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摘要:皮爾士、拉卡托斯和歐里斯特對于數學可謬性的論斷是從宏觀的角度進行的。數學證明的可審查性可以最大限度地保證其正確性，但機器證明和長證明使得審查難以進行，它們的存在也為數學可謬性提供了微觀證據。

關鍵詞:數學證明;可審查性;數學可謬性

一方面，就今天的數學哲學領域來說，數學可謬性已經成為共識，盡管很多數學家們對此并不在意。另一方面，數學科學在當代的發展出現了一些新的情況如信息技術在數學研究中扮演重要角色、數學與現實的聯系更加密切以及數學家之間合作研究程度的增加等。其中，難以審查數學證明的出現尤為引人注目。我們認為，難以審查數學證明的出現實際上為數學可謬性提供了進一步的證據。

一數學可謬性

長期以來數學都被賦予成一種可靠、準確和客觀知識的典范。一般人皆視數學為真理，數學家們對此往往更是引以為傲。數學家克蘭茨(Krantz，S)的話是具有代表性的，他說，數學“具有一種確定性，這是其他科學所不具備的。我們賦予這個系統以可靠性、再現性以及可移植性，這是任何其他科學所做不到的”。克萊因(Kline，M)在描述傳統的數學真理觀也說過:“無論什么時候，當一個人需要一個確定性和推理正確性的例子時，他一定會求助于數學”。［1］數學哲學家們對于數學知識是否具有真理性的問題很早以前就有過認真的思考。以美國數學家和數學哲學家皮爾士(CharlesSandersPeirce，1839—1914)、匈牙利數學哲學家拉卡托斯(ImreLakatos，1922—1974)和英國數學哲學家歐里斯特(PaulEr-nest，1944—)為代表的數學哲學家相繼地提出了數學具有可謬性的看法。簡單地說，皮爾士認為數學可謬性的根據主要是通過將數學家的數學創造與科學家對于經驗科學的探究過程進行對比得出的。皮爾士指出，數學家在數學創造過程中需要將數學命題轉換成頭腦中的圖形，思維的過程就是對圖形的操作，該過程與科學家的實驗是很相似的。由于經驗科學的探究是可謬的，因而數學也將是可謬的。拉卡托斯區分了兩類系統即歐幾里得系統和擬經驗系統，邏輯主義、直覺主義和形式主義三大學派的基礎研究本質上都是要將全部數學重建為歐幾里得系統，而它們的失敗說明了數學必然是擬經驗的，數學的擬經驗性又說明了數學的可謬性。［2］歐里斯特的數學可謬觀最先來自于拉卡托斯的數學可謬思想，并在后者的基礎上進行了進一步的分析。他將數學上的認識論觀點分成絕對主義數學觀和可謬主義數學觀，而三大學派都持有絕對主義數學觀。歐里斯特通過分析指出，三大學派的絕對主義數學觀都是錯誤的，因此，數學就應該是可謬的。［3］可以看出，歐里斯特數學可謬觀的得出與拉卡托斯在本質上是類似的，都是通過對于絕對主義數學觀的否定而實現的，而皮爾士的數學可謬觀則是通過對于數學創造與經驗科學的探究之間的相似性而得出。盡管二者是從不同的途徑得出數學可謬性這個相同的結論，但二者之間也有其共同點，那就是它們都是從宏觀上說明數學是可謬的。根據皮爾士觀點，既然數學創造與自然科學的探究相似，那么數學本身就一定也像自然科學一樣是可謬的;而根據拉卡特斯與歐里斯特的觀點，可謬性本來就是數學自身的特點。那么，除此之外，是否還有其他的證據表明數學的可謬性呢?特別是，現代數學發展有沒有為數學可謬性提供更加微觀的證據呢?

二數學證明可審查的必要性

數學證明被認為是數學與自然科學之間的核心區別所在，它在數學發展中扮演著極為重要的作用。通過數學證明，一個對錯不定的數學猜想或者變成了一個數學真命題或數學定理，或者被認定為假命題而拋棄。就數學共同體來說，數學證明發揮著讓數學家們確信某個命題是正確無誤的作用，從而可以讓他們在自己的數學研究中放心地加以運用。就數學科學來說，數學證明是數學發展的必要途徑，通過數學證明得到一個個數學真命題，而數學真命題是一個數學分支的主要構成。顯然，數學證明要想發揮應有作用，正確性是最基本的要求。泰馬祖科(ThomasTymoczko)認為，在傳統的數學觀念中，數學證明具有三個基本的特點即有說服力、可審查性以及形式化［4］。有說服力就是上文所說的讓共同體中其他數學家對該證明的正確性充分的確信，可審查是指其他的數學家能夠對數學證明進行檢查以確定其是否正確，形式化是指數學證明應該用形式化的數學語言書寫而成。其實，這三點之間是有聯系的，形式化是證明的外在形式，可審查性保證了證明的正確性，而有說服力則是可審查性的結果。形式化是可審查性的必要條件，數學內容用形式化的數學語言進行表述是現代數學的表現形式，數學共同體中的成員要對數學證明進行審查，當然需要該證明是用形式化的數學語言書寫的，否則數學家可能根本就看不懂，從而就不存在審查了，從這個角度看，形式化其實是附著于可審查性的。因此，傳統數學證明的三個特點的核心應該是可審查性。關于可審查性，除了要求證明要用數學共同體共同認可的數學語言進行形式化書寫外，還有兩點是需要強調的。其一是證明審查的主體應該是數學共同體的成員。一個證明如果是正確的，那么也就意味著其結果能夠進入到數學之中成為數學知識的一部分而為數學共同體所接受，因此，一個證明是不是一個合法的證明應該由共同體成員來確定。其二，證明的長度應該是適當的，這樣可以便于數學共同體的其他成員對之加以審查。如果證明過長到要一位數學家化數年甚至一輩子的時間才可以看完的話，那么這樣的數學證明實際上將是難以審查的。數學證明的可審查性具有極為重要的意義，它起碼從理論上保證了數學證明的正確性。數學家在完成某個數學證明后，他會對自己的證明進行反復的審查，從而盡可能發現存在的錯誤。然后，數學家將論文投給數學期刊，期刊編輯部會安排其他數學家對該論文進行審稿，審稿的過程也就是對數學證明審查的過程，通過該過程，如果證明中存在錯誤的話，審稿者可能會發現其錯誤所在。當論文正式發表后，閱讀論文的數學家們會進一步對之進行審查，如果仍然沒有發現錯誤，那么，證明過程及其結論就會成為數學知識的一部分從而為數學家們所吸收或內化。至此，該證明的過程和結論就真正地為數學共同體所認可。可見，數學證明的可審查性對于保證數學證明的正確性是極端重要。如果數學證明不具有可審查性的話，以傳統的觀點看，數學家共同體是不可能接受這樣的結論進入到數學之中成為合法知識的。正如皮爾士所說的那樣，數學知識是人的知識，而是人就會犯錯誤，因而，作為一種人的知識的數學知識就具有可謬性。大學生和中學生在做數學證明時會由于各種原因出錯，數學家做數學證明時也會時常出錯。數學史告訴我們，錯誤的證明是經常發生的即使是大名鼎鼎的數學家在進行數學證明時也無法避免犯錯。例如，肯普(Kempe)在1879年發表了他對四色猜想的證明，11年后希伍德(Heawood)發現了肯普證明中的一個致命錯誤。1911年6月大數學家哈代(Hardy)和李特爾伍德(Litterwood)合作的一篇論文在倫敦數學會上散發，但后來他們發現其證明是錯誤的。1945年，拉特馬赫(Rademacher)認為他已經證明出了黎曼猜想，甚至時代雜志都宣布了該結果，但后來被審查發現了錯誤。［5］正是由于數學證明具有可審查性，才使得許多錯誤的證明在公開后能夠被發現。可以說，數學的健康發展，證明的可審查性功不可沒。

三難以審查的數學證明的出現

傳統的數學證明具有可審查性，它最大限度地保證了數學結論的無誤性。數學科學從古希臘的幾何到今天達數百個數學分支，數學成為一個參天大樹有賴于數學內容的正確性，而這與數學證明的可審查性是分不開的。但是，數學發展到今天，竟然在數學證明上出現了不可審查的問題，以下是兩個典型的例子。第一個例子是四色定理的證明。四色定理的表述如下:將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1234這四個數字之一來標記而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。這里所指的相鄰區域是指有一整段邊界是公共的，而如果兩個區域只相遇于一點或有限多點就不叫相鄰的。最先正式提出“四色問題”的是英國數學家凱萊，他于1872年正式向倫敦數學會提出了“四色問題”。從那以后，包括閔可夫斯基在內的不少大數學家都試圖證明該猜想，但均沒有成功。1976年，黑肯和阿佩爾運用計算機歷時1200小時證明了“四色問題”。第二個例子是有限單群分類定理即所謂的“宏大定理”。有限單群分類定理表述如下:任何一個有限單群必定屬于如下四類群中的一個:素數階循環群、n≥5的交換群An、Lie型單群以及26個散在單群。如果從拉格朗日研究置換算起(1770年)到諾頓證實了散在群F1的唯一性為止(1981年)，前后用了200年時間，完整證明分散在大約500篇論文中，總長度達15000個印刷頁。2011年四位數學家出版了一本名為《有限單群分類》的書，該書是有限單群分類證明的摘要或導讀，篇幅就達350頁。第一個例子代表著數學猜想的機器證明。四色定理的證明是對數學猜想進行機器證明的第一次，而在這之前，一些數學家已經運用計算機來進行許多幾何定理的證明，其中就包括我國著名的數學家吳文俊先生在這方面所做的大量工作。在四色定理機器證明之后的1988年，美國數學家哈爾斯(ThomasHales)用計算機證明了開普勒猜想。與傳統數學證明不同的是，這類證明并非是用形式化的數學語言書寫的，而是用計算機語言表述的。實際上在黑肯和阿佩爾的四色定理證明發表后不久，數學哲學家泰馬祖科就在《哲學雜志》上發表了論文“四色問題和它的哲學意義”。

論文認為，黑肯和阿佩爾運用計算機的運算和歸納所得到的結果并不能算作真正意義上的數學證明，其主要原因之一就是這樣的證明不具有可審查性，他進一步提出，如果我們要承認這是一種數學證明的話，那么傳統意義上的數學證明的含義就需要改變，甚至傳統意義上數學的含義都需要改變。泰馬祖科的論文引發了激烈的爭論，一部分學者同意泰馬祖科的看法，另一部分學者持反對態度，反對者的共同之處都是回避了可審查性這個數學證明重要特點的作用。例如，萊溫(MargaritaLevin)否認作為數學證明特點之一的可審查性所具有的重要作用，而特勒(PaulTeller)則認為某個東西是不是一個證明與我們能不能對它進行核查是沒有關系的。［6］118盡管這些反對者從很多角度對泰馬祖科的觀點進行批駁，但是他們無法否認黑肯和阿佩爾對四色定理證明是不能被數學家用傳統的方式進行審查的事實。第二個例子代表著數學的長證明。與一般學習過中學數學甚至大學數學后對于數學證明的印象不太一樣的是，今天一些數學定理的證明是需要很長的篇幅才能完成的。“宏大定理”15000頁的長度也許是比較極端的，但是數百頁篇幅的數學證明在今天并不鮮見，我們甚至不能排除今后還會出現其他的比“宏大定理”更“宏大”的定理證明。懷爾斯證明費馬大定理用了一百多個印刷頁被數學家們認為是比較簡短的證明，而上文提到的哈爾斯證明開普勒猜想就用了250頁的文稿和約10萬行的計算機程序。究竟多長的證明才可以算做“長證明”?實際上這是一個比較模糊的概念。泰馬祖科曾給出了一個界定即“一個數學家一輩子也難以審讀完”的證明，顯然，該界定本身也是比較模糊的。我們認為，長證明就是那些需要一個同方向數學家或數學家小組數年甚至更長時間才能審讀完的數學證明。為什么長證明難以審查甚至不具有可審查性呢?以下我們進行一些分析。

首先從社會學的角度看。我們知道，數學家的工作是數學創造，是產生出新的數學知識。數學家都是社會人，榮譽、地位和財富對于數學家來說同樣具有吸引力，特別是榮譽更是對于數學家有著異常強烈的吸引力。一個數學家如果用數年的時間和精力也許可以證明一個重要的數學猜想從而收獲巨大的榮譽，但如果是將自己數年寶貴的時間用去審查他人的證明，他能夠得到什么?懷爾斯(AndrewWiles)因為證明出費馬大定理成為世人眼中的數學英雄，獲得了沃爾夫獎、沃爾夫斯凱爾獎、菲爾茲特別獎以及邵逸夫數學科學獎等大獎，得到了作為數學家所能得到的最大榮譽。可是有幾人知道是哪些數學家完成了對費馬大定理證明的審查，這些數學家又得到了什么榮譽?

其次從證明審查的難度上看，這又可以進一步分成復雜性和困難性兩個方面。首先看證明審查的復雜性。學習過中學甚至大學數學的人往往對于數學證明的印象是篇幅上不會超過一頁紙并且在證明過程中只會用到數個三段論，因此，他們很難想象長證明的復雜。一個長證明會涉及很多的部分，每一部分又由邏輯推導而組成，各個部分之間存在著錯綜復雜的關系。在所有的數學證明中，數學家都像是在迷宮中找到一條連接已知條件和結論的通道，如果是長證明的話，數學家通過這個迷宮相對來說就更為困難。對于數學家來說是迷宮的證明，對于審查者來說同樣也是迷宮。由于過長和其中的復雜性，因此，要對這樣的證明進行審查是一個非常棘手的事情。貝斯勒(Bassler)分析了審查長數學證明的復雜性。他認為，審查者既要對證明進行局部的審查也要對證明進行全局性的審查，前者是一步一步地進行檢查后者是從整體上進行檢查，他強調光是進行局部的審查并不能保證證明的正確性［6］101－105。因此，對于長證明，不難理解數學家很少會愿意花數年甚至更長時間自覺地去進行審查。例如，對于有限單群分類定理的證明，就很少有人完整地看完所有的證明材料，甚至有一些群論數學家私下里表達了是否真的有人完整看過所有證明材料的懷疑。［7］

其次，看數學審查的困難性。由于長數學證明往往伴隨著很高的難度，因此，審查這樣的證明是一項很艱苦的工作。審查的過程實際上也是審查者對證明的學習理解過程，由于審查者往往面臨的是新的思想和方法，因而需要審查者反復地思考。為此，審讀者需要花費大量的時間和艱苦的工作。例如，2003年數學奇才佩雷爾曼(GrigoriyPerelman)完成了龐加萊猜想的證明，頂級數學家們不得不化數年的時間才完成對它的審查。再如，2012年8月底，日本數學家望月新一宣布證明了ABC猜想。該證明由四篇論文組成，總長度超500頁。望月新一的證明不但長度可觀，更重要的是他采用了他自己發展起來的數學工具。除了他自己，幾乎沒有第二個數學家能夠看懂，即使是和望月新一相同研究方向的數學家也不例外。由于證明難度過大，從而使得其他的數學家在相當一段時間內對證明過程無法準確地理解，這使得對該數學證明進行審查困難重重。對于長證明審查困難的問題實際上已經引起了不少包括數學家在內的相關學者的關注。例如，內桑森(M．Nathanson)就曾在《美國數學會通告》(NoticesoftheAmericanMathematicalSociety)發文談到了該問題，“我們怎么知道一個證明是正確的呢?只能是通過對它進行一行一行的檢查。……如果一個定理的證明是短小的，那么我們確實能夠檢查其中是否有錯。但如果該證明是難以理解并且其篇幅超過100個印刷頁，或者沒有人有時間和精力去詳細地檢查它，或者一個證明篇幅有100000頁長，那么我們只能依賴該領域的大牛們去做出判斷了。……在大多數進行審查的期刊中的許多論文(我認為占大多數)都沒有被審查過。這些審查者大概是這樣進行審查的，他看看論文，閱讀一下論文的開頭和結論，大致上瀏覽一下證明過程，如果這些看起來都沒有問題的話，那么他就建議可以發表［8］”。內桑森的這段話盡管未必與實際的證明審查完全吻合，但從某種程度上確實反映了對長證明審查的困難。

四難以審查的數學證明與數學可謬性

如果我們將數學證明分成可審查的證明與不可審查的證明，因為可審查的證明能最大限度地保證其正確性，那么對于不可審查的證明，數學家們必然無法肯定其正確性。因為無法對四色定理以及其他的機器證明進行審查，定理的正確性是計算機或者運用計算機進行運算的專家(可以說是數學共同體以外的人)告訴數學家的，由于并非是數學共同體成員進行形式化的證明也并非是數學共同體成員進行審查，因此，至今仍有不少的數學家并不認可這樣的證明，而不認可這樣的證明也就意味著它可能并不正確。因為至今甚至都沒有人完整地看完宏大定理的完整證明，因而對于很多數學家看來，證明中出現的錯誤也是可能的。正如在有限單群分類定理最后證明中起重要作用的阿斯伯杰(Aschbacher)所說的那樣“當證明長度增加時，錯誤的概率也增加了。在分類定理中出現錯誤的概率實際上是1”［9］。機器證明和長證明的出現是與數學自身的發展以及人的證明能力有限有關的。像四色猜想這樣的問題，因為數學家為此花了太多的時間而無果，人們希望能夠盡快地解決這樣的問題。毋庸置疑，如果有可能的話，數學家一定會通過自己的努力，用邏輯推理的方法去證明該定理。而計算機的出現為解決問題提供了一種方法。可以說是數學家自身能力的局限與計算機的出現從而導致了機器證明。長證明的出現是數學發展自然形成的。隨著數學的發展，有些問題的證明需要涉及很多的內容和方法，因而顯得異常復雜，需要數學家用大量的篇幅才能將其解決過程完整地表述清楚，這也正是一些猜想幾十年甚至數百年難以解決的原因所在。由于證明中涉及的對象(概念、定理、方法等)過于復雜，因而在證明表述中出現各種錯誤將是難以避免的。可以肯定的是，像哥德巴赫猜想等一批數學難題的證明也必將是長證明。今天，從四色猜想被絕大多數數學家稱為四色定理可以看出，多數數學家對于機器證明是認可的，從而可以說，今后，計算機在數學證明上將扮演一個重要的角色，機器證明也必將逐步成為一種為數學共同體認可的合法數學證明，相應地，傳統的認為數學證明應該是用形式化數學語言書寫的觀點也將會逐步改變。另外，數學本身的發展，一些數學假設的證明也必將涉及更多的數學知識和更特別的數學方法，因此也就必然會出現了更多的長證明。伴隨著機器證明和長證明的大量出現，將可能會使得未來的數學不但具有宏觀上的可謬性而且更具有微觀層面的可謬性。當數學中充斥著很多可謬性內容，對于數學來說意味著什么?朝氣蓬勃發展的數學發展到頭了?肯定不是這樣。它只是意味著數學并不神圣，它不是神的創造而是人的學問。數學共同體允許可能的錯誤進入數學，也將會采取各種方法改正可能的錯誤，數學的明天一定會更加繁榮。

作者：張曉貴 單位：合肥師范學院數學與統計學院