似然估計量；總結整個課程的結構和知識點以及基本題型等等．還要及時總結易混內容的區別和聯系，比如，樣本均值與總體均值、樣本方差與總體方差、矩估計量和最大似然估計量、區間估計和假設檢驗、單側和雙側置信區間、單側和雙側假設檢驗等等．在一般的教學中，有時過于注意細節，不容易把握住知識的整體，而歸納總結使學生從宏觀上把握知識的整體，掌握知識的聯系，如同站在更遠、更高的地方看內容，看到問題的全部，使書本在學生的大腦中“由厚變薄”，有助于學生對知識理解的深化和對重要結論的記憶，這是教學中的一個重要環節．

4教學改革的成效

筆者2008年春在我校城市學院從事概率論與數理統計的教學工作，按照上面的思路進行了改革的嘗試，收到了一定的效果．首先是在與學生的交流中，感到學生對數理統計部分的重點內容比以前清楚，對點估計、區間估計和假設檢驗的方法和思想有一定的體會，特別是對區間估計和假設檢驗的掌握有了較好的改善．2008年春與2007年秋期末的試卷在數理統計方面難易程度基本相同，試卷中仍有三個大題屬于數理統計方面，其中一個題是給出總體均值的兩個估計量，證明這兩個估計量均是無偏估計量，并進一步判定哪一個更有效；另外兩個題分別是一個正態總體在均值未知時，求方差的置信區間和在方差已知時，對均值的假設檢驗．在2008年春的閱卷過程中，感到學生對數理統計題目的解答好于2007年秋，所教全部學生的及格率比2007年秋有所提高．兩次考試后，統計隨機抽取的兩個班各題得分顯示出在有可比性的區間估計和假設檢驗兩個大題方面，平均得分率也有所提高．

5結束語

鑒于學時有限，學生的學習基礎和學習態度差異大等等一系列復雜原因，做好獨立學院數理統計的教學工作不是一件容易的事，要求教師必須在教學上投入更大的精力，摸索切實可行的教學方法，真正做到教書育人，而在教學中突出重點，分散難點，由淺入深，講好思想方法，加強對知識的歸納和總結，是提高獨立學院數理統計教學效果的一個有益的探索．