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一、非洲日常用品中的幾何變換

非洲是人類文化的發(fā)祥地之一，但其在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)卻未受到人們的充分重視。特別是當(dāng)學(xué)校數(shù)學(xué)主要體現(xiàn)的是一種西方數(shù)學(xué)的狀況下，學(xué)生經(jīng)過學(xué)校學(xué)習(xí)后甚至?xí)J(rèn)為，數(shù)學(xué)與非洲等非西方文化是沒有多少關(guān)聯(lián)的。但有學(xué)者對(duì)非洲文化深入研究后指出，這里的紡織用品中所展現(xiàn)的豐富的幾何樣式是其他文化所無法比擬的，其設(shè)計(jì)中還體現(xiàn)出了對(duì)圖形組合的無限可能性的追求，這也是幾何學(xué)乃至數(shù)學(xué)領(lǐng)域仍在不斷尋求的。從某種意義上講，“幾何學(xué)是研究圖形在變換過程中的不變性質(zhì)”，幾何圖形的變換既是數(shù)學(xué)研究的重要工具，也是數(shù)學(xué)研究中一個(gè)復(fù)雜而重要的課題。然而，這些復(fù)雜的數(shù)學(xué)元素卻非常普遍地出現(xiàn)在非洲日常用品中，特別是全等變換中的平移、旋轉(zhuǎn)(中心對(duì)稱)和反射(軸對(duì)稱)，以及相似變換。圖1是一塊來自非洲的門板。兩側(cè)門框各雕刻有6個(gè)頭像，這12個(gè)頭像從縱向看形象各異，但如果將左右兩側(cè)的頭像對(duì)應(yīng)起來看，又是一一對(duì)應(yīng)的。換言之，左側(cè)門框的頭像可以經(jīng)過平移變成右側(cè)門框上的頭像。門板中間有3行6列共18個(gè)人物。這18個(gè)人物各有不同，但其中第一行和第二行相應(yīng)所列人物在神態(tài)、形象上又是極為相似的，或者說第二行的人物可以近似地看做第一行人物向下平移后的結(jié)果。圖2是非洲的一張做工精致的座椅，這里顯示了更為復(fù)雜、嚴(yán)格的平移變換。無論是椅背還是椅身都是由相同的人物形象平移疊加而成，每個(gè)人物的手又是其上一層相應(yīng)人物的腳。在這張座椅中，人們可以找到更多的基本圖形，也能找到更多的平移模式。圖3的面具是一張人臉，并用曲線描繪人的皮膚紋路。從數(shù)學(xué)的角度看，這是一個(gè)以鼻梁所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。如果說五官及其位置呈左右對(duì)稱是由于對(duì)人臉自然狀態(tài)的刻畫，那么皮膚紋路的左右對(duì)稱則體現(xiàn)了人們對(duì)“對(duì)稱美”的一種追求。圖4的面具中包含著圓形、正方形、四邊形、三角形等多種幾何圖案。這些圖案除了明顯的左右對(duì)稱外，還包含了相似變換。在自上而下的第二個(gè)圖案中，用兩條對(duì)角線將正方形分成4個(gè)大三角形，又在左右兩個(gè)大三角形中分別畫了一個(gè)小三角形。不難發(fā)現(xiàn)，小三角形是與大三角形相似的，是一種相似變換。間部分。這部分由半徑逐漸增大的3個(gè)同心圓組成(依次記作:O1、O2、O3)，其中O1和O2之間的圓環(huán)被分為8個(gè)大小、形狀完全相同的弓形。O2和O3用同樣的小花朵加以裝飾。這些弓形和花朵以圓心為中心呈中心對(duì)稱。另外，從圖5－1中還可以發(fā)現(xiàn)，該面具的上、下兩部分中，除左右兩側(cè)均用花朵按直線形排列勾畫外，其余部分都用O3的部分圓弧經(jīng)平移后得到。同時(shí)，該面具的裝飾物品的位置還呈現(xiàn)出左右對(duì)稱的特點(diǎn)?？梢?，在這個(gè)面具中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)中三種全等變換，即旋轉(zhuǎn)變換、平移變換和反射變換。事實(shí)上，上述多種變換存在于一件藝術(shù)品中的情形在非洲是非常普遍的。比如，BAMULIKE族面具(圖6)上的平移、軸對(duì)稱;東正教十字架(圖7)上的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱;非洲面具(圖8)上的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱及相似變換等。

二、非洲民俗數(shù)學(xué)的教育學(xué)轉(zhuǎn)化

要使民俗數(shù)學(xué)進(jìn)入課堂，并與學(xué)校數(shù)學(xué)有地融合，還需要對(duì)上述民俗數(shù)學(xué)進(jìn)行必要的教育學(xué)轉(zhuǎn)化。

(一)提煉與梳理民俗數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素與思想我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》在小學(xué)階段將“圖形的運(yùn)動(dòng)”作為圖形與幾何學(xué)習(xí)領(lǐng)域的四大內(nèi)容之一，在初中階段將“圖形的變化”列為圖形與幾何學(xué)習(xí)領(lǐng)域的三大內(nèi)容之一，其中涉及了平移、軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、相似等數(shù)學(xué)變換。從對(duì)非洲文化中一些日常用品的介紹、分析中可以發(fā)現(xiàn)，這些物品中蘊(yùn)含著豐富的幾何元素和幾何變換。在利用這些民俗數(shù)學(xué)教學(xué)圖形的運(yùn)動(dòng)與變化時(shí)，需要重視以下兩點(diǎn):第一，提煉與梳理不同的民俗數(shù)學(xué)素材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素。具體而言，要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)將民俗數(shù)學(xué)素材歸類。比如，圖1、圖2屬于平移，圖3屬于軸對(duì)稱，圖5－2屬于中心對(duì)稱，這些都屬于全等變換的素材;圖4則屬于相似變換，除此以外的其他圖形則至少包括兩種類型的變換。第二，從知識(shí)結(jié)構(gòu)角度將上述民俗數(shù)學(xué)素材進(jìn)行排序。幾何變換從知識(shí)難度而言包括變換中形狀與大小均不改變的全等變換;只改變大小、形狀不變的相似變換;形狀、大小都變，但線段連接方式不變的拓?fù)渥儞Q等。在中小學(xué)階段僅涉及前兩種變換，其中最為常見的是全等變換。全等變換中以平移最為直觀，以軸對(duì)稱(反射)最為基礎(chǔ)。因?yàn)槠揭瞥诵螤?、大小不變外，連圖形的方向都不改變，所以最為直觀。而平移、旋轉(zhuǎn)(中心對(duì)稱)只要通過兩次反射變換就可以實(shí)現(xiàn)同樣的效果，因此三者中以反射變換為基礎(chǔ)。基于上述分析，可以將上述素材進(jìn)行排序:首先，分成單一變換(圖1－圖4，圖5－2)與多重變換(圖5－1，圖6－圖8)兩大類;其次，在單一變換中，又以圖1、圖2最為直觀，以圖3最為基礎(chǔ)，之后的圖越來越復(fù)雜與綜合。

(二)從教學(xué)角度轉(zhuǎn)化民俗數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)形式從教學(xué)的角度思考民俗數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)問題，要從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)設(shè)計(jì)知識(shí)鏈和問題鏈。具體而言，可以包含以下任務(wù):任務(wù)1:平移變換的學(xué)習(xí)由于學(xué)生最容易操作和觀察的是平移，因此應(yīng)首先讓學(xué)生思考以圖1和圖2為素材背景的相關(guān)問題，要求學(xué)生觀察這兩件物品中的基本圖形和變化規(guī)律，以此學(xué)習(xí)平移，并歸納出平移的三個(gè)特點(diǎn):圖形大小、形狀、方向均不發(fā)生變化。教學(xué)中，圖形1的觀察可以由教師來引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，在圖形2的觀察過程中教師的引導(dǎo)作用應(yīng)有所下降，以增加學(xué)生觀察的自主性。任務(wù)2:反射變換、中心變換的學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)平移之后，要求學(xué)生觀察并說出圖形3、圖形5－2的基本圖形和變化規(guī)律，從而歸納出反射變換、旋轉(zhuǎn)變換過程中圖形大小和形狀不變，但方向發(fā)生變化。由于在這些任務(wù)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有較明顯的相似性，均是首先觀察基本圖形，然后分析這些基本圖形之間的關(guān)系。因此，學(xué)生在完成任務(wù)2時(shí)可以借助任務(wù)1中得到的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中教師的引導(dǎo)作用要進(jìn)一步下降，通過問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生的觀察與思考。任務(wù)3:全等變換的綜合學(xué)習(xí)向?qū)W生呈現(xiàn)圖5－1、圖6、圖7，讓學(xué)生盡可能多地發(fā)現(xiàn)其中的幾何變換，并向全班同學(xué)解釋自己的發(fā)現(xiàn)。在組織這一學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，教師要放手讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)基本的圖形及其變換模式，更要鼓勵(lì)學(xué)生解釋自己發(fā)現(xiàn)的幾何變換。另外，這一階段還可以引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)反射變換在其中的基礎(chǔ)性作用。任務(wù)4:相似變換的學(xué)習(xí)如果是在初中階段，還可以讓學(xué)生通過圖4、圖8學(xué)習(xí)相似變換，可以作為學(xué)習(xí)“相似形”的載體。

三、民俗數(shù)學(xué)及其教育學(xué)轉(zhuǎn)化時(shí)需要關(guān)注的問題

(一)深刻把握民俗數(shù)學(xué)的教育價(jià)值在學(xué)校數(shù)學(xué)教育中強(qiáng)調(diào)民俗數(shù)學(xué)，一個(gè)不可回避的價(jià)值性問題是:民俗數(shù)學(xué)究竟能為學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來什么?這個(gè)問題的答案其實(shí)也是民俗數(shù)學(xué)在進(jìn)行教育學(xué)轉(zhuǎn)化時(shí)追求的方向。第一，從宏觀的教育價(jià)值角度看，民俗數(shù)學(xué)可以拓寬學(xué)生對(duì)“什么是數(shù)學(xué)”以及“什么是數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和行為”的跨文化理解。長期以來，學(xué)校數(shù)學(xué)常給人一種價(jià)值無涉、文化自由的感覺。民俗數(shù)學(xué)使人們“發(fā)現(xiàn)不同社會(huì)的人用不同的方式開展他們的數(shù)學(xué)活動(dòng)，人們?cè)僖膊荒芤晹?shù)學(xué)為文化自由的了”。因此，學(xué)校課堂中使用民俗數(shù)學(xué)時(shí)，要有助于學(xué)生從更廣泛的視角理解數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)而形成更為客觀而全面的數(shù)學(xué)觀念。舉例而言，通過非洲民俗數(shù)學(xué)中幾何變換的學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)除了發(fā)生在西方白人的世界里，同時(shí)也產(chǎn)生并廣泛地存在于非洲、亞洲等非西方文化中。第二，從微觀的教育價(jià)值角度看，民俗數(shù)學(xué)使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義。首先，民俗數(shù)學(xué)要重建學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。從20世紀(jì)90年代起，我國數(shù)學(xué)教育界就開始倡導(dǎo)從“精英教育”轉(zhuǎn)向“大眾教育”，然而也許由于考試文化的限制，這種轉(zhuǎn)向始終未能真正落實(shí)。在教學(xué)實(shí)踐中，許多教師會(huì)有意無意地表現(xiàn)出以培養(yǎng)未來數(shù)學(xué)家的標(biāo)準(zhǔn)開展課堂教學(xué)，這也使學(xué)生感到數(shù)學(xué)難學(xué)、枯燥，甚至使不少學(xué)生感到自己并不適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在教學(xué)中整合民俗數(shù)學(xué)的活動(dòng)，“可以幫助學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)積極的態(tài)度，并認(rèn)識(shí)到其在文化中的地位。特別是能消除這樣一種想法:數(shù)學(xué)是為精英而準(zhǔn)備的”。比如，通過非洲文化中的幾何變換的學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到像農(nóng)民、手工藝工人等平民老百姓也在創(chuàng)造和使用著數(shù)學(xué)，有些數(shù)學(xué)還相當(dāng)復(fù)雜，從而認(rèn)為自己也能學(xué)習(xí)、使用甚至創(chuàng)造數(shù)學(xué)。其次，民俗數(shù)學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)展的過程，并學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維方法。從一定程度上而言，學(xué)校數(shù)學(xué)是經(jīng)過邏輯整理后的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，抺去了數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折過程，并與學(xué)生的文化經(jīng)驗(yàn)存在較大距離。而民俗數(shù)學(xué)素材能為學(xué)生提供從文化經(jīng)驗(yàn)向?qū)W校數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的載體。比如，學(xué)生在對(duì)非洲文化產(chǎn)品的觀察、分析中，學(xué)會(huì)了尋找?guī)缀巫儞Q關(guān)系的方法，即觀察基本圖形，比較基本圖形之間的關(guān)系。再次，民俗數(shù)學(xué)要使學(xué)生通過數(shù)學(xué)欣賞豐富的文化。民俗數(shù)學(xué)為學(xué)生提供了欣賞文化的新視角———數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)思想的普遍性讓學(xué)生感受到不同文化的人們普遍追求的東西，后者能給人帶來無窮的美感。比如，幾何變換不僅存在于非洲文化中，同樣廣泛地存在于中國的剪紙、雕刻、建筑等藝術(shù)品中?？梢?，如對(duì)稱、相似等變換之美是人類的普遍追求。

(二)基于知識(shí)序、認(rèn)知序設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的民俗數(shù)學(xué)民俗數(shù)學(xué)有效地融入學(xué)校數(shù)學(xué)的基本前提是其在數(shù)學(xué)知識(shí)上與學(xué)校數(shù)學(xué)具有相關(guān)性。我們?cè)诖藦?qiáng)調(diào)民俗數(shù)學(xué)，并非想用民俗數(shù)學(xué)去替代學(xué)校數(shù)學(xué)，而是希望更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此，民俗數(shù)學(xué)與學(xué)校數(shù)學(xué)無論從內(nèi)容上還是目標(biāo)上都應(yīng)該是協(xié)同的，而不是相悖的。因此，應(yīng)在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中整合民俗數(shù)學(xué)。第一，梳理民俗數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)及這些知識(shí)之間的關(guān)系，并考察與學(xué)校數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)聯(lián)。比如，在對(duì)上述非洲民俗數(shù)學(xué)進(jìn)行教育學(xué)轉(zhuǎn)化時(shí)，首要的即是分析其中蘊(yùn)含了哪些幾何變換，這些幾何變換之間的關(guān)系又是怎樣的?并進(jìn)而與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書的要求進(jìn)行對(duì)比，后者為教學(xué)方案的設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)，同時(shí)又為教師形成較為完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)提供了依據(jù)。第二，還需要從學(xué)生認(rèn)知角度設(shè)計(jì)民俗數(shù)學(xué)融入學(xué)校數(shù)學(xué)的順序與形式。數(shù)學(xué)的教學(xué)需要綜合考慮數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。由于反射變換在全等變換中具有基礎(chǔ)性地位，因此從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的角度考慮，會(huì)首先安排軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)。但從學(xué)生的學(xué)習(xí)難度來看，平移的學(xué)習(xí)顯然比軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)要簡單，而且更具有操作性。因此，在教學(xué)中會(huì)將平移的學(xué)習(xí)置于其他幾何變換的學(xué)習(xí)之前。另外，單一變換的圖形往往比多重變換的圖形簡單，因此多重變換的學(xué)習(xí)會(huì)以單一變換的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)?？梢?，民俗數(shù)學(xué)融入學(xué)校數(shù)學(xué)的順序要遵循學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知順序。第三，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性和義務(wù)教育階段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)不可能完全依賴學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，更多的還是在教師指導(dǎo)下，開展經(jīng)由模仿到發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過程。因此，在民俗數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)形式上，要考慮將其分為教師講解數(shù)學(xué)和學(xué)生探究數(shù)學(xué)兩種載體。隨著教學(xué)過程的推進(jìn)，民俗數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)也要發(fā)生變化，由傾向于教師講解的載體逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生探究的載體。比如，在任務(wù)1到任務(wù)3中，不同任務(wù)階段的民俗數(shù)學(xué)就可以區(qū)分為這兩種載體，并表現(xiàn)出上述變化。

總之，民俗數(shù)學(xué)為人們提供了認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的新視角，同時(shí)也具有重要的教育意義，有研究者甚至將其作為基礎(chǔ)性的教學(xué)手段之一。然而，民俗數(shù)學(xué)要有效地融入課堂教學(xué)還需要進(jìn)行教育學(xué)轉(zhuǎn)化。本研究以非洲民俗數(shù)學(xué)為例，進(jìn)行了嘗試性的探索，但這方面的研究還有待進(jìn)一步深化。

作者：唐恒鈞張維忠單位：浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院